4.1数列的前n项和及斐波那契数列课件（共17张）-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

(共17张PPT)
4.1 数列的前n项和及斐波那契数列
问题1：什么是数列的前n项和公式？
探索数列的求和公式，曾是古代算学家非常感兴趣的问题．
问题2：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？
数列的前n项和
数列{an}从第1项a1到第n项an的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn =a1+a2+...+an
数列{an}的前n项和Sn与序号n之间的关系式叫做数列的前n项和公式.
Sn =a1+a2+...+an－1+an
Sn－1 =a1+a2+...+an－1(n≥2)
an=Sn－Sn－1 (n≥2)
P7-思考:已知数列{an}的前n项和公式为Sn =n2+n, 求数列{an}的通项公式.
[练习1]已知数列{an}的前n项和公式为Sn =﹣2n2+1, 求数列{an}的通项公式.
分段求解,
检验结果能否统一形式
阅读与思考
斐波那契数列
1202年，意大利数学家斐波那契(Leonardo Fibonacci，约1170—约1250)出版了他的《算盘全书》(Liber Abaci)．他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题：
如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？
斐波那契在《算盘书》中的兔子繁殖问题(兔子数单位：对)
如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子
时间/月 初生兔子/对 成熟兔子/对 兔子总数/对
1 1 0 1
2 0 1 1
3 1 1 2
4 1 2 3
5 2 3 5
6 3 5 8
7 5 8 13
8 8 13 21
9 13 21 34
10 21 34 55
11 34 55 89
12 55 89 144
… … … …
由此可知，从第1个月开始，每月末的兔子总对数是
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…．
你发现这个数列的规律了吗？
黄金分割点
1
1
1
1
斐波那契数列有很多有趣的性质．
例如，斐波那契数列满足等式，
我们可以用图形（图1）来表示这个等式．
图1中小正方形的边长等于斐波那契数1，1，2，3，5，8，…．
若干小正方形构成的长方形的边长依次是两个斐波那契数的乘积，，，…．
如图1所示，从内到外依次连接通过小正方形的四分之一圆弧，
就得到了一条被称为“斐波那契螺旋”的弧线．
如果我们在图1
上不断增加边长是斐波那契数的正方形，
那么“斐波那契螺旋”也将不断向外延伸，
而且它的形状将越来越接近“黄金比例螺旋”．
绘制斐波那契螺旋线，验证课本P11的结论
{an}: 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…
+…+
随着边长的增加，螺旋线的形状越来越接近“黄金比例螺旋”.
前n个小正方形的面积和为相邻两个斐波那契数an与an+1之积
(n≥2)
向日葵花盘上的螺旋线条，
顺时针的螺旋线：21条；
逆时针的螺旋线：34条。
松果上的螺旋线条，
顺时针的螺旋线：8条；
逆时针的螺旋线：13条。
更加有趣的是，人们在自然界中发现了许多斐波那契数列．
例如，一棵树在第一年长出一条新枝，新枝成长一年后变为老枝，老枝每年都长出一条新枝．每一条树枝都按照这个规律成长，则每年的树枝总数正好构成了斐波那契数列．又如，图2中向日葵的管状小花排列成两组交错的螺旋，从内往外看，逆时针方向的螺旋有13条，
顺时针方向的有21条，
恰为斐波那契数列的相邻两项．
蒲公英的种子和松塔的鳞片的排列
也呈现出类似的规律．
由于斐波那契数列的广泛应用性，美国成立了斐波那契协会，并于1963年创办《斐波那契季刊》，专门发表关于这个数列的研究论文．
有兴趣的同学可以通过浏览互联网或查阅相关书籍搜集资料，进一步了解盘研究斐波那契数列．