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专项素养训练二 整式化简求值的常见类型
先化简,再直接代入求值
1.(1)(2022蚌埠期中)先化简,再求值:x+2(x-y2)-(x-3y2),其中x是最大的负整数,y的倒数是它本身;
(2)已知A=2x2+3xy-2x-3,B=x2+xy+2,当x=2,y=-3时,求A-2B的值.
解:(1)x+2(x-y2)-(x-3y2)
=x+2x-2y2-x+3y2
=x+y2.
因为x是最大的负整数,y的倒数是它本身,
所以x=-1,y=±1.
当x=-1,y=±1时.
原式=-1+(±1)2
=-1+1
=0.
(2)因为A=2x2+3xy-2x-3,B=x2+xy+2,
所以A-2B=(2x2+3xy-2x-3)-2(x2+xy+2)
=2x2+3xy-2x-3-2x2-2xy-4
=xy-2x-7,
当x=2,y=-3时,
A-2B=xy-2x-7
=2×(-3)-2×2-7
=-6-4-7
=-17.
先变形,再整体代入求值
2.已知a+b=4,则式子1++的值为(A)
A.3 B.1 C.0 D.-1
3.若m,n互为相反数,则(8 m-2n)-2(2 m-3n+1)的值为(A)
A.-2 B.3 C.1 D.4
4.阅读材料:我们知道4x-2x+x=(4-2+1)x=3x,类似地,我们把(a+b)看成一个整体,则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b).“整体思想”是中学数学课题中的一种重要的思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
(1)尝试应用:把(a-b)2看成一个整体,合并3(a-b)2-5(a-b)2+7(a-b)2的结果是 ;
(2)已知2x2-3y=6,求-4x2+6y-5的值;
(3)拓展探索:
已知a-2b=2,2b-c=-5,c-d=9,求(2a-c)+(2b-3d)-(4b-3c)的值.
解:(1)5(a-b)2
(2)因为2x2-3y=6,
所以-4x2+6y-5=-2(2x2-3y)-5=-2×6-5=-12-5=-17.
(3)(2a-c)+(2b-3d)-(4b-3c)
=2a-c+2b-3d-4b+3c
=2a-4b+2b-c+3c-3d
=2(a-2b)+(2b-c)+3(c-d).
因为a-2b=2,2b-c=-5,c-d=9,
所以原式=2×2+(-5)+3×9
=4-5+27
=26.
与绝对值相关的整式化简求值
5.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示.
(1)化简:|a+b|-|c-b|+|b-a|;
(2)若a的绝对值的相反数是-2,-b的倒数是它本身,c2=4,求-a+2b+c-(a+b-c)的值.
解:(1)因为a+b>0,c-b<0,b-a<0,
所以|a+b|-|c-b|+|b-a|
=a+b+c-b-b+a=2a-b+c.
(2)由题意,得a=2,b=-1,c=-2.
所以-a+2b+c-(a+b-c)
=-a+2b+c-a-b+c
=-2a+b+2c
=-4-1-4
=-9.
利用与整式中的字母“无关”求值
6.已知关于x,y的式子(2x2+mx-y+3)-(3x-2y+1-nx2)的值与字母x的取值无关,求式子(m+2n)-(2m-n)的值.
解:(2x2+mx-y+3)-(3x-2y+1-nx2)
=2x2+mx-y+3-3x+2y-1+nx2
=(2+n)x2+(m-3)x+y+2.
因为多项式的值与字母x的取值无关,
所以2+n=0,m-3=0.
所以n=-2,m=3.
所以(m+2n)-(2m-n)=m+2n-2m+n=3n-m.
代入n=-2,m=3,可得3×(-2)-3=-9,
所以式子(m+2n)-(2 m-n)的值为-9.
7.数学课上,老师出示了这样一道题目:“当a=,b=-2时,求多项式7a3+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3-6a3b-1的值”解完这道题后,小阳同学指出:“a=,b=-2是多余的条件”.师生讨论后,一致认为小阳的说法是正确的.
(1)请你说明正确的理由;
(2)受此启发,老师又出示了一道题目:“无论x,y取任何值,多项式2x2+ax-5y+b-2(bx2-x-y-3)的值都不变,求系数a,b的值”.请你解决这个问题.
解:(1)7a3+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3-6a3b-1
=(7+3-10)a3+(3-3)a2b+(6-6)a3b-1
=-1.
所以该多项式的值为常数,与a和b的取值无关,小阳的说法是正确的.
(2)2x2+ax-5y+b-2(bx2-x-y-3)
=2x2+ax-5y+b-2bx2+3x+5y+6
=(2-2b)x2+(a+3)x+(b+6).
因为无论x,y取任何值,多项式2x2+ax-5y+b-2(bx2-x-y-3)的值都不变,
所以2-2b=0,a+3=0.
所以a=-3,b=1.
定义新运算化简求值
8.定义为二阶行列式,规定它的运算法则为=ad-bc,那么当x=1时,二阶行列式 的值为(B)
A.7 B.-7 C.1 D.-1
9.已知a,b为有理数,定义新运算a※b=3a+2b,如3※2=3×3+2×2=13,4※(a-1)=3×4+2×(a-1)=2a+10.
(1)计算5※4和4※(-2)的值;
(2)化简2x※(-3x);
(3)已知a※b=2,求(a-2b)※(3a+6b)的值.
解:(1)5※4=3×5+2×4=15+8=23,
4※(-2)=3×4+2×(-2)=12-4=8.
(2)2x※(-3x)=3×2x+2×(-3x)=6x-6x=0.
(3)因为a※b=2,
所以3a+2b=2.
所以(a-2b)※(3a+6b)=3(a-2b)+2(3a+6b)=3a-6b+6a+12b=9a+6b=3(3a+2b)=3×2=6.
“错看”型化简求值
10.(2022珠海期中)马小虎同学做一道数学题:“已知两个多项式A,B,试求A+B,其中B=-3a2+2a-5”.这位同学把“A+B”看成了“A-B”,他求出的答案是5a2-6a+6.
(1)求多项式A;
(2)请你帮马小虎同学求出正确结果,并求a=-1时正确结果的值.
解:(1)A=(5a2-6a+6)+(-3a2+2a-5)
=5a2-6a+6-3a2+2a-5
=2a2-4a+1.
(2)A+B=(2a2-4a+1)+(-3a2+2a-5)
=2a2-4a+1-3a2+2a-5
=-a2-2a-4.
当a=-1时,
A+B
=-a2-2a-4
=-(-1)2-2×(-1)-4
=-1+2-4
=-3.
11.已知A=3a2b-2ab2+abc,小明同学错将“2A-B”看成“2A+B”,算得结果C=4a2b-3ab2+4abc.
(1)计算B的表达式;
(2)求出2A-B的结果;
(3)小强同学说(2)中的结果的大小与c的取值无关,对吗 若a=,b=,求(2)中式子的值.
解:(1)根据题意,得B=C-2A=4a2b-3ab2+4abc-2(3a2b-2ab2+abc)
=4a2b-3ab2+4abc-6a2b+4ab2-2abc
=-2a2b+ab2+2abc.
(2)根据题意,得2A-B=2(3a2b-2ab2+abc)-(-2a2b+ab2+2abc)
=6a2b-4ab2+2abc+2a2b-ab2-2abc
=8a2b-5ab2.
(3)对.(2)中的结果的大小与c的取值无关,
当a=,b=时,2A-B=8×()2×-5××()2=-=0.
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专项素养训练二 整式化简求值的常见类型
先化简,再直接代入求值
1.(1)(2022蚌埠期中)先化简,再求值:x+2(x-y2)-(x-3y2),其中x是最大的负整数,y的倒数是它本身;
(2)已知A=2x2+3xy-2x-3,B=x2+xy+2,当x=2,y=-3时,求A-2B的值.
先变形,再整体代入求值
2.已知a+b=4,则式子1++的值为( )
A.3 B.1 C.0 D.-1
3.若m,n互为相反数,则(8 m-2n)-2(2 m-3n+1)的值为( )
A.-2 B.3 C.1 D.4
4.阅读材料:我们知道4x-2x+x=(4-2+1)x=3x,类似地,我们把(a+b)看成一个整体,则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b).“整体思想”是中学数学课题中的一种重要的思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
(1)尝试应用:把(a-b)2看成一个整体,合并3(a-b)2-5(a-b)2+7(a-b)2的结果是 ;
(2)已知2x2-3y=6,求-4x2+6y-5的值;
(3)拓展探索:
已知a-2b=2,2b-c=-5,c-d=9,求(2a-c)+(2b-3d)-(4b-3c)的值.
与绝对值相关的整式化简求值
5.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示.
(1)化简:|a+b|-|c-b|+|b-a|;
(2)若a的绝对值的相反数是-2,-b的倒数是它本身,c2=4,求-a+2b+c-(a+b-c)的值.
利用与整式中的字母“无关”求值
6.已知关于x,y的式子(2x2+mx-y+3)-(3x-2y+1-nx2)的值与字母x的取值无关,求式子(m+2n)-(2m-n)的值.
7.数学课上,老师出示了这样一道题目:“当a=,b=-2时,求多项式7a3+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3-6a3b-1的值”解完这道题后,小阳同学指出:“a=,b=-2是多余的条件”.师生讨论后,一致认为小阳的说法是正确的.
(1)请你说明正确的理由;
(2)受此启发,老师又出示了一道题目:“无论x,y取任何值,多项式2x2+ax-5y+b-2(bx2-x-y-3)的值都不变,求系数a,b的值”.请你解决这个问题.
定义新运算化简求值
8.定义为二阶行列式,规定它的运算法则为=ad-bc,那么当x=1时,二阶行列式 的值为( )
A.7 B.-7 C.1 D.-1
9.已知a,b为有理数,定义新运算a※b=3a+2b,如3※2=3×3+2×2=13,4※(a-1)=3×4+2×(a-1)=2a+10.
(1)计算5※4和4※(-2)的值;
(2)化简2x※(-3x);
(3)已知a※b=2,求(a-2b)※(3a+6b)的值.
“错看”型化简求值
10.(2022珠海期中)马小虎同学做一道数学题:“已知两个多项式A,B,试求A+B,其中B=-3a2+2a-5”.这位同学把“A+B”看成了“A-B”,他求出的答案是5a2-6a+6.
(1)求多项式A;
(2)请你帮马小虎同学求出正确结果,并求a=-1时正确结果的值.
11.已知A=3a2b-2ab2+abc,小明同学错将“2A-B”看成“2A+B”,算得结果C=4a2b-3ab2+4abc.
(1)计算B的表达式;
(2)求出2A-B的结果;
(3)小强同学说(2)中的结果的大小与c的取值无关,对吗 若a=,b=,求(2)中式子的值.
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