数学人教A版（2019）必修第一册4.5.1函数的零点与方程的解（共31张ppt）

(共31张PPT)
4.5 函数的应用(二)
4.5.1 函数的零点与方程的解
问题1　观察下列三组方程与函数：
方程 函数
x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3
x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1
x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3
利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系.
方程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0
函数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3
函数图象
方程的根
函数的图象与x轴交点
x1=-1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
(-1,0),(3,0)
(1,0)
无交点
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
.
.
.
.
.
y
x
0
－1
2
1
1
2
方程的根就是函数图像与x轴交点的横坐标
请填写下表：
PART 1 函数的零点
定义：对于一般函数f(x)，我们把使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点
函数y=f(x)的零点
方程f(x)=0的实根
函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标
零点
不是点
(1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)求零点可转化为求对应方程的解.
(3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解.
注意点：
例1
√
√
探究函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
求下列函数的零点：
跟踪训练1
当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍去)；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
(2)f(x)＝(lg x)2－lg x.
令(lg x)2－lg x＝0，则lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10，
∴函数f(x)的零点是1,10.
y=ax2+bx+c(a≠0)
1.△>0，则二次函数有_____个零点
2.△=0，则二次函数有_____个零点
3.△<0，则二次函数有_____个零点
两
一
零
PART 2 二次函数的零点
函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条
的曲线，且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内 有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
知识梳理
连续不断
f(a)f(b)<0
至少
f(c)＝0
(1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且 .
(2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，__________是函数有零点的充分不必要条件.
(3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点.
注意点：
f(a)f(b)<0
f(a)·f(b)<0
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
思考1
？
不能
a
b
在零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点．则满足什么条件时f(x)在(a，b)上有唯一零点？
思考2
？
多个零点
a
b
a
b
唯一零点
f(x)在(a，b)内为单调函数
函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)<0？
思考3
？
a
b
不一定
若f(a)·f(b)>0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定没有零点吗？
思考4
？
a
b
不一定
例2
(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的是
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
√
√
√
由题知f(0)f(1)<0，
所以根据函数零点存在定理可得，f(x)在区间(0,1)上一定有零点，
又f(1)f(2)>0，
因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.
练 习
1.函数的零点所在区间是( )
A. (3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1)
B
练 习
4.设m为实数，若二次函数y=x2-2x+m在区间[1,+∞)上有且仅有一个零点，则m的取值范围是( )
A. (1,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1) D.R
C
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)
内必有零点.
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
例1 求f(x)=lnx+2x-6的零点个数
例题探究
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
解：因为f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0，
所以f(x)在区间(2,3)内有零点。
因为函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，所以f(x)只有一个零点。
例3
判断下列函数的零点的个数.
即f(x)零点的个数为0.
(2)f(x)＝ln x＋x2－3.
在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点.
从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点.
函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点的个数.
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程的解，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点.
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.
(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)函数的零点的定义.
(2)函数的零点与方程的解的关系.
(3)函数零点存在定理.
(4)函数零点个数的判断.
2.方法归纳：定理法、方程法、数形结合法.
3.常见误区：零点理解成点；零点个数问题不能转化成函数图象交点个数的问题.
1
2
3
4
∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
4.函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有____个.
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0;
当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x).
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)画出函数f(x)的图象，并写出单调区间；
图象如图所示，
单调递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)；
单调递减区间为(－1,1).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(3)若y＝f(x)与y＝m有3个交点，求实数m的取值范围.
因为方程f(x)＝m有三个不同的解，由图象可知， －1