2015年中考数学易错题赏析：(八)圆

（八）圆
易错题赏析
易错点1：弧、弦、圆周角等概念理解不透彻，如弦所对的圆周角有两种情况，平行弦间的距离也有两种情况.
易错题1：已知A、B、C三点都在⊙O上，若⊙O的半径为4cm，BC＝4cm，则∠A的度数为_____________________.【出处：21教育名师】
错解：60°
正解：60°或120°
赏析：本题错解的主要原因是没有考虑到弦BC所对的圆周角∠A有两种情况.如图1，当点A在优弧 上时，连接OA，OB，过点O作OD⊥BC于点D.由垂径定理得BD＝CD＝BC，∵BC＝4cm，∴BD＝×4cm＝2cm.又∵OB＝4cm，∴在Rt△OBD中，cos∠OBD＝，∴∠OBD＝30°，∴∠BOD＝∠COD＝90°－30°＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠A＝∠BOC＝×120°＝60°；当点A在劣弧 上时，如图2，在优弧 上任取一点E（不与点B、C重合），连接EB，EC，由前面的解法可得∠E＝60°，又∵四边形ABEC为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠E＝180°，∴∠A＝180°－60°＝120°.∴综上，∠A的度数为60°或120°.在同圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角有两种，它们是互补的关系.【版权所有：21教育】
易错点2：运用垂径定理的有关计算与证明，不善于添加辅助线构造直角三角形解决相关问题.
易错题2：已知梯形ABCD的各个顶点均在⊙O上，AB∥CD，⊙O的半径为8，AB＝12，CD＝4，则梯形ABCD的面积S＝______________________.21世纪教育网版权所有
错解：16＋16
正解：16＋16或16－16
赏析：本题由于没有对圆中的平行弦的位置分类讨论而造成错解.圆中的平行弦在题目中没有明确位置时，应分在圆心同侧和圆心两侧两种情况求解.如图1，当AB、CD位于圆心O的两侧时，过点O作ON⊥CD于点N，延长NO交AB于点M，连接OB、OC.∵ON⊥CD，AB∥CD，∴OM⊥AB，∴CN＝CD＝2，BM＝AB＝6，又∵OB＝OC＝8，OM2＋BM2＝OB2，ON2＋CN2＝OC2，∴OM＝，ON＝，∴MN＝OM＋ON＝2＋2.∴S＝(AB＋CD)MN＝×(12＋4)×(2＋2)＝16＋16；如图2，当AB、CD位于圆心O的同侧时，过点O作ON⊥CD于点N，交AB于点M，连接OB、OC.∵ON⊥CD，AB∥CD，∴OM⊥AB，∴CN＝CD＝2，BM＝AB＝6，又∵OB＝OC＝8，OM2＋BM2＝OB2，ON2＋CN2＝OC2，∴OM＝，ON＝，∴MN＝ON－OM＝2－2.∴S＝(AB＋CD)MN＝×(12＋4)×(2－2)＝16－16.故答案为16＋16或16－16.21教育名师原创作品
易错点3：切线的定义以及性质与判定的综合应用.
易错题3：已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E，求证：OB与⊙D相切.
错解：如图1，连接DE、DF，∵OA切⊙D于点E，∴DE⊥OA.∵OC平分∠AOB，∴∠DOE＝∠DOF.在△ODE和△ODF中，∵，∴△ODE≌△ODF（SAS），∴∠DEO＝∠DFO，∴DF⊥OB，∴OB与⊙D相切.www-2-1-cnjy-com
正解一：如图2，连接DE，过点D作DF⊥OB于点F.∵OA切⊙D于点E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DE＝DF，∴OB与⊙D相切.21*cnjy*com
正解二：如图2，连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，则∠DFO＝90°.∵OA切⊙D于点E，∴DE⊥OA，∴∠DEO＝90°,∴∠DFO＝∠DEO.∵OC平分∠AOB，∴∠DOE＝∠DOF.在△ODE和△ODF中，∵，∴△ODE≌△ODF（AAS），∴DE＝DF，∴OB与⊙D相切.
赏析：本题由于没有理解切线的两种判定方法而出错.当直线经过圆上的某一点时，采用“连半径，判垂直”的方法；当不知道直线经过圆上哪一点时，采用“作垂直，判半径”的方法，此方法中千万要注意，不能从图形判断直线经过圆上哪一点，应从题目的条件中判断直线是否经过圆上哪一点.
易错点4：圆周角定理及其推论，特别是运用推论时易出错.
易错题4：如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，求⊙O的半径.
错解：如图1，连接OA，OB，由圆周角定理得∠AOB＝∠C，∵∠C＝45°，∴∠AOB＝45°，∴⊙O的半径为.21教育网
正解一：如图1，连接OA，OB，由圆周角定理得∠AOB＝2∠C，∵∠C＝45°，∴∠AOB＝45°×2＝90°，设OA＝OB＝x，在Rt△AOB中，由勾股定理得x2＋x2＝22，解得x＝±，∵x＞0，∴x＝， ∴⊙O的半径为.（或：如图1，连接OA，OB，由圆周角定理得∠AOB＝2∠C，∵∠C＝45°，∴∠AOB＝45°×2＝90°，又∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，在Rt△AOB中，sin∠OAB＝，∴OB＝ABsin45°＝2×，即的半径为.）【来源：21cnj*y.co*m】
正解二：如图2，作直径AD，连接DB，则∠DBA＝90°，∠C＝∠D，∵∠C＝45°，∴∠D＝45°，∴∠DAB＝180°－∠DBA－∠D＝180°－90°－45°＝45°，∴∠D＝∠DAB，∴DB＝AB，∵AB＝2，∴DB＝2，在Rt△DAB中，由勾股定理得AB2＋DB2＝AD2，∴AD2＝22＋22，解得AD＝2，∴⊙O的半径为2÷2＝.（或：如图2，作直径AD，连接DB，则∠DBA＝90°，∠C＝∠D，∵∠C＝45°，∴∠D＝45°，在Rt△DAB中，sin∠D＝，AB＝2，∴AD＝＝＝2，⊙O的半径为2÷2＝.）
赏析： 本题错解的原因是圆周角定理运用错误，且求半径时的过程不完整，省去的过程过多.利用圆周角定理时通常都需要作辅助线连接半径，利用圆周角定理的推论时通常都需要连接某条弦或作直径，以得到90°角或实现角的等量转换.21·cn·jy·com
易错点5：点与圆、直线与圆的位置关系及判断方法.
易错题5：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心、R为半径所作的圆⊙C与斜边只有一个公共点，则R的取值范围是……………………………………（ ）
A.R＝2.4 B.3＜R＜4 C.R＝2.4或3＜R≤4 D.R＝2.4或3＜R＜4
错解：A
正解：C
赏析：本题仅从“只有一个公共点”得出直线与圆相切的关系来求解而出错，没有审清题意，因为斜边是线段，所以题中圆与斜边的关系应分类讨论求解.当⊙C与斜边AB相切时，如图1，此时，⊙C与斜边AB只有一个公共点.设⊙C与斜边AB相切于点D，则CD⊥AB，又∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴由勾股定理得AB＝＝5，由三角形的面积公式可得S△ABC＝AC×BC＝AB×CD，∴CD＝＝2.4，即R＝2.4；当R＝AC时，如图2，此时，⊙C与斜边AB恰有两个公共点；当AC＜R≤BC时，如图3，⊙C与斜边AB只有一个公共点；当R＞BC时，如图4，此时，⊙C与斜边AB无公共点.∴综上，R的取值范围是R＝2.4或3＜R≤4. 另外，当R＜2.4时，⊙C与斜边AB无公共点；当2.4＜R≤AC时，⊙C与斜边AB有两个公共点.

易错点6：正多边形与圆的有关计算；弧长与扇形面积的计算.
易错题6：如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路经长是…………………（ ）
A. B.13 C.25 D.25
错解：B
正解：A
赏析：本题可能以为两次旋转中点B经过的路经是以点D为圆心，以DB长为半径的半圆弧长而造成错解.本题中点B经过的路经长应分两部分求解：如图1，第一次旋转时，点B经过的路经长是以点D为圆心，以DB长为半径的圆弧长，即BB1的长，∵四边形ABCD是矩形，∴旋转角∠BDB1＝90°，在Rt△ABD中，∠A＝90°，AB＝5，AD＝CB＝12，∴由勾股定理得BD＝，∴BB1的长度为×2×13＝ ；第二次旋转时，点B经过的路经长是以点C1为圆心，以C1B1长为半径的圆弧长，即B1B2的长，∵旋转角∠B1C1B2＝90°，C1B1＝CB＝12，∴B1B2的长度为×2×12＝.∴两次旋转过程中点B经过的路经长为＋＝.

易错练
1.已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于点M，且AB＝8cm，则AC的长为…………………………………………………………………………………………（ ）
A.2cm B. 2cm或4cm C.4cm D. 2cm或4cm
2.如图，已知⊙O是以坐标原点为圆心，以1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与AO平行的直线与⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是_________________.21cnjy.com
3.周长为12的正三角形、正方形、正六边形的外接圆的面积分别是S3，S4，S6，则它们的大小关系是…………………………………………………………………………………（ ）
A. S6＞S4＞S3 B. S3＞S4＞S6 C. S6＞S3＞S4 D. S4＞S6＞S3
4.如图，已知⊙O中EF过圆心O，且垂直于弦AD，B、C两点在直线DE上，且AD平分∠BAC.求证：DE2＝BE·CE.www.21-cn-jy.com
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行于⊙O的弦MB，连接DM并延长交x轴于点C.
（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）设点D的坐标为（﹣2，4），试求MC的长及直线DC的表达式.
参考答案
易错练
1.B 解析：解析：如图1，当弦AB在圆心O的左侧时，连接OA，∵直径CD⊥AB，∴AM＝AB＝4，∵OA＝5，∴在Rt△AMO中，由勾股定理得OM＝3，∴CM＝OC－OM＝5－3＝2，∴在Rt△ACM中，由勾股定理得AC＝；如图2，当弦AB在圆心O的右侧时，连接OA，∵直径CD⊥AB，∴AM＝AB＝4，∵OA＝5，∴在Rt△AMO中，由勾股定理得OM＝3，∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8，∴在Rt△ACM中，由勾股定理得AC＝.∴选B.2·1·c·n·j·y
2.﹣≤x≤且x≠0 解析：解析：当点P向右运动到如图1的位置时，过点P的直线与⊙O只有一个公共点，则此直线与⊙O相切，设切点为C，则OC⊥PC，又∵OA∥PC，∠AOB＝45°，∴△OPC为等腰直角三角形，∵OC＝1，∴由勾股定理得OP＝，∴此时点P的坐标为（，0）；当点P向左运动到如图2的位置时，过点P的直线与⊙O只有一个公共点，则此直线与⊙O相切，设切点为C，则OC⊥PC，又∵OA∥PC，∠AOB＝45°，∴△OPC为等腰直角三角形，∵OC＝1，∴由勾股定理得OP＝，∴此时点P的坐标为（﹣，0）；当x＝0时，点P与圆心O重合，此直线与OA重合，不合题意，舍去.∴综上，x的取值范围是﹣≤x≤且x≠0.【来源：21·世纪·教育·网】
3.B 解析：如图1，∵AB＝4，∴AD＝2.又∵∠OAD＝30°，∴OA＝.∴S3＝·OA2＝×()2＝.如图2，∵DC＝3，∠ODC＝45°，∴OD＝.∴S4＝·OD2＝×()2＝.如图3，∵DC＝2，∴OC＝2. ∴S6＝·OC2＝×22＝.又∵＞＞，∴S3＞S4＞S6 ，故答案选B. 21·世纪*教育网
4.如图，连接AE.∵EF⊥AD，且EF过圆心O，∴EF垂直平分AD，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC. ∵∠EAB＝∠EAD＋∠BAD，∠ECA＝∠EDA＋∠DAC，∴∠EAB＝∠ECA.又∵∠AEB＝∠CEA，∴△AEB∽△CEA，∴，∴AE2＝BE·CE.∵AE＝DE，∴DE2＝BE·CE. 2-1-c-n-j-y
5.解：（1）直线DC与⊙O相切，理由如下：如图，连接OM，∵OD∥MB，∴∠OBM＝∠AOD，∠OMB＝∠DOM，∵OB＝OM，∴∠OBM＝∠OMB，∴∠AOD＝∠MOD.在△DAO和△DMO中，∵，∴△DAO≌△DMO（SAS），∴∠OMD＝∠OAD，∵直线FA⊥x轴于点A，∴∠OAD＝90°，∴∠OMD＝90°，∵OM是半径，∴直线DC切⊙O于点M.　　21*cnjy*com
（2）由D（﹣2，4）可得OA＝OM＝2，AD＝4.又由（1）可知，DM＝AD＝4，∵∠OMC＝∠DAC＝90°，∠OCM＝∠DCA，∴△OMC∽△DAC，∴，∴AC＝2MC.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋AD2＝CD2，∴(2MC)2＋42＝(MC＋4)2，解得MC＝，MC＝0（不合题意，舍去）.∴MC＝，AC＝，∴OC＝AC－OA＝－2＝，∴C点坐标为（，0）.设直线DC的表达式为y＝kx＋b，把C、D两点坐标代入，得，