4.3.1等比数列的概念 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
第四章 数列
2023-2024学年人教A版高中数学选择性必修第二册教学课件★★
4.3.1 等比数列的概念
我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的 请看以下几个数列，思考它们有何共同特征？
1. 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
9, 92, 93, , 9l0 ①; 100, 1002, 1003, ,10010 ②; 5, 52, 53, , 5l0 ③.
2.《庄子 天下》中提到: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭.” 如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”, 那么从第1天开始, 各天得到的“棰”的长度依次是
3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
2, 4, 8, 16, 32, 64, . ⑤
4. 某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 a(1+r), a(1+r)2, a(1+r)3, a(1+r)5, a(1+r)6. ⑥
从第2项起，每一项与它的前一项的比是一个不为0的常数.
1. 等比数列的概念　
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为0常数，那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q (q≠0)表示.
例如数列①~⑥的公比依次为 9, 100, 5, 0.5, 2, 1+r.
等比数列的符号语言：
2. 等比中项　
如果在a与b中间插入一个数G，使a, G, b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 此时，G2=ab .
1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差.
课本P31
探究 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等比数列{an}的首项为a1, 公差为q, 根据等比数列的定义, 可得
∴ a2= a1q，
a3= a2q = a1q2，
a4= a3q= a1q3，

∴ an= a1qn-1 (n≥2).
又a1=a1q1-1，这就是说，当n=1时上式也成立.
因此，首项为a1, 公差为q的等比数列{an}的通项公式为
思考 在等差数列中，公差d ≠ 0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比q满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系
例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
变式 在等比数列{an}中，
(1) a1＝1，a4＝8，求an；
(2) an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3) a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
等比数列{an}的通项公式：
等差数列{an}的通项公式：
例3 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
a1 a3 a5 a7 q
2 8
2 0.2
2. 已知{an}是一个公比为q等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数.
3. 在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝ 60. 求a1和公比q.
4
16
50
0.08
0.0032
课本P31
4.对于数列{an}, 若点(n, an) (n∈N*)都在函数y=cqx的图象上，其中c, q为常数，且c≠0, q≠0, q≠1，试判断数列{an}是否是等比数列，并证明你的结论.
课本P31
5.已知数列{an}是等比数列.
(1) a3, a5, a7是否成等比数列 为什么 a1, a5, a9呢
(2) 当n>1时, an-1, an, an+1是否成等比数列 为什么
当n>k>0时, an-k, an, an+k是等比数列吗
课本P31
例4
思考 已知b>0且b≠1，如果数列{an}是等差数列，那么数列 是否一定是等比数列 如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是否一定是等差数列
2.设数列{an}, {bn}都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列，若是，证明结论；若不是，请说明理由.
课本P34
1．等比数列的单调性
公比q 单调性 首项a1 q>1 0a1>0
a1<0 递增数列
递减数列
常数列
摆动数列
递减数列
递增数列
2.等比数列的项与序号的关系
两项关系
多项关系
等比数列的性质：
3．在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为(　　)
A．9 B．－9 C．±9 D．18
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 当q>1时，{an}为递增数列．(　　)
(2) 当q＝1时，{an}为常数列．(　　)
(3) {an}是等比数列，若m＋n＝p，则am·an＝ap. (　　)
(4) 若等比数列{an}的公比是q，则an＝amqm－n(m，n∈N*). (　　)
×
√
×
×
√
√
注意：在等比数列中，奇数项(或偶数项)的符号相同.
练习：
C
B
例6 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．
√
变式 一个等比数列前三项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(　　)
A．13项 B．12项 C．11项 D．10项
例7 用10000元购买某个理财产品一年.
(1) 若以月利率0. 400%的复利计息，12个月能获得多少利息(精确到1元)
(2) 若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息(精确到10-5)
变式 某家庭决定要进行一项投资活动，预计每年收益5%.该家庭2021年1月1日投入10万元，按照复利(复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加入本金，以计算下期的利息)计算，到2031年1月1日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为(　　)
参考数据：1.058≈1.48，1.059≈1.55，1.0510≈1.63，1.0511≈1.71
A．14.8万 B．15.5万 C．16.3万 D．17.1万
√
解：因为该家庭2021年1月1日投入10万元，按照复利计算，且每年收益5%，
∴10年后的资产总额为10×(1＋5%)10.
∵1.0510≈1.63，
∴10×(1＋5%)10≈16.3(万元). 故选C.
1.求满足下列条件的数:
(1) 在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列;
(2) 在160与－5中间插入4个数，使这6个数成等比数列.
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3. 某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017 年全年生产新能源汽车5000辆，如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆(精确到1)
4.某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240. 这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少(精确到0.01)
课本P34
5.已知数列{an}的通项公式为 ，求使an取得最大值时n的值.
课本P34
小结：
1. 等比数列的概念　
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为0常数，那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q (q≠0)表示.
等比数列的符号语言：
2. 等比中项　
如果在a与b中间插入一个数G，使a, G, b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 此时，G2=ab .
3．等比数列的单调性
公比q 单调性 首项a1 q>1 0a1>0
a1<0 递增数列
递减数列
常数列
摆动数列
递减数列
递增数列
4.等比数列的项与序号的关系
两项关系
多项关系