探索三角形相似的条件试卷
江苏泰州鸣午数学工作室 编辑
一、选择题（共10小题，每题3分）
1．（2014 荆州）如图，AB是半圆O的直 ( http: / / www.21cnjy.com )径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是【 】
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A. ∠ACD=∠DAB B. AD=DE C. AD2=BD CD D. AD AB=AC BD
【答案】D．
【考点】1.圆周角定理；2.相似三角形的判定；3.排除法的应用．
【分析】如图，∠ADC=∠ADB，
A、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA. 故本选项正确.
B、∵AD=DE，∴. ∴∠DAE=∠B. ∴△ADC∽△BDA. 故本选项正确.
C、∵AD2=BD CD，∴AD：BD=CD：AD.∴△ADC∽△BDA. 故本选项正确.
D、∵AD AB=AC BD，∴AD：BD=AC：AB. 但∠ADC=∠ADB不是夹角，故本选项错误．
故选D．
2．（2014 贵阳）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为【 】
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A. P1 B. P2 C. P3 D. P4
【答案】C．
【考点】1.网格问题；2.相似三角形的判定．
【分析】∵∠BAC=∠PED=90°，，
∴当=时，△ABC∽△EPD时.
∵DE=4，∴EP=6.∴点P落在P3处．
故选C．
3．（2014 河北）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按图中的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是【 】
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【答案】A．
【考点】相似三角形和多边形的判定．
【分析】如答图，
甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′.
∴△ABC∽△A′B′C′.∴甲说法正确.
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴. ∴.
∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法正确．
故选A．
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4．（2014 宿迁）如图，在直角梯形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是【 】
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A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C．
【考点】1.直角梯形的性质；2. 相似三角形的判定和性质；3.分类思想和方程思想的应用．
【分析】由于∠PAD=∠PB ( http: / / www.21cnjy.com )C=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数：
∵AB⊥BC，∴∠B=90°．
∵AD∥BC，∴∠A=180°﹣∠B=90°.
∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，AD=3，BC=5.
设AP的长为x，则BP长为8﹣x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得.
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6．
∴满足条件的点P的个数是3个.
故选C．
5．（2014 盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF于点H，AD=3，DC=4，DE=，∠EDF=90°，则DF长是【 】
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A. B. C. D.
【答案】C．
【考点】1.矩形的性质；2.相似三角形的判定和性质．
【分析】如答图，设DF和AE相交于O点，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°．
∵∠EDF=90°，∴∠ADC+∠FDA=∠EDF+∠FDA，即∠FDC=∠ADE．
∵AE⊥CF于点H，∴∠F+∠FOH=90°．
∵∠E+∠EOD=90°，∠FOH=∠EOD，∴∠F=∠E．
∴△ADE∽△CDF，∴AD：CD=DE：DF．
∵AD=3，DC=4，DE=，∴DF=．
故选C．
6．（2013 宜昌）如图，点A ( http: / / www.21cnjy.com )，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是【 】
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A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
【答案】B。
【考点】坐标与图形性质，相似三角形的判定。
【分析】△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE= ( http: / / www.21cnjy.com )90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意。
故选B。
7．（2013 贵阳）如图，M是Rt△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有【 】
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A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C。
【考点】相似三角形的判定，数形结合思想的应用。
【分析】过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以。因此，
∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条。故选C。
8．（2012 徐州）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC。图中相似三角形共有【 】
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A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C。
【考点】正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定。
【分析】根据正方形的性质，求出各边长，应用相似三角形的判定定理进行判定：
同已知，设CF=a，则CE=DE=2a，AB=BC=CD=DA=4a，BF=3a。
根据勾股定理，得EF=，AE=，AF=5a。
∴。
∴△CEF∽△DEA，△CEF∽△EAF，△DEA∽△EAF。共有3对相似三角形。故选C。
9．（2012 荆州）下列4×4的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是【 】
( http: / / www.21cnjy.com ) A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】B。
【考点】网格问题，勾股定理，相似三角形的判定。
【分析】根据勾股定理，AB=，BC=，AC=，
∴△ABC的三边之比为。
A、三角形的三边分别为2，，，三边之比为，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：：4，故本选项错误．
故选B。
10．（2012 海南）如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是【 】
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A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．
【答案】C。
【考点】相似三角形的判定。
【分析】由∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC，加上∠A是公共角，根据两组对应相等的两三角形相似的判定，可得△ADB∽△ABC；由，加上∠A是公共角，根据两组对应边的比相等，且相应的夹角相等的两三角形相似的判定，可得△ADB∽△ABC；但，相应的夹角不知相等，故不能判定△ADB与△ABC相似。故选C。
二、填空题（共10小题，每题3分）
11．（2014 邵阳）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com ) ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形： ▲ ．
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【答案】△ABP∽△AED（答案不唯一）．
【考点】1.开放型；2.平行四边形的性质；3.相似三角形的判定．
【分析】∵BP∥DF，∴△ABP∽△AED．
∵BC∥AD，∴△BEF∽△AED．
∴△ABP∽△BEF.
等等（答案不唯一）．
12．（2008 天津）如图，已知△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图中相似三角形共有 ▲ 对．
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【答案】6。
【考点】相似三角形的判定。
【分析】根据平行于三角形的一边与另两边 ( http: / / www.21cnjy.com )相交形成的三角形与原三角形相似，则图中△AEF、△AGH、△AIJ和△ABC任意两个三角形都相似，∴相似三角形共有6对。
13．（2013 六盘水）如图，添加一个条件： ▲ ，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
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【答案】∠ADE=∠ACB（答案不唯一）。
【考点】开放型，相似三角形的判定。
【分析】相似三角形的判定有三种方法 ( http: / / www.21cnjy.com )：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似。由此可得出可添加的条件：
由题意得，∠A=∠A（公共角），
则添加：∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC，利用两角法可判定△ADE∽△ACB；
添加：，利用两边及其夹角法可判定△ADE∽△ACB。
答案不唯一。
14．（2013 淄博）在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有 ▲ 条．
【答案】3。
【考点】新定义，单动点问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定，分类思想的应用。
【分析】如图，易知，
当PD∥BC时，△APD∽△ABC。
当PE∥AC时，△PBE∽A△BC。
连接PC，
∵∠A=36°，AB=AC，点P在AC的垂直平分线上，
∴AP=PC，∠ABC=∠ACB=72°。∴∠ACP=∠PAC=36°。∴∠PCB=36°。
∴∠B=∠B，∠PCB=∠A，∴△CBP∽△ABC。。
∴过点P的△ABC的相似线最多有3条。
15．（2013 黑河、齐齐哈尔、大兴安岭）如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是 ▲ （填一个即可）
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【答案】∠C=∠BAD（答案不唯一）。
【考点】开放型，相似三角形的判定。
【分析】由题意得，∠B=∠B（公共角），
则可添加：∠C=∠BAD，或∠BAC=∠BDA，利用两角法可判定△ABC∽△ACD（答案不唯一）。
16．（2013 本溪）如图，在矩形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有 ▲ 个．
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【答案】3。
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定，分类思想的应用。
【分析】设AP为x，
∵AB=10，∴PB=10﹣x。
分AD和PB是对应边，AD和BC是对应边两种情况：
①AD和PB是对应边时，
∵△APD与△BPC相似，∴，即。
整理得，x2﹣10x+16=0，解得x1=2，x2=8。
②AD和BC是对应边时，
∵△APD与△BPC相似，∴，即。解得x=5。
综上所述，当AP=2、5、8时，△APD与△BPC相似。
∴满足条件的点P有3个。
17．（2012 滨州） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形： ▲ （用相似符号连接）．
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【答案】△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE。
【考点】相似三角形的判定。
【分析】（1）在△BDE和△CDF中，∵∠BDE=∠CDF，∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE∽△CDF；
（2）在△ABF和△ACE中，∵∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF∽△ACE。
18．（2012 郴州）如图，D、 ( http: / / www.21cnjy.com )E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件 ▲ （只需写一个）．
【答案】∠ADE=∠C（答案不唯一）。
【考点】相似三角形的判定，开放题。
【分析】∵∠A是公共角，
∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时，△ADE∽△ACB（有两角对应相等的三角形相似）；
当AD：AC=AE：AB或AD AB=AE AC时，△ADE∽△ACB（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）。
∴要使△ADE∽△ACB ( http: / / www.21cnjy.com )，还需添加一个条件：答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD AB=AE AC等。
19．（2011 丹东）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相似的三角形有 ▲ 对．
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【答案】3。
【考点】平行四边形的的性质，相似三角形的判定。
【分析】根据四边形ABCD是平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形，得出DF∥BC，AB∥CD，则△EFD∽△EBC，△EFD∽△BFA，从而得出△ABF∽△CEB。共3对。
20．（2007 上海）如图，E ( http: / / www.21cnjy.com )为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连结AE，交边CD于点F．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形： ▲ ．
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【答案】△AFD∽△EFC（或△EFC∽△EAB，或△EAB∽△AFD）。
【考点】相似三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，平行四边形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。
【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△AFD∽△EFC∽△EAB。
三、解答题（共8小题，每题5分）
21．（2014 湘西州）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，AC与网格上的直线相交于点M．
（1）填空：AC= ▲ ，AB= ▲ ．
（2）求∠ACB的值和tan∠1的值；
（3）判断△CAB和△DEF是否相似？并说明理由．
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【答案】解：（1）.
（2）如图所示，，
又由（1）知，，
∴AC2+BC2=AB2=40. ∴∠ACB=90°．
又∵，∴tan∠1=.
综上所述，∠ACB的值是90°和tan∠1的值是.
（3）△CAB和△DEF相似．理由如下：
如图，DE=DF=，EF=．
∴.
∴△CAB∽△DEF．
【考点】1.网格问题；2.相似三角形的判定；3.勾股定理和逆定理；4.锐角三角函数的定义．
【分析】（1）根据勾股定理来求AC、AB的长度：
（2）利用勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义来解题.
（3）由“三边法”法来证它们相似．
22．（2013 汕头）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.
（1）设Rt△CBD的面积 ( http: / / www.21cnjy.com )为S1, Rt△BFC的面积为S2, Rt△DCE的面积为S3 , 则S1 ▲ S2+ S3(用“>”、“=”、“<”填空)；
（2）写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.
【答案】解：（1）=。
（2）△BCD∽△CFB∽△DEC。选择证明△BCD∽△DEC：
∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，∴∠EDC=∠CBD。
又∵∠BCD=∠DEC=90°，∴△BCD∽△DEC。
【考点】开放型，矩形的性质，相似三角形的判定。
【分析】（1）∵，∴。∴。
∴S1=S2+S3。
（2）根据矩形的性质，结合图形可得：△BCD∽△CFB∽△DEC，选择一对进行证明即可。
23．（2013 益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
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【答案】证明：∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC。
∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，。
又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE。
【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定。
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明。
24．（2013 怀化）如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，
求证：△ABC∽△DEF
【答案】证明：在△ABC中，∠B=180°-∠A-∠C=79°，
在△ABC和△DEF中， ∵，
∴△ABC∽△DEF，
【考点】相似三角形的判定。
【分析】在△ABC中求出∠B，利用两角法可判定△ABC∽△DEF。
25．（2011 泰州）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F。
（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？
（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由。
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【答案】解: （1）△ABC∽△FOA。理由如下：
在矩形ABCD中：∠BAC＋∠BCA＝90°，
∵直线l垂直平分线段AC，∴∠OFC＋∠BCA＝90°。∴∠BAC＝∠OFC＝∠OFA。
又∵∠ABC＝∠FOC＝90°，∴△ABC∽△FOA。
（2）四边形AFCE为菱形。理由如下：
∵AE∥FC ，∴△AOE∽△COF。
则OE：OF＝OA：OC＝1：1 ，∴OE＝OF。
又∵直线l垂直平分线段AC，∴AC与EF互相垂直平分。
∴四边形AFCE为菱形。
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，菱形的判定。
【分析】（1）△ABC和△FOA易证都是直角三角形，只要再证其一组对角相等，而∠BAC和∠OFC=∠OFA都与∠BCA互余，从而得证。
（2）要证四边形AFCE为菱形，已知直线l垂直平分线段AC，只要再证其互相平分，由△AOE∽△COF可证OE=OF，从而得证。
26．（2011 聊城）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点A、B、C同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动．设移动开始后第ts时，△EFG的面积为Scm2．
(1)当＝1s时，S的值是多少？
(2)写出S与之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围；
(3)若点F在矩形的边BC上移动，当为何值时，以点B、E、F为顶点的三角形与以C、F、G为顶
点的三角形相似？请说明理由。
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【答案】解：（1）如图1，当秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2
由
=
（2）①如图1，当时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，此时
即（）。
②如图2当点F追上点G时，，解得。
当时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，
此时CF=．CG=，FG=CG-CF=。
即 （）
（3）如图1，当点F在矩形的边BC上移动时，。
在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°。
①若．即，解得。
又满足，所以当时，△EBF∽△FCG。
②若．即，解得。
又满足，所以当时，△EBF∽△GCF。
综上所述，当或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似。
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【考点】动点问题，列二次函数关系式，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）用梯形EBCG的面积减去三角形EBF和FCG的面积即可。
（2）要求S与t之间的函数解析式，即要知道点E、F、G的运动位置。由题意知，当时，
E、F、G分别在AB、BC、CD上运动；当时，E、F、G分别在AB、CD、CD上运动；当
时，点F追上点G，三点停止移动。因此根据和两种情况分别列出△EFG面积的表达式，
即S与t之间的函数解析式。
（3）点F在矩形的边BC上移动，以点B、E、F为顶点的三角形与以C、F、G为顶点的三
角形相似时，考虑和两种情况，即△EBF∽△FCG和△EBF∽△GCF即可。求出此时
的值。
27．（2010 淮安）如(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，
点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一
周．
（1）点C坐标是( ， )，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是( ， )；
（2）设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值时，S最大；
（3）点E在线段AB上以同样速度由点A向点 ( http: / / www.21cnjy.com )B运动，如(b)图，若点E与点D同时出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以点A．O为对应顶点的情况)：
【答案】解：（1）C（3，4）、D（9，4）。
（2）当D在OA上运动时，（0＜t＜6）。
当D在AB上运动时，过点O作OH⊥A ( http: / / www.21cnjy.com )B，过点C作CF⊥AB，垂足分别为H和F，过D作DM⊥OA，过B作BN⊥OA，垂足分别为M和N，（如图）
设D点运动的时间为t秒，
所以DA=2t－12，BD=22－2t，
∵C为OB的中点，
∴CF为△BOH的中位线，
∴。
由勾股定理可得AB=10。
又∵，
即，∴。
∴。
∵BN⊥OA，DM⊥OA，∴△ADM∽△ABN。
∴，即。∴。
∴
即（6≤t＜11）。
当D在OB上运动时，O、C、D在同一直线上，S=0（11≤t≤16）。
综上所述，。
∴当t=6时，△OCD面积最大，为24。
（3）设当运动t秒时，△OCD∽△ADE，则，即，解得t=3.5。
设当运动t秒时，△OCD∽△AED，则，即。
∴，解得（舍去），
∴当t为3.5秒或秒时两三角形相似。
【考点】一次函数综合题，一次函数最值，双动点问题，直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的应用。
【分析】（1）若求点的坐标，可以过该点作x轴的垂线，所以可以借助于平行线等分线段定理解决，求出D和C的坐标。
（2）分D在OA上运动、D在AB上运动和D在OB上运动三种情况讨论即可。
（3）分△OCD∽△ADE和△OCD∽△AED两种情况讨论即可。
28．（2010 南京）学习《图形的相似》后，我们可以探索两个直角三角形全等的条件所获
得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．
（1）“对于两个直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足_____，或_____，两个直角三角形相似”；
（2）“满足斜边和一条直 ( http: / / www.21cnjy.com )角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到满足_____两个直角三角形相似”．请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程．
已知：如图，_____．
试说明Rt△ABC∽Rt△A/B/C/．
【答案】解：（1）一个锐角对应相等，两直角边对应成比例。；
（2）斜边和一条直角边对应成比例。
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A/B/C/中，∠C=∠C/=90°，．
Rt△ABC∽Rt△A/B/C/理由如下：
设=k，则AB= k A/B/，AC= k A/C/．
在Rt△ABC和Rt△A/B/C/中，
∵，
∴。
∴Rt△ABC∽Rt△A/B/C/。
【考点】相似三角形的判定，勾股定理。
【分析】（1）两个三角形只要满足两个 ( http: / / www.21cnjy.com )角对应相等，则这两个三角形相似。由于两个直角三角形的中的直角相等是问题的隐含条件，因此只需再有一个锐角对应相等即可判定它们相似。类比“两直角边对应相等，两个直角三角形全等”可知“两直角对应成比例时” 两个直角三角形相似。
（2）HL是判定两个直角三角形全等的特 ( http: / / www.21cnjy.com )殊方法，类比全等可得：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。可从全等是相似的特例入手，利用参数法，设两个直角三角形对应边的比值为k，进而转化为三角形相似的判定条件获解。探索三角形相似的条件试卷
江苏泰州鸣午数学工作室 编辑
一、选择题（共10小题，每题3分）
1．（2014 荆州）如图，AB是半圆O ( http: / / www.21cnjy.com )的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是【 】
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A. ∠ACD=∠DAB B. AD=DE C. AD2=BD CD D. AD AB=AC BD
2．（2014 贵阳）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为【 】
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A. P1 B. P2 C. P3 D. P4
3．（2014 河北）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按图中的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是【 】
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
4．（2014 宿迁）如图，在直角梯形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是【 】
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A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5．（2014 盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF于点H，AD=3，DC=4，DE=，∠EDF=90°，则DF长是【 】
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A. B. C. D.
6．（2013 宜昌）如图，点A，B，C， ( http: / / www.21cnjy.com )D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是【 】
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A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
7．（2013 贵阳）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有【 】
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A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．（2012 徐州）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC。图中相似三角形共有【 】
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A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
9．（2012 荆州）下列4×4的正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是【 】
( http: / / www.21cnjy.com ) A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
10．（2012 海南）如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是【 】
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A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．
二、填空题（共10小题，每题3分）
11．（2014 邵阳）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形： ▲ ．
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12．（2008 天津）如图，已知△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图中相似三角形共有 ▲ 对．
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13．（2013 六盘水）如图，添加一个条件： ▲ ，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
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14．（2013 淄博）在△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有 ▲ 条．
15．（2013 黑河、齐齐哈尔、大兴安岭）如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是 ▲ （填一个即可）
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16．（2013 本溪）如图，在矩形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有 ▲ 个．
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17．（2012 滨州）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形： ▲ （用相似符号连接）．
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18．（2012 郴州） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件 ▲ （只需写一个）．
19．（2011 丹东）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相似的三角形有 ▲ 对．
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20．（2007 上海）如图，E为平行 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形ABCD的边BC延长线上一点，连结AE，交边CD于点F．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形： ▲ ．
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三、解答题（共8小题，每题5分）
21．（2014 湘西州）如图，在8× ( http: / / www.21cnjy.com )8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，AC与网格上的直线相交于点M．
（1）填空：AC= ▲ ，AB= ▲ ．
（2）求∠ACB的值和tan∠1的值；
（3）判断△CAB和△DEF是否相似？并说明理由．
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22．（2013 汕头）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.
（1）设Rt△CBD的面积为S1, ( http: / / www.21cnjy.com ) Rt△BFC的面积为S2, Rt△DCE的面积为S3 , 则S1 ▲ S2+ S3(用“>”、“=”、“<”填空)；
（2）写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.
23．（2013 益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
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24．（2013 怀化）如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，
求证：△ABC∽△DEF
25．（2011 泰州）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F。
（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？
（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由。
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26．（2011 聊城）如图，在矩形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点A、B、C同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动．设移动开始后第ts时，△EFG的面积为Scm2．
(1)当＝1s时，S的值是多少？
(2)写出S与之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围；
(3)若点F在矩形的边BC上移动，当为何值时，以点B、E、F为顶点的三角形与以C、F、G为顶
点的三角形相似？请说明理由。
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27．（2010 淮安）如(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，
点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一
周．
（1）点C坐标是( ， )，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是( ， )；
（2）设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值时，S最大；
（3）点E在线段AB上以同样速度由 ( http: / / www.21cnjy.com )点A向点B运动，如(b)图，若点E与点D同时出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以点A．O为对应顶点的情况)：
28．（2010 南京）学习《图形的相似》后，我们可以探索两个直角三角形全等的条件所获
得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．
（1）“对于两个直角三角形，满足一边一 ( http: / / www.21cnjy.com )锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足_____，或_____，两个直角三角形相似”；
（2）“满足斜边和一条直角边对 ( http: / / www.21cnjy.com )应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到满足_____两个直角三角形相似”．请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程．
已知：如图，_____．
试说明Rt△ABC∽Rt△A/B/C/．
