大理州民族中学2023-2024学年上学期12月月考
高一数学
考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 图 1 图 2
m l m l m m 2l m 2l m
一项是符合题目要求的. A
B C D ． ． ． ．
2 2 2 2
3
1．设 a,b为实数，且 a b 0，则下列不等式正确的是 8． 若 loga 1，则实数 a的取值范围是4
2 2 c c 3 3 3 3A. a b 0 B. a c b c C. ac bc D. A. 0 a B. 0 a 或 a 1 C. a 1 D. a 1或 a 1
a b 4 4 4 4
2．函数 f x x3 x的图象关于 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，
y y x y x 有多项符合题目要求.全部选对得 5分，部分选对得 3分，有选错的得 0分.A. 轴对称 B. 直线 对称 C. 坐标原点对称 D. 直线 对称
9．下面说法正确的有
4
3．下列角中，与角 终边相同的角是 4π
3 A． 240 化成弧度是 ；3
2 4
A. B. C. D.
3 3 6 3 B．终边在直线 y x
上的角 的取值集合可表示为 k 360 45 ,k Z ；
4．函数 f x 2x log2x的零点所在区间为 cos 0
C．角 为第四象限角的充要条件是 ；
1 1 1 1 3 3 sin 0
A. (0, ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( ,1)
4 4 2 2 4 4
D．若角
4
的终边上一点 P的坐标为 3,4 ，则 sin = .
5．已知集合 A x y log2 (x 2) ，B x 2x 2 0 ，则 RA B 5
10．已知正数 x, y满足 x y 2，则下列选项正确的是
A. {0,1} B. [1,2) C. [1,2] D. {1,2} 1 1A． x y的最小值是 2 B．
xy的最大值是 1
6．已知函数 y xa， y bx ， y logc x的图象如图所示，则 C． x2 y2的最小值是 4 D． x(y 1) 9的最大值是 4
A. ea ec eb B. eb ea ec 11．下列说法正确的是
C. ea eb ec D. eb ec ea A. 命题“ x 0， x2 0 ”的否定是“ x 0， x2 0 ”
B. “ x 2 ”是“ x 1”的必要不充分条件
7．扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早
C. “ x 1”是“ x 0 ”的充分不必要条件
的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大
D. “m 0 ”是“关于方程 2 有一个正根和一个负根”的充要条件
众喜爱的有团扇和折扇.如图 1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打 x 2x m 0
开后的折扇为扇形（如图 2），若图 2中 ABC ，D， E分别在 BA， BC上， AD CE m， AC的
长为 l，则该折扇的扇面 ADEC的面积为
12月月考数学试卷·第 1页（共 4页 ） 12月月考数学试卷·第 2页（共 4页）
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log x 1 , x 1 f (x) x m2 20.（本题满分 12分）已知函数 2 是定义在 2,2 上的奇函数.
12 x 4．已知函数 f x 1 x ，下列结论不正确的是
, x 1
2 （1）确定 f x 的解析式；
f a 1 f f 2023 1 （2）用单调性的定义证明： f x 在区间 2,2 上单调递减；A．若 ，则 a 3 B．
2022
2022
（3）解不等式 f t 1 f t 0 .
C．若 f a 2，则 a 1或a 5 D．若方程 f x k 1有两个不同的实数根，则 k
2
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
1
13 1 2x x
2
．函数 y ( ) 的单调递增区间是 ．
3 21．（本题满分 12分）塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害.某品牌塑料袋经自然降r
P(cos
t
14．若角 的终边过点 ,cos0)，则 tan 的值是 ． 解后残留量 y 与时间 t年之间的关系为y y0 e v , y0 为初始量，r 为光解系数（与光照强度 湿6
15．已知 f x 是定义在R上的奇函数，且 x 0时，f x 2x 1，则 f 0 f 1 ． 度及氧气浓度有关）， v为塑料分子聚态结构系数.（参考数据： ln5 1.6, lg2 0.3）
f x x216．若函数 a 2 x a 4在 0,1 上只有一个零点，则实数a的取值范围是 ． （1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的 90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的 20%时，
大约需要多少年？
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（2）为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变.已知 2年就可降解初始量的
2 1
17．（本题满分 10分）计算：（1） (2 2) 3 (6 1) 2 ln e 3 3 3 6 3；
4 20% .要使残留量不超过初始量的 5%，至少需要多少年？
lg 1（2） log 3 log 2 log 5 21 log2 3 lg 2 log
100 2 5 3 100
5 .
18.（本题满分 12分）已知函数 f (x)是定义在 R上的偶函数，当 x 0时， f (x) x2 2x .
（1）求函数 f (x)的解析式； 22．（本题满分 12分）已知 f (x) log 22 (x ax 3a)．
（2）求方程 f (log2 x) 3的解集． （1）若 f (x)的值域为 R，求实数 a的取值范围；
（2）已知 g(x) m 3x 5 2m，当 a 4时，若对任意的 x1 [1,2 2 6]，总存在 x2 [0,2]，使
19．（本题满分 12分）已知对数函数 f (x)的图象经过点 (9,2) . f (x1) g(x2 )成立，求实数m的取值范围．
（1）求不等式 f (x 1) 1的解集；
（2）已知函数 f (x)的反函数为 g(x)，h(x) g(2x) 2g(x)，求 h(x)在[ 1,1]上的最大值和最小值.
12月月考数学试卷·第 3页（共 4页 ） 12月月考数学试卷·第 4页（共 4页）
{#{QQABIYCQogioQBAAARgCQQWaCgGQkBGACCoGBAAEMAAAARFABAA=}#}大理州民族中学高一年级 12月月考（数学）参考答案 (t 1)2 2 t 1 4a t
2 4t 1
t 1 4，
t t t
一、选择题.
1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】C g t 1令 t 4,g t 在 t 1,2 上单调递减，故a g 2 ,g 1 5 5 , 4 .故答案为： , 4
l l t
2 2
7．【答案】D【详解】依题意， AB BC ,BD BE m ，
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
D E l所以 m
l m，
17．
ADEC l l m
m 2l mm
2 1 2
所以该折扇的扇面 的面积为 .故选：D 1 3 1 1 1 1 3 3
2 2 1 2 【详解】（ ）原式 2 22 25 ln e2 32 33 36 22 5 1
1 1 1
32 3 6 2 2 3 3
3 3 4 2 2
8． 【答案】B【详解】 loga 1 loga log4 4 a
a，
…………………………………………5分
0 a 1, a 1,
3 2 2 log 3 log2 2 log 5（ ）原式 22 2 2log 3
1
2 lg 2 1 lg5
3 或 3 解得：0 a 或 a 1，故选：B. log 5 log 3 2 2
a, a, 4
2 2
4 4 1 1
2 6 4 . …………………………………………10分
二、多项选择题. 2 2
9．【答案】AD 10．【答案】ABD 11．【答案】CD
18.【详解】（1设 x 0,则 x 0因为 f (x)是定义在 R上的偶函数，则
12．【答案】ABC【详解】对于A：当 a 1时，log2 (a 1) 1
1 a
，解得 a 3；当 a 1时，( ) 1，解得 a 0，
2
f (x) f ( x) ( x)2 2( x) x2 2x
则 a 0或 a 3，故选项A不正确；
f ( 2023) log (2023 1对于B： 2 1) log2 ( ) log22022 0
2
， x 2x x 0
2022 2022 2022 所以 f (x) 2 ……………………………………………5分
x 2x x 0
f ( f ( 2023)) f ( log 2022) (1) log2 2022 2 log2 20222 2022 ，故选项B不正确；2022 2
（2）令 t log2 x则 f (t) 3
对于C：当 a 1时，log2 (a 1) 2 log 4
1
2 ，即 a 1 4
a
，解得a 5；当 a 1时，( ) 2，解得 a 1，
2
因为 f (x) 2是定义在 R上的偶函数，所以a 5 f (t) f ( t ) t 2 t 3则a 1或 ，故选项C不正确；
对于D：函数 y log2 x 1 在 (1, )上单调递增，值域为R，则 log2 x 1 k时， k R， 所以 t 3或 t 1（不合题意，舍去）
y (1)x ( ,1] 1 1 x 1 t log x 3 log x 3或 log x 3 1函数 在 上单调递减，值域为[ , )，则 ( ) k时，k ，因此，方程 f x k有两个 2 2 2 x 8或x
2 2 2 2 8
1
不同的实数根，则 k ，故选项D正确.故选：ABC
2 所以方程 f (log2 x)
1
3 的解集为 ，8
.……………………………………………12分
8
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
13 2 3．【答案】 [ 1, ) 14．【答案】 15．【答案】 1 19．【详解】（1）设 f (x) log x(a 0且a 1)
3 a
5 x2 2x 4 则 loga9 2，所以 2loga 3 2 loga 3 1 a 3，所以 f x log3x
16．【答案】 , 4 【详解】 x22 a 2 x a 4 0,a ，设 t x 1 1,2 ， x 1
12月月考数学答案·第 1页（共 8页 ） 12月月考数学答案·第 2页（共 8页）
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f x 1 1 log x 1 1 log x 1 log 3 解得 t 144，所以残留量为初始量的20%，大约需要 144年.……………………6分由 可得 3 ，即 3 3
r
2 4
x 1 0 （2）根据题意当 t 2时， y 1 20% y0， y0 e
v y0，
即 ，即 1 x 2 .所以，不等式 f (x 1) 1的解集为 ( 1,2) . 5……………………6分
x 1 3 t
t ln 4
t ln 4
2 5 1 4 2 1
（2）依题知， g(x) 3x，故 h(x) 32x 2 3x (3x 1)2 1因为 x [ 1,1] 3x
1 2 5 ，若残留量不超过初始量的5%，则 y e y ，即
，所以 [ ,3] y y0 e 0 0
3 20 5 20
x t 4 1所以当3 1，即 x 0时， h(x)min 1； 两边取常用对数 lg lg ，2 5 20
当3x 3，即 x 1时， h(x)max 3 .……………………………………………12分 2 lg2 1
解得 t 26，所以至少需要 26 年.…………………………………………12分
x m x m 3lg2 1
20.【详解】（1）因为 f (x) 2 ，所以 f ( x) ，x 4 x2 4
22．【详解】（1）依题意，函数 f (x) log2 (x
2 ax 3a)的值域为 R，
因为函数 f (x)是奇函数，所以 f (x) f ( x)，
x m x m x 设 t x
2 ax 3a，则 y 2可取到一切正数,可得 a 12a 0 a 0或a 12，
即 2 2 ，解得m 0， f (x) 2 .……………………………………………4分x 4 x 4 x 4
解得 a的取值范围是 ( ,0] [12, )．…………………………………………5分
(用 f (0) 0，求出m 0，需要检验，没有检验扣 1分）
2 a 4 2 2 2（ ）若 ＝ ，则 f (x) log2 (x 4x 12)，因为 t x 4x 12 (x 2) 8
（2）在 2,2 上任取 x1, x2 ，且 x1 x2 ，
当 x [1,2 2 6]时， t的最小值为 8， t的最大值为 32，
x x x x 2 4 x x 2 4
则 f (x1) f (x ) 1 2
1 2 2 1
2 x 21 4 x
2 2
2 4 x1 4 x 22 4 且 y log2 x在定义域内单调递增，
x1x
2
2 4x1 x x
2
2 1 4x2 x1x2 x2 x1 4 x2 x1 x1x2 4 x x 2 1 可得 f (x)在[1,2 2 6]上的最小值为 log2 8 3，最大值为 log2 32 5．即函数 f (x)的值域是[3,5]．
x 21 4 x 22 4 x 21 4 x 22 4 x 21 4 x 22 4
因为对任意的 x1 [1,2 2 6]，总存在 x2 [0,2]，使 f (x1) g(x2)成立
2 2
因为 x1 4 0， x2 4 0， x1x2 4 0， x2 x1 0，
所以 f (x1)的值域是 g(x2 )的值域的子集．
所以 f (x1) f (x2 ) 0， f (x1) f (x2 )， f x 在区间 2,2 上单调递减.……………………8分
5 m 3
当m 0时， g(x2 ) [5 m,5 7m]，则 m 2；
（3）因为 f x 是定义在 2,2 上的奇函数和减函数， 5 7m 5
所以 f t 1 f t 0即 f t 1 f t ， f t 1 f t ， 5 7m 3
当m 0时， g(x2 ) [5 7m,5 m]，则 m
2
；
5 m 5 7
2 t 1 2
2 t 2 1则 ，解得 t 2，不等式 f t 1 f t 0
1
的解集为 , 2 .……………12分 当m 0时， g(x2 ) 5，不符合题意；
2 2
t 1 t
2
综上所述．实数m的取值范围为 ( , ] [2, )．………………………………………… 分1 1 1 12
21 t 7．【详解】（1）由题可知 y y 90 ，所以 t90 ，所以 t ln0.2 1.6，0 e 0.2y0 e 0.2 90
12月月考数学答案·第 3页（共 8页 ） 12月月考数学答案·第 4页（共 8页）
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