江西省丰城县中2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含答案）

丰城县中2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．抛物线的焦点到原点的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．定义：既是中心对称也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下列方程所表示的曲线不是“尚美曲线”的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交于、两点，则的周长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．已知双曲线：的离心率为2，则渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
6．双曲线：上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（ ）
A．15 B．3 C．3或15 D．5或12
7．某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，该椭圆的离心率为．若该椭球横截面的最大直径为米，则该椭球的高为（ ）
A．米 B．米 C．4米 D．米
8．已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．离心率为 B．存在使得
C．，则的面积为9 D．椭圆的弦被点平分，则
11．过双曲线：的右焦点作直线与该双曲线交于、两点，则（ ）
A．存在一条直线，使
B．存在直线，使弦的中点为
C．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为
D．若，都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是
12．已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则点到轴的距离为4
B．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条
C．是准线上一点，是直线与的一个交点，若，则
D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）
13．以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为________．
14．直线：与双曲线：交于不同的两点，则斜率的取值范围是________．
15．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最小值是________．
16．已知双曲线v左，右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算）
17．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）一个焦点为，且离心率为；
（2）经过两点，．
18．在平面直角坐标系中，点到，两点的距离之和为4
（1）写出点轨迹的方程；
（2）若直线与轨迹有两个交点，求的取值范围．
19．已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点横坐标为3，且点到焦点的距离为5．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于点，，求面积的最小值（其中为坐标原点）．
20．已知，分别为椭圆：的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过的直线与椭圆交于，两点，且与以为直径的圆交于，两点，证明：为定值．
21．已知抛物线上有两点，，且直线过点，．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若抛物线上有一点，纵坐标为4，抛物线上另有两点，，且直线与的斜率满足，重心的横坐标为4，求直线的方程．
22．已知：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于、两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线交直线于点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点为坐标原点，求面积的最大值．
丰城县中2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题答案
1-8 BDDCB ADD 9.BCD 10.BCD 11.CD 12.CD
13.
14.
15.
16.
17.（1）依题意可知，双曲线的焦点在轴上，且，
又，故其标准方程为.
（2）设双曲线方程为，
把点与点代入，有，解得，
故所求双曲线的标准方程为：.
18.（1）由椭圆定义可知，轨迹是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆，
故，，，其方程为.
（2）联立得，
因为有两个交点，所以，
解得，所以的取值范围为.
19.（1）由题意知，准线方程：，
由抛物线定义可知：点到焦点的距离即为点到准线的距离，
所以 ， 解得.
所以.
（2）由（1） 知， 抛物线，直线过，
可设直线的方程为，，不妨设，
联立消得，
所以，，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴面积最小值为.
20.（1）由，可得，解得，
又因为，所以，
因为点在椭圆上，所以，
解得，，，所以椭圆的标准方程为．
（2）证明：当与轴重合时，，所以
当不与轴重合时，设，直线的方程为，
由整理得，
则，
故
圆心到直线的距离为，则，
所以，即为定值．
21.（1） 由题意知直线的斜率不可能为0，
设，直线的方程为，
由得，，即，
即，即，
将代入，得，
则，则，
则，由，解得，
故所求抛物线的标准方程为．
（2）
由抛物线方程可得点坐标为，设，
则，
则，且，则，
故．又，
则，又，可得直线的中点坐标为，
故由点斜式得直线的方程为5），即．
22.（1）由题意可得:
故椭圆的标准方程为 .
（2）证明:由题意知, ,
设直线 方程: ,
联立方程 , 得 ,
所以 ,
所以 ,
又 ,
所以直线 方程为: ,
令 , 则 .
所以直线 过定点 .
, 所以 ,
又 ，
所以 ,
令 , 则 ,
令 , 当 时, ,
故 在 上单调递增,
则 在 上单调递减,
即 在 上单调递减,
所以 时, .