湘教版·2014-2015学年八年级数学下册精品课件：1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）（共36张PPT）

(共37张PPT)
直角三角形的性质
和判定（Ⅱ）
本课内容
本节内容
1.2
做一做
如图1-9， 在方格纸上（设小方格边长为单位1）
画一个顶点都在格点上的直角三角形， 使其两直角边
分别为3， 4， 量出这个直角三角形斜边的长度.
图1-9
我量得c为5.
议一议
议一议
议一议
议一议
议一议
议一议
在方格纸上， 以图1-9 中的Rt△ABC 的三边为边长
分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图1-10，
那么这三个正方形的面积S1， S2 ， S3 之间有什么关系呢？
图1-10
议一议
议一议
议一议
议一议
议一议
议一议
由图1-10 可知， S1 = 32， S2 = 42 ，
为了求 S3 ， 我可以先算出红色区域
内大正方形的面积， 再减去4 个小三
角形的面积， 得 S3 = 52.
∵ 32 + 42 = 52，
∴ S1 + S2 = S3 .
在图1-10 中， S1 + S2 =S3 ， 即BC2 +AC2 =AB2 ，
那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？
图1-10
探究
如图1-11，任作一个Rt△ABC，∠C= 90°， 若BC= a，AC= b， AB= c， 那么a2 + b2 = c2
是否成立呢？
图1-11
步骤1 先剪出4个如图1-11 所示的直角三角形， 由
于每个直角三角形的两直角边长为a，b（其中
b > a），于是它们全等（SAS），从而它们的
斜边长相等. 设斜边长为c.
图1-11
我们来进行研究.
步骤2 再剪出1 个边长为c 的正方形，如图1-12所示.
图1-12
步骤3 把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成
如图1-13的图形.
图1-13
由于△DHK≌△EIH，
∴ ∠2 ＝∠4.
又∵ ∠1 +∠2 = 90°，
∴ ∠1 +∠4 = 90°.
因此拼成的图形是正方形DEFG，它的边长为(a + b)，
它的面积为(a + b)2 .
又∠KHI = 90°，
∴ ∠1 +∠KHI +∠4 = 180°， 即D，H，E 在一条直线上.
图1-13
同理E，I，F在一条直线上； F ，J，G 在一条直线上；
G ，K，D 在一条直线上.
又正方形DEFG 的面积为c2 + ，
∴
即
a2+2ab+ b2 = c2 +2ab ，
∴
a2+ b2 = c2 .
图1-13
结论
直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.
a2+ b2 = c2
由此得到直角三角形的性质定理：
其实我国早在三千多年前就已经知道直角三
角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角
边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为
弦（如图1-14），因此这一性质被称为勾股定理.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长， 我们可以根据勾股定理，求出第三边的长.
勾
股
弦
故AD的长为12cm.
在Rt△ADB中，由勾股定理得
AD2+BD2 =AB2 ，
如图1-15，在等腰三角形ABC 中，已知AB = AC
= 13cm，BC = 10cm，AD⊥BC 于点D. 你能算出
BC边上的高AD的长吗？
例1
图1-15
举
例
解 在△ABC中，
∵ AB = AC = 13 ，BC = 10 ，AD⊥BC，
∴ BD = = 5.
∴
在Rt△ABC中，∠C= 90°.
（1） 已知a = 25，b = 15，求c；
（2） 已知a = 5，c = 9，求b；
（3） 已知b = 5，c=15，求a.
练习
答：（1）c= ；（2） ；（3）
动脑筋
如图1-16，电工师傅把4m长的梯子AC 靠在
墙上，使梯脚C 离墙脚B 的距离为1.5m，准备在
墙上安装电灯. 当他爬上梯子后，发现高度不够，
于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C′处.
那么，梯子顶端是否往上移动0.5m 呢？
图1-16
在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，
图1-17
由勾股定理得， （m）.
图1-16
由图1-16 抽象出示意图1-17. 在Rt△ABC 中，计算出AB； 再在Rt△ 中， 计算出 ，则可得出梯子往上移动的距离为（ -AB）m.
即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m.
图1-17
因此 = 3.87 - 3.71 = 0.16（m）.
在Rt△ 中， = 4m， = 1m，
故
（“引葭赴岸” 问题） “今有方池一丈，葭生其
中央， 出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐. 问水深，
葭长各几何？” 意思是：有一个边长为10 尺的
正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水
部分为1 尺. 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉
向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面. 问水深与
芦苇长各为多少？
例2
宋刻《九章算术》书影
举
例
分析 根据题意，先画出水池截面示意图， 如图1-18.
设AB 为芦苇，BC 为芦苇出水部分，即1 尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B′.
在Rt△ACB′中， 根据勾股定理，得
x2 + 52 =（x+ 1）2，
答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺.
如图1-18，设水池深为x尺，
则AC = x尺， AB = AB′=（x + 1）尺.
解
图1-18
因为正方形池塘边长为10尺， 所以
B′C = 5尺.
解得 x=12.
则芦苇长为13尺.
1. 如图，一艘渔船以30 海里/h 的速度由西向东追赶 鱼群. 在A 处测得小岛C 在船的北偏东60°方向；40 min 后，渔船行至B 处，此时测得小岛C 在船的北偏东30°方向. 已知以小岛C 为中心，周围10 海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？
练习
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
D
因CD距离不在以点C为中心，周围10 海里范围内，
所以轮船不会触礁.
由已知得AB=30× （海里），
在Rt△CBD中，∠BCD=30°，
2. 如图，AE 是位于公路边的电线杆，高为12m，
为了使电线CDE 不影响汽车的正常行驶，电力
部门在公路的另一边竖立了一根高为6m的水泥
撑杆BD，用于撑起电线.已知两根杆子之间的距
离为8m，电线CD 与水平线AC 的夹角为60°.
求电线CDE 的总长L（A，B，C 三点在同一直线
上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计）.
在下图中，过D点作DM⊥AE，垂足为M.
解
M
易知四边形MABD为矩形，MA=BD=6m，
所以ME=EA-MA=12-6=6(m).
在Rt△EMD中，由勾股定理得
所以L= ED+CD=10+ （m）.
M
在Rt△DBC中,∠CDB=30°,
设BC=x,DC=2x，由勾股定理得,
x2+62=(2x)2
解得 x=
我们已经知道勾股定理：“直角三角形两直角边a，b 的平方和，等于斜边c的平方.” 那么，这个定理的逆命题成立吗？
探究
如图1-19，在△ABC 中，AB = c，BC = a，AC = b，
且a2+ b2 =c2 ， 那么△ABC是直角三角形吗？
图1-19
如果我们能构造一个直角三角形， 然后证明△ABC 与所构造的直角三角
形全等， 即可得△ABC 是直角三角形.
∵ a2+ b2 = c2 ，
图1-20
∴ = c.
如图1-20，作Rt ，使∠ = 90°，
= a， = b.
△
在Rt 中， 根据勾股定理得，
2= a2+ b2 ，
△
∴ 2 = c2.
∴ △ABC是直角三角形.
先构造满足某些条件的
图形，然后根据所求证的图
形与所构造图形之间的关系，
完成证明，这也是常用的问
题解决策略.
在△ABC和 中，
∵ BC = = a，AC = = b，
AB = = c，
△
∴ △ABC≌
△
∴ ∠C =∠ = 90°.
结论
如果三角形的三条边长a，b，c 满足关系：
，那么这个三角形是直角三角形.
由此得到直角三角形的判定定理：
上述定理被称为勾股定理的逆定理.
分析 根据勾股定理的逆定理， 判断一个三角形是不是直角三角形， 只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方.
例3
判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.
（1）a = 6，b = 8，c = 10；
（2）a = 12，b = 15，c = 20.
举
例
满足a2+ b2 = c2的
三个正整数称为勾股
数.
（2） ∵ 122 + 152 = 369， 202 = 400，
∴ 122 + 152≠202.
∴ 这个三角形不是直角三角形.
（1） ∵ 62 + 82 = 100， 102 = 100，
∴ 62 + 82 = 100.
∴这个三角形是直角三角形.
解
（1）a = 6，b = 8，c = 10；
（2）a = 12，b = 15，c = 20.
例4
如图1-21，在△ABC 中，已知AB = 10，BD = 6， AD = 8，AC = 17. 求DC的长.
在△ABD中，AB = 10，BD = 6，AD = 8，
∵ 62 + 82 = 102 ，
解
即AD2 + BD2 = AB2 ，
∴ △ADB为直角三角形.
∴ ∠ADB = 90°.
∴ ∠ADC = 180°-∠ADB = 90°.
在Rt△ADC中，DC2 = AC2 - AD2 ，
∴
图1-21
举
例
练习
1. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.
（1） a = 8，b = 15，c = 17；
（2） a = 10，b = 24，c = 25；
（3） a = 4，b = 5， c = .
答：（1）是 ； （2）不是； （3）是.
2. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点，
E是BC上一点， 且EC= BC.
求证： △AEF是直角三角形.
证明：由已知可得 DF=CF=2，
EC=1，BE=3.
在Rt△ADF中，由勾股定理得
AF2 = DF2 +AD2 =22+42=20.
同理可得
AE2 =25， EF2 =5.
在△AEF中，有 AE2 = AF2 + EF2 ，
所以△AEF是直角三角形.
中考 试题
例
如图所示，在Rt△ABD中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（ ）.
A.10° B.20° C.30° D.40°
B
因为6x>90，所以x >15.
又6x<180，所以x<30.
故应选择B.
解
此题题目中除了直角并未给出任何其他角的具体度数，因此要求出x值，只能大致估计其范围，再在选项中选择可能的取值.
分析
结 束