4.3.2等比数列的前n项和公式 （第二课时） 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
4.3.2 等比数列的前n项和公式
（第二课时）
1.等比数列的前n项和公式
已知量 首项a1、公比q(q≠1)与项数n 首项a1、末项an与公比q(q≠1) 首项a1、
公比q＝1
求和公式
2.等差数列前n项和公式的两种形式
常数项为0的关于n的二次型函数．
类比等差数列，等比数列的前n项和Sn有什么函数特性？
思考：
复习引入
等比数列的前n项公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q=1时是不同的公式形式，不可忽略q=1的情况.
当q=1时，Sn=na1是n的正比例函数.
当q≠1时，
是一个指数式与一个常数的和，且指数式的系数与常数项互为相反数.
新知探究
1.设b∈R，数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b，则(　　)
A．{an}是等比数列
B．{an}是等差数列
C．当b＝－1时，{an}是等比数列
D．当b≠－1时，{an}是等比数列
解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1，
当b＝－1时，a1＝2适合an＝2·3n－1，{an}是等比数列．
当b≠－1时，a1不适合an＝2·3n－1，{an}不是等比数列．
练一练
等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即S n，S2n－Sn，S3n－S2n…成等差数列．那么等比数列是不是也有类似的性质呢？
类比探究
证明：
不用分类讨论的方式能否证明该结论？
另解：
为什么要公比q ≠﹣1？
追问：
B
练一练
D
4.
例3. 如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
(1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和;
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列.
解:设各个正方形的面积组成数列{an}，正方形ABCD的面积为首项a1 , 则a1=25 .
你能说明理由吗？
所以，当10个正方形的面积之和为
练一练
5.
例4 .某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3， .
(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系;
(2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数;
(3) 求S10= c1＋c2＋c3＋ ＋c10的值(精确到1).
分析:
(1)可以利用每年存栏数的增长率为8%和每年年底卖出100头建立cn+1与cn的关系；
(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式, 通过比较系数,得到方程组；
(3)利用(2)的结论可得出解答.
例4 .某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3， .
(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系;
(2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数;
(3) 求S10= c1＋c2＋c3＋ ＋c10的值(精确到1).
解:(1)由题意，得c1=1200,并且cn+1=1.08cn-100. ①
(2)将cn+1-k=r(cn-k)化成c n+1 =rcn-rk+k. ②
比较①②的系数可得
所以(1)中的递推公式可以化为cn+1-1250=1.08(cn-1250)．
例4 .某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3， .
(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系;
(2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数;
(3) 求S10= c1＋c2＋c3＋ ＋c10的值(精确到1).
(3)由(2)可知，数列{cn-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则
(c1-1250)+(c2 -1250)+(c3-1250)+ +(cn-1250)
= (c1+c2+c3+…+c10)-10×1250
所以S10=c1+c2 +c3+ +c10≈1250×10-724.8=11775.7≈11776.
在解决实际问题时，有时不容易发现呈等差关系或等比关系变化的量，但可以发现某些量的递推关系．这时，往往可以先构建一个用递推关系表达的数列，再尝试通过代数变换，把这个数列转化为等差数列或等比数列，或等差数列与等比数列的线性组合．
对于数列{cn}满足：cn+1 =rcn+m ，先通过引入参数，建立一个含cn+1与cn的等比关系，再求出其中的参数，这实际上是待定系数法，即：cn+1-k=r(cn-k)，先求出数列{cn-k}的通项公式，进而求得数列{cn}的通项公式．
方法总结
6.已知数列{an}的递推关系为 an+1 =2an +1 ，且an=1,
求通项公式an.
练一练
（1）掌握用等比数列知识解决增长率等问题的数学模型，尤其要注意公比与项数的选取；
（2）根据实际问题，先分清等比数列与等差数列, 再建立不同的数学模型；
（3）通过实际问题，发现等差数列与等比数列的不同特点.
课堂小结
课后探究
问题2 若{an}是公比为q的等比数列，S偶, S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶, S奇之间有什么关系？
（类比等差数列探究）