湘教版·2014-2015学年八年级数学下册精品课件：33轴对称和平移的坐标表示

(共39张PPT)
本节内容
3.3
轴对称和平移
的坐标表示
动脑筋
（1）分别作出点A关于x轴，y轴的对称点A′，A″，并写出
它们的坐标；
（2）比较：点A与A′的坐标之间有什么关系？点A与A″呢？
如图3-18，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2）.
图3-18
A（3，2）
A′（3，-2）
A（3，2）
关于x轴对称
A（3，2）
A″（-3，2）
关于y轴对称
横坐标 纵坐标
不变
互为相反数
互为相反数
不变
一般地，在平面直角坐标系中，点（a，b）关于
x轴的对称点的坐标为（a，-b），关于y轴的对称点的坐标为（-a，b）.
做一做
如图3-19，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，2）， C（5，2）.
（1）作出△ABC关于y轴的轴对称图形，并写出其
顶点坐标；
（2）作出△ABC关于x轴的轴对称图形，并写出其
顶点坐标.
图3-19
如图3-20，分别作出点A，B，C关于y轴的对称点
A1，B1，C1，并连接这三点，则△A1B1C1即为所
求作的图形.此时其顶点坐标分别为A1（-2，4），
B1（-1，2），C1（-5，2）；
（1）
图3-20
●
A1
●
B1
●
C1
类似（1）的作法，可作出△ABC关于x轴的轴对称
图形△A2B2C2，其顶点坐标分别为A2（2，-4），
B2（1，-2），C2（5，-2）.
（2）
●
A1
●
B1
●
C1
●
A2
●
B2
●
C2
举
例
例1
如图3-21，求出折线OABCD 各转折点的坐标
以及它们关于y 轴的对称点O′， A′， B′，
C′， D′的坐标， 并将点O′， A′， B′，
C′， D′依次用线段连接起来.
图3-21
折线OABCD各转折点的坐标分别为O（0，0），
A（2，1），B（3，3），C（3，5），
D（0，5），它们关于y 轴的对称点的坐标
是O′（0，0） ， A′（-2，1） ，
B′（-3，3） ，C′（-3，5）， D′（0，5）.
将各点依次连接起来，得到图3-22.
解
想一想，如果要
在平面直角坐标系中
画一个轴对称图形，
怎样画才较简便？
图3-22
1. 填空.
（1）点B（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是 ；
（2）点A（-5，3）关于y轴对称的点的坐标是 .
练习
（2，3）
（5，3）
练习
练习
2. 已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A（-7，-2），
B（-7，-5 ），C（ -3，-5），D（ -3，-2），
以y 轴为对称轴作轴反射，矩形ABCD 的像为矩形 A′B′C′D′，求矩形A′B′C′D′的顶点坐标.
答：
A′ （7，-2） ， B′（7，-5） ，
C′（3，-5）， D′（3，-2 ）.
（1）如果点A（-4，a） 与点A′（-4，-2） 关于
x轴对称，则a的值为________.
（2）如果点B（-2，2b + 1）与点B′（2，3） 关于
y 轴对称，则b的值为________.
3.
2
1
练习
动脑筋
如图3-23，在平面直角坐标系中，
A（1，2）分别沿坐标轴方向作以下变换， 试作点A的像， 并写出像的坐标.
（1）点A向右平移4个单位，像为点A1；
（2）点A向左平移3个单位，像为点A2；
（3）点A向上平移2个单位，像为点A3；
（4）点A向下平移4个单位，像点为A4.
图3-23
A（1，2）
A1（5，2）
一般地， 在平面直角坐标系中，将点（a，b）
向右（或向左） 平移k 个单位，其像的坐标为（a+k，b）
（或（a-k， b））； 将点（a， b）向上（或向下）
平移k个单位，其像的坐标为（a， b+k）（或（a， b-k））.
A2 （-2，2）
A3 （1，4）
A4 （1，-2）
不变
向右平移4个单位
向左平移3个单位
向上平移2个单位
向下平移4个单位
不变
不变
不变
不变
不变
不变
不变
不变
不变
坐标变化
横坐标 纵坐标
加4
减3
加2
减4
不变
不变
不变
不变
（1）将线段AB向上平移2个单位， 作出它的
像A′B′， 并写出点A′， B′的坐标；
（2）若点C（x，y） 是平面内的任一点，
在上述平移下， 像点C′（x′， y′）
与点C （x，y）的坐标之间有什么关系？
动脑筋
图3-24
如图3-24，线段AB 的两个端点坐标分别为
A（1，1）和B（4，4）.
（1）将线段AB 向上平移2 个单位， 则线段AB 上
每一个点都向上平移了2 个单位， 由点A， B
的坐标可知其像的坐标是A′（1， 3），
B′（4， 6）. 连接点A′， B′， 所得线段
A′B′即为所求作的像，如图3-24.
图3-24
（2）同理可求出，像点C′与点C之间的坐标关系为
x′= x，
y′= y+2.
举
例
例2
如图3-25， △ABC 的三个顶点坐标分别为
A（3，3）， B（2，1），C（5，1）.
（1） 将△ABC 向下平移5个单位，作出它的像，
并写出像的顶点坐标；
（2） 将△ABC 向左平移7个单位，作出它的像，
并写出像的顶点坐标.
图3-25
根据平移的性质，将△ABC 向下或向左平移k 个
单位，△ABC的每一个点都向下或向左平移了k个
单位，求出顶点A， B， C的像的坐标，作出这些
像点，依次连接它们，即可得到△ABC的像.
分析
解
（1）将△ABC 向下平移5 个单位，
则横坐标不变，纵坐标减5，
由点A，B，C的坐标可知其像
的坐标分别是A1（3，-2），
B1（2，-4）， C1（5，-4），
如右图所示.
A1（3，-2）
●
B1（2，-4）
●
C1（5，-4）
●
依次连接点A1，B1，C1，即
可得△ABC的像△A1B1C1.
将△ABC 向左平移7 个单位， 则横坐标减7，
纵坐标不变， 由点A，B， C的坐标可知其像
的坐标分别是A2（-4，3）， B2（-5，1），
C2（-2，1）. 如图3-26所示.
（2）
B2（ -5，1）
●
A2（ -4 ，3）
●
C2（ -2 ，1）
●
依次连接点A2，B2，C2 ， 即可得△ABC 的像△A2B2C2 .
图3-26
1. 填空：
（1）点A（-1，2） 向右平移2个单位，它的像是
点A′_________；
（2）点B（2，-2） 向下平移3个单位， 它的像是
点B′_________.
练习
（1，2）
（2，-5）
如图，线段AB 的两个端点坐标分别为A（-2，-2），
B（2，2）. 线段AB向下平移3个单位，它的像是
线段A′B′.
（1）试写出点A′， B′的坐标；
（2）若点C（x，y）是平面内的任一点，在上述
平移下，像点C′（x′，y′）与点C
（x， y）的坐标之间有什么关系？
2.
答：（1）
A′ （ -2 ，-5） ， B′（2，-1）.
x′= x，
y′= y -3.
（2）
3. 如图，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（2，2），
B（2，-2），C（6，-2），D（6，2），将正方形
ABCD向左平移4个单位，作出它的像，并写出像的
顶点坐标.
答：平移后的正方形的顶点
坐标为A′（-2，2） ，
B′（ -2，-2） ，
C′（2，-2），
D′（2，2）.(图略)
探究
如图3-27，△ABC 的顶点坐标分别为A（-4，-1），
B（-5，-3），C（-2，-4）. 将△ABC 向右平移7 个
单位，它的像是△ A1B1C1 ； 再向上平移5个单位， △A1B1C1的像是△A2B2C2.
（1）分别写出△A1B1C1 ，△A2B2C2的顶点坐标；
（2）将△ABC 作沿射线AA2的方向的平移，移动的距离
等于线段AA2 的长度， 则△ABC的像是△A2B2C2吗？
图3-27
△A1B1C1的像是△A2B2C2.
（1）△ A1B1C1的顶点坐标分别为：
A1（3，-1），B1（2，-3），C1（5，-4）；
△ A2B2C2的顶点坐标分别为：
A2（3，4）， B2（2，2）， C2（5，1）.
（1）分别写出△A1B1C1 ，△A2B2C2的顶点坐标；
图3-27
在这个平移下，点A（-4，-1） 的像是点
A2（3，4）. 点A2的横坐标是3 =（-4）+7，
点A2的纵坐标是4 =（-1）+ 5. 因此在这个平移下，
平面内任一点 P（x，y） 与其像点P′（x′， y′）
的坐标有如下关系：
x′= x+7 ，
y′= y +5 .
（2）将△ABC 作沿射线AA2的方向的平移，移动的距离等
于线段AA2 的长度， 则△ABC的像是△A2B2C2吗？
按照这个关系， 点B（-5，-3）的像点的坐标
为（2，2），从而点B 的像点是B2；点C（-2，-4） 的像点的坐标为（5，1），从而点C 的像点是C2.
因此△ABC的像是△A2B2C2，如图3-28.
图3-28
如图3-29，四边形ABCD 四个顶点的坐标分别为
A（1，2）， B（3，1），C（5，2）， D（3，4）.将四边形ABCD 先向下平移5 个单位， 再向左平移6个单位，它的像是四边形A′B′ C′ D′. 写出四边形A′B′ C′ D′的顶点坐标， 并作出该四边形.
举
例
例3
图3-29
解
四边形ABCD 先向下平移5 个单位，再向左平移
6 个单位，在这个平移下，平面内任一点P（x，y）
与其像点P′（x′，y ′）的坐标有如下关系：
x′= x-6 ，
y′= y-5 .
按照这个关系，由点A，B， C， D的坐标可知其像
的坐标分别是A′（-5，-3）， B′（-3，-4），
C′（-1，-3）， D′（-3，-1）. 依次连接点
A′， B′， C′， D′，即得四边形A′B′ C′ D′ ，
如图3-29.
图3-29
练习
如图，菱形ABCD四个顶点的坐标分别为A（4，7），
B（2，4）， C（4，1），D（6，4）. 将菱形ABCD
向下平移3个单位，它的像是菱形A′B′ C′ D′.写出
菱形A′B′ C′ D′的顶点坐标，并作出该图形.
将菱形A′B′ C′ D′向左平移6个单位，它的像是菱形
A″B″C″D″，写出菱形A″B″C″D″的顶点坐标，
并作出该图形.
解
将菱形ABCD 向下平移3个单位，则横坐标不变，
纵坐标减3， 由点A，B，C，D的坐标可知其像
的坐标分别是A′（4，4）， B′（2，1），
C′ （4，-2），D′ （6，1），依次连接点A′，
B′， C′和 D′ ，即可得菱形A′B′ C′ D′.
如下图所示.
●
●
●
●
●
A′
B′
C′
D′
将菱形A′B′ C′ D′ 向左平移6个单位，
则纵坐标不变，横坐标减6， 由点A′，B′，
C′， D′的坐标可知其像的坐标分别是
A″（-2 ，4）， B″（-4，1）， C″（-2 ，-2），
D″（0，1），依次连接点A″，B″，C″和D″ ，
即可得菱形A″B″C″D″. 如下图所示.
●
●
●
●
A″
B″
C″
D″
●
●
●
●
●
A′
B′
C′
D′
1. 画一个平面直角坐标系，试说明如何确定给定点的坐标.
2. 在平面直角坐标系中，四个象限中的点与坐标轴上的点
的坐标有什么特征？
3. 举例说明如何用方位角和距离来刻画两个物体的相对位置.
4. 画一个正方形， 建立适当的平面直角坐标系，写出它的
顶点坐标.
小结与复习
写出点P（x，y） 关于x轴， y轴的对称点的坐标.
将点P（x，y）向左（或右） 平移k 个单位，它的
像点P′（x′， y′） 的坐标是多少？
将点Q（x，y） 向上（或下） 平移k个单位， 它的
像点Q′（x′，y′） 的坐标是多少？
将平面内一点P（x，y） 先向左平移m个单位，再向上
平移n个单位， 它的像点P′的坐标为（x′， y′），
写出x′，y′与x， y的关系式.
6.
7.
5.
简单图形的坐标表式
平面上物体位置的确定
方位角与距离
其他方法
平面直角坐标系
点的坐标
轴对称和平移
的坐标表示
同一个点，在不同的平面直角坐标系中，其坐标也不
相同，所以，我们说一个点的坐标，都是对某一个确
定的坐标系来说的.
1.
2.
确定一个点P（x，y）关于坐标轴对称的点的坐标或是沿坐标轴方向平移后的点的坐标，可以通过画图来帮助理解. 数形结合将帮助我们更好地理解变换的坐标表示和在变换下图形的位置的变化.
结 束