夏津育中万隆中英文高级中学2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试题
本试卷共2页，22小题，满分150分，考试时间120分钟.
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.为提高学生的身体素质，某校开设了游泳、武术和篮球课程，甲、乙、丙、丁4位同学每人从中任选门课程参加，则不同的选法共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.掷一个均匀的骰子．记为“掷得点数大于”，为“掷得点数为奇数”，则为
A. B. C. D.
3.中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂
颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有
A. 种 B. 种
C. 种 D. 种
4.如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则
A. B.
C. D.
5.已知，为两个随机事件，，若，，，则
A. B. C. D.
6.设随机变量的概率分布列如下：则
B. C. D.
7.在二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率为
A. B. C. D.
8.年，法国贵族德梅雷骑士偶遇数学家布莱兹帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢局且尤瑟纳尔赢得局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是
A. 肖恩 B. 尤瑟纳尔 C. 酒吧伙计 D. 酒吧老板
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.带有编号、、、、的五个球，则
A. 全部投入个不同的盒子里，共有种放法
B. 放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C. 将其中的个球投入个盒子里的一个另一个球不投入，共有种放法
D. 全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
10.已知，则
A. B.
C. D.
11.甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球球除颜色外，大小质地均相同先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是
A. 事件与相互独立 B.
C. D.
12.已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法正确的有
A. B. ，且为偶数时，
C. 时，随着的增大而增大 D. 时，随着的增大而减小
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.展开式中的系数为 ．
14.在中国革命史上有许多与“”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军”、“八女投江”等，因此数字“”是当之无愧的新时代“英雄数字”如果一个四位数，各个位置上数字之和等于，这样的数称为“英雄数”比如，，就是一个“英雄数”，则所有的“英雄数”有 个用数字回答
15.设有两个罐子，罐中放有个白球、个黑球，罐中放有个白球，现在从两个罐子中各摸一个球交换，这样交换次后，黑球还在罐中的概率为 ．
16.如图是一块高尔顿板的示意图。在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱
形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃。将小球从顶
端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下
的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中。格子从左到右分别编号
为，，，，，则小球落入 号格子的概率最大。图片仅供参考
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
名男生和名女生站成一排．
甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
男、女分别排在一起的站法有多少种？
男、女相间的站法有多少种？
甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
18.本小题分
已知二项式，若选条件_____填写序号，
求展开式中含的项；
设，求展开式中奇次项的系数和．
请在：只有第项的二项式系数最大；第项与第项的二项式系数相等；所有二项式系数的和为，
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中的线上，并完成解答．
19.本小题分
作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华文化．为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加．除小明以外的其他参赛选手中，是一类棋手，是二类棋手，其余的是三类棋手．小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是、和．
从参赛选手中随机选取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；
如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率．
20.本小题分
某商场正在进行“消费抽奖”活动，道具是甲、乙两个箱子，里面装有形状大小材质数量均相同的小球若干，已知每个箱子里装有红球个，黄球个，蓝球若干个，若从一个箱子里任取两个小球，这两个小球均是蓝球的概率为．
从甲箱里任取两个球，在已知一个小球是黄球的条件下，求另一个小球也是黄球的概率；
若活动规定取到一个红球积分为分，取到一个黄球积分为分，取到一个蓝球积分为分，参加活动的人需要在甲、乙两个箱子中各随机抽取一个球，用表示一个人参加活动的总积分，求的分布列．
21.本小题分
北京时间月日晚，年国际象棋世界冠军赛在哈萨克斯坦首都阿斯塔纳闭幕，来自温州的国际象棋男子特级大师丁立人最终击败涅波姆尼齐亚，加冕世界棋王。这是中国棋手首次夺得国际象棋男子世界冠军。某小学为了提高同学们学习国际象棋的兴趣，举行了二年级国际象棋男子团体赛，各班级均可以报送一支人队伍。比赛分多轮进行，每轮比赛每队都需选定名选手，每轮比赛选手可不同。比赛没有平局，每轮比赛结束，得胜班级得分，反之分。晋级赛规则如下：第一轮随机为各队伍匹配对手从第二轮比赛开始，积分相同的队伍之间再由抽签决定对手。具体比赛程序如下图。这样进行三轮对抗之后，得分及以上的班级晋级，反之淘汰。晋级的队伍再进行相应的比赛。
二班选派了五名选手，在第一轮比赛中，已知选手参加了比赛，请列举出该班级所有可能的首发队员的样本空间
现共有支参赛队伍，且实力相当，二班在第一轮比赛输给了二班，则两队在第三轮重新遇上的概率为多少
某班级在筹备队员时，班内已推选水平较为稳定的选手名，很多同学纷纷自荐最后一个名额。现共有名自荐选手，分别为五级棋士名、六级棋士名和七级棋士名，五、六、七级棋士被选上的概率分别为，最后一名选手会在这名同学中产生。现任选一名自荐同学，计算该同学被选上的概率，并用表示选出的该同学的级别，求的分布列．
22.本小题分
随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨询该客服后成交的概率，已知某网店共有位客服，按询单率分为，两个等级见下表
等级
询单转化率
人数
视，等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值，完成下列两个问题的解答；
现从这位客服中任意抽取位进行培训，设抽取的等级客服的人数为，求随机变量的分布列，并求这人的询单转化率的中位数不低于的概率；
已知该网店日均咨询顾客约为万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过人在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位等级客服接待的概率为，被任一位等级客服接待的概率为，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加人，则应该控制在什么范围？数学评分标准
本试卷共2页，22小题，满分150分，考试时间120分钟.
单选题 CDBA DCCB
二、多选题 9.AC 10.AD 11.BCD 12.
三、填空题 13. 14. 15. 16.
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.解：先排甲有种，其余有种，共有种排法 ---------------------------2分
先排甲、乙，再排其余人，共有种排法 -----------------------------4分
把男生和女生分别看成一个元素，男生和女生内部还有一个全排列，种 ------------6分
先排名男生有种方法，再将名女生插在男生形成的个空上有种方法，
故共有种排法 ---------------------------------8分
人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法，因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，
故共有种排法． ---------------------------------10分
18.解：选，由只有第项的二项式系数最大，可知，展开式共有项，所以， -------------2分
选，由第项与第项的二项式系数相等，可知，，所以， -------------2分
选，由所有二项式系数的和为，可知，可得，所以二项式可化为， ------2分
， -----------------4分
令，展开式中含的项为； -----------------6分
令，则， ------------8分
令，则， ----------10分
展开式中奇次项的系数和为． ------------------------------12分
19.解：设 “小明与第 ，，类棋手相遇”，
根据题意 ， ， ---------------2分
记 “小明获胜”，则有 ， ， ， --------4分
由全概率公式，小明在比赛中获胜的概率为
，所以小明获胜的概率为． ---------8分
小明获胜时，则与小明比赛的棋手为一类棋手的概率为 ，
即小明获胜，对手为一类棋手的概率为． -------------------------------12分
20.解：设甲、乙两个盒子里蓝球的个数均为，
由题意可得，整理可得，解得， -------------2分
记事件从甲箱里任取两个球，其中有一个小球是黄球，事件从甲箱里任取两个球，两球都是黄球，
则，，所以，． --------------6分
解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、， ------------------------7分
则，，
，，， --------11分
所以，随机变量的分布列如下表所示：
----------------12分
21.解：选手确定出席，所以剩下名选手中还要选出人，则样本空间为：； -----------------------------2分
因为实力相当，所以每一轮获胜的概率为，
二班和二班在第三轮相遇，则前两轮两队得分相同，所以第二轮二班得分，二班得分，第三轮比赛对手安排方式共：种，所以二和二班在第三轮相遇的概率； -------5分
记事件为“选手能通过选拔进入比赛”，事件为“选手是 级水平”，
由题设知，且，，两两互斥， ---------------------------------6分
由全概率公式得，任选一名选手能通过选拔进入比赛的概率为：
， -----------------8分
所以， --------------9分
， ------------10分
， ------------11分
所以的分布列为：
-------------------------12分
22.解：(1)依题意A、B等级客服的询单转化率分别为80%,60%,则X的可能取值为0、1、2、3、4, -------------1分
由题意可得,X服从超几何分布,所以X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,3,4, ------------------------2分
即P(X=0)==,P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)===,P(X=4)===,
所以X的分布列为:
X 0 1 2 3 4
P
----------------------4分
当X=0时,4人转化率为60%,60%,60%,60%,中位数为60%;
当X=1时,4人转化率为60%,60%,60%,80%,中位数为60%;
当X=2时,4人转化率为60%,60%,80%,80%,中位数为70%;
当X=3时,4人转化率为60%,80%,80%,80%,中位数为80%;
当X=4时,4人转化率为80%,80%,80%,80%,中位数为80%.
所以当X2时,这4人的询单转化率的中位数不低于70%.
所以P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1--=. ---------------------------6分
(2)设改革前后A等级客服的接待顾客人数分别为Y, Z
改革前, 每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为==,
所以YB(10000,),则E(Y)=10000=6000,
因为A, B等级客服的询单转化率分别为80%, 60%,
所以改革前日均成交人数为600080%+(10000-6000)60%=7200, ----------7分
改革后, 每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为=6a,
所以Z~B(10000，6a),则E(Z)=100006a=60000a,
故改革后日均成交人数为60000a80%+(10000-60000a)60%=12000a+6000, --------------8分
由12000a+60007200+300得:a, ----------------9分
因为每位顾客被一位A等级客服接待的概率为a，所以每位顾客被一位B等级客服接待的概率为b=,
则.解得:. --------------------------------11分
由得:a,所以a应该控制在[，]. ---------------------12分
