第5讲　机械振动和机械波（含解析）2024年高考物理大二轮复习讲义

第5讲　机械振动和机械波
目标要求　
1.熟练掌握机械振动的特点和规律、机械波的传播规律和特点。
2.能根据振动和波的图像分析质点的振动和波动特点。
考点一　机械振动
1．简谐运动的规律
规律 x＝Asin(ωt＋φ)
图像 反映同一质点在各个时刻的位移
受力 特征 回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动 特征 衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量 特征 振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
周期 性特征 质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称 性特征 关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、相对平衡位置的位移大小相等；动能、势能相等
2.单摆
(1)单摆周期公式T＝2π
①g为当地重力加速度，在地球上不同位置g的取值不同，不同星球表面g值也不相同。
②单摆处于超重或失重状态时等效重力加速度g0＝g±a。在近地轨道上运动的卫星加速度a＝g，为完全失重，等效重力加速度g0＝0。
(2)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F＝mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F与位移x的方向相反。(如图所示)
①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcos θ。
②当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝mg＋m。
例1　如图所示，弹簧振子在B、C两点之间做简谐运动，其平衡位置为O点。已知B、C相距50 cm。从小球经过O点时开始计时，经过0.3 s首次到达B点。取向右为正方向，下列说法正确的是(　　)
A．小球振动的周期一定为1.2 s
B．小球振动的振幅为0.5 m
C．弹簧振子振动方程可能为x＝－0.25sin(5πt) m
D．0.6 s末，小球可能不在平衡位置
学习笔记：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
例2　有两个钓鱼时所用的不同的鱼漂P和Q，分别漂浮于平静水面上的不同位置，平衡时状态均如图甲所示。现因鱼咬钩而使鱼漂P和Q均在竖直方向上做简谐运动，振动图像如图乙所示，以竖直向上为正方向，则下列说法正确的是(　　)
A．鱼漂P和Q振动形成的水波叠加后会形成干涉图样
B．t＝0.6 s时鱼漂P和Q的速度都为0
C．t＝1.0 s时鱼漂P和Q的速度方向相同
D．t＝1.0 s时鱼漂P和Q的加速度方向相同
学习笔记：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
例3　(2023·江苏扬州市三模)如图所示，“杆线摆”可以绕着固定轴OO′来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这相当于单摆在光滑斜面上来回摆动。轻杆水平，杆和线长均为L，重力加速度为g，摆角很小时，“杆线摆”的周期为(　　)
A．2π B．2π
C．2π D．2π
学习笔记：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
考点二　机械波
形成条件 (1)波源；(2)传播介质，如空气、水等
传播特点 (1)机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移 (2)介质中各质点振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同 (3)一个周期内，质点完成一次全振动，通过的路程为4A，位移为零 (4)一个周期内，波向前传播一个波长
波的图像 (1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移 (2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移
波长、波速和 频率(周期) 的关系 (1)v＝λf；(2)v＝
波的叠加 (1)两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx＝nλ(n＝0,1,2，…)，振动减弱的条件为Δx＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…) (2)振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两波振幅的和A1＋A2
波的多 解问题 由于波的周期性、波传播方向的双向性，波的传播易出现多解问题
波的特性 波的干涉
波的衍射
例4　(2023·江苏省苏锡常镇四市一模)某同学抓住绳子一端在0～2 s内做了两种不同频率的简谐运动，其振动图像如图所示。下列说法正确的是(　　)
A．绳端起振方向向下
B．前后两次振动的周期之比为1∶2
C．前后两次形成的绳波波速之比为2∶1
D．前后两次形成的绳波波长之比为2∶1
学习笔记：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
例5　(2023·江苏盐城市三模)沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形如图所示，A、B、C三个质点的平衡位置分别为xA＝1.5 m、xB＝2 m、xC＝3 m，t＝1.8 s时质点A恰好第二次到达波峰，下列说法中正确的是(　　)
A．波传播的速度大小为5 m/s
B．t＝0.2 s时质点B处在波谷位置
C．质点C在t＝0.3 s时沿y轴正方向运动
D．质点B的振动表达式为y＝5sin(2.5πt) cm
学习笔记：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
例6　(2023·湖南卷·3)如图(a)，在均匀介质中有A、B、C和D四点，其中A、B、C三点位于同一直线上，AC＝BC＝4 m，DC＝3 m，DC垂直AB。t＝0时，位于A、B、C处的三个完全相同的横波波源同时开始振动，振动图像均如图(b)所示，振动方向与平面ABD垂直，已知波长为4 m。下列说法正确的是(　　)
A．这三列波的波速均为2 m/s
B．t＝2 s时，D处的质点开始振动
C．t＝4.5 s时，D处的质点向y轴负方向运动
D．t＝6 s时，D处的质点与平衡位置的距离是6 cm
学习笔记：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
例7　(2023·全国甲卷·34(2))分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同振幅均为5 cm，波长均为8 m，波速均为4 m/s。t＝0时刻，P波刚好传播到坐标原点处，该处的质点将自平衡位置向下振动；Q波刚好传到x＝10 m处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。
(1)在给出的坐标图上分别画出P、Q两列波在t＝2.5 s时刻的波形图(P波用虚线，Q波用实线)；
(2)求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的平衡位置。
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
考点三　振动图像和波的图像的综合应用
例8　(2023·江苏省苏北地区一模)一列简谐横波在t＝1.0 s时的波形图如图甲所示，P是介质中的质点，图乙是质点P的振动图像，已知该波在介质中的传播速度为10 m/s，则(　　)
A．该波沿x轴负方向传播
B．再经过0.6 s，质点P运动的路程为6 m
C．t＝1.0 s时质点P离开平衡位置的位移为－5 cm
D．质点P的平衡位置坐标为x＝5 m
1．(2023·江苏常州市期末)甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中传播，甲波沿x轴正方向传播，乙波沿x轴负方向传播，t＝0时刻两列波恰好在坐标原点相遇，波形图如图所示。则(　　)
A．x＝－3 m处的质点起振时向y轴负向运动
B．甲、乙两列波不具有相干性
C．坐标原点为振动减弱点
D．两个相邻振动加强点间的距离为1 m
2．(2023·江苏淮安市模拟)如图所示，甲图为波源的振动图像，乙图为该波源在某介质中产生的横波t0时刻的波形图像，O点是波源，则下列说法正确的是(　　)
A．该波的传播速度为1 m/s
B．再经过0.3 s，乙图中质点Q刚好开始振动，Q的起振方向沿y轴正方向
C．当乙图中质点Q第一次到达波峰时，质点P正处于平衡位置向下振动
D．从该时刻到质点Q开始振动，质点P运动的路程为0.3 m
第5讲　机械振动和机械波
例1　C　[小球经过O点时开始计时，经过0.3 s首次到达B点，若开始计时时小球向右运动，则小球振动的周期T＝1.2 s
若开始计时时小球向左运动，则
T＝0.3 s
小球振动的周期T＝0.4 s
小球振动的周期可能为1.2 s或0.4 s，A错误；
由题意可知2A＝50 cm，小球振动的振幅为A＝0.25 m，B错误；当T＝0.4 s时，有ω＝＝5π rad/s，
可知弹簧振子的振动方程为
x＝－0.25sin(5πt) m，C正确；
无论周期是0.4 s还是1.2 s,0.6 s末，小球都在平衡位置，D错误。]
例2　D　[两列波的周期不相等，不满足干涉条件，所以不能形成干涉图样，故A错误；t＝0.6 s时，鱼漂P和Q都经过平衡位置，此时它们的速度均为最大值，故B错误；t＝1.0 s时，鱼漂P的速度方向为正，Q的速度方向为负，即方向相反，故C错误；t＝1.0 s时，鱼漂P和Q的位移方向均为负，所以加速度方向均为正，所以此时两者的加速度方向相同，故D正确。]
例3　A　[由于摆球绕OO′轴转动，摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，则在摆角很小时，重力沿虚线向下的分力mgsin 30°沿摆球摆动的切线方向的分力提供回复力，如图，“杆线摆”的摆长为l＝Lcos 30°＝L，“杆线摆”的周期为T＝2π＝2π，故选A。]
例4　D　[由题图知，绳端起振方向向上，前后两次振动的周期之比为2∶1，A、B错误；波在相同介质中传播波速不变，波速之比为1∶1，C错误；根据λ＝vT 可知，波长之比为2∶1，D正确。]
例5　C　[由题图可得波长λ＝4 m，根据波向右传播可得：当波向右传播Δx＝4.5 m时质点A恰好第二次到达波峰，故波速v＝＝ m/s＝2.5 m/s，周期为T＝＝1.6 s，因为t＝0.2 s＝，根据波的传播方向和质点的振动方向的关系，质点B在平衡位置向上振动，不会到达波谷，B错误；因为t＝0.3 s<，所以质点C从波谷正在向平衡位置振动，即向y轴正方向运动，C正确；根据波向右传播可得：t＝0时刻，质点B在平衡位置向上振动，由题图可得：振幅A＝5 cm，又有周期T＝1.6 s，故质点B的振动表达式为y＝Asin t＝5sin(1.25πt) cm，D错误。]
例6　C　[由图(b)的振动图像可知，振动的周期为4 s，故三列波的波速为v＝＝1 m/s，A错误；由图(a)可知，与D处距离最近的波源是波源C，距离为3 m，故开始振动后波源C处的横波传播到D处所需的时间为tC＝＝3 s，故t＝2 s时，D处的质点还未开始振动，B错误；由几何关系可知AD＝BD＝5 m，波源A、B产生的横波传播到D处所需的时间为tAB＝＝5 s，故t＝4.5 s时，仅波源C处的横波传播到D处，此时D处的质点振动时间为t1＝t－tC＝1.5 s，由振动图像可知此时D处的质点向y轴负方向运动，C正确；t＝6 s时，波源C处的横波传播到D处后振动时间为t2＝t－tC＝3 s，由振动图像可知此时D处为波源C处传播横波的波谷；t＝6 s时，波源A、B处的横波传播到D处后振动时间为t3＝t－tAB＝1 s，由振动图像可知此时D处为波源A、B处传播横波的波峰。根据波的叠加原理可知此时D处质点的位移为y＝2A－A＝2 cm，故t＝6 s时，D处的质点与平衡位置的距离是2 cm，D错误。]
例7　(1)见解析图　(2)见解析
解析　(1)根据Δx＝vt得
Δx＝4×2.5 m＝10 m
可知t＝2.5 s时P波刚好传播到x＝10 m处，Q波刚好传播到x＝0处，
根据上下坡法及两波的波长λ＝8 m可得波形图如图所示
(2)根据题意可知，P、Q两波振动频率相同，振动方向相反，两波叠加时，振动加强点的条件为到两波源的距离差
Δx＝(n＝0,1,2…)
解得在图示范围内，振幅最大的平衡位置有x＝3 m、x＝7 m
振动减弱的条件为
Δx＝nλ(n＝0,1,2…)
解得在图示范围内，振幅最小的平衡位置有x＝1 m、x＝5 m、x＝9 m。
例8　D　[由题图乙可知，t＝1.0 s时，P点振动方向向上，根据上下坡法，波沿x轴正方向传播，A错误；经过1个周期，即1.2 s，质点经过的路程s＝4A，经过0.5个周期，即0.6 s，经过的路程s′＝2A，以上规律质点在任何位置开始都适用，故再经过0.6 s，质点P运动的路程为0.2 m，B错误；由题图乙可得简谐运动的表达式y＝Asin (t)＝10sin (t) cm，当t＝1.0 s时，解得质点P离开平衡位置的位移为y＝10sin () cm＝－5 cm，C错误；由题图乙可知，当t′＝1.2 s时，P点振动到平衡位置，该波沿x轴正方向传播，此时的波形图如图中虚线，所以v＝＝10 m/s，解得xQP＝2 m，又由λ＝vT＝10×1.2 m＝12 m，所以xP＝λ＋xQP＝5 m，D正确。]
高考预测
1．D　[x＝－3 m处的质点起振是由甲波引起的，由图像可知甲波在坐标原点的起振方向向y轴正向运动，则x＝－3 m处的质点起振时向y轴正向运动，故A错误；甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中传播，可知传播速度相等，由图像可知两波波长相等，则甲、乙两列波具有相同的频率，甲、乙两列波具有相干性，故B错误；由于甲、乙两列波的波速相等，由图像可知，两列波的波峰同时传到坐标原点，则坐标原点为振动加强点，故C错误；由于甲、乙两波波长相等，波速相等，又同时传播到坐标原点，设乙波波源坐标为x0，则甲波波源坐标为－x0，设两波源间的两点分别为相邻的振动加强点，坐标分别为x1、x2，则有Δx1＝(x1＋x0)－(x0－x1)＝2x1＝nλ，Δx2＝(x2＋x0)－(x0－x2)＝2x2＝(n＋1)λ，可知两个相邻振动加强点间的距离为Δx＝x2－x1＝λ＝×2 m＝1 m，故D正确。]
2．A　[由题图甲可知该波的周期为0.2 s，由题图乙可知该波的波长为0.2 m，则该波的波速v＝＝ m/s＝1 m/s，故A正确；由题图乙可知t0时刻波刚好传播到x＝0.2 m处，经过0.3 s，波传播的距离x＝vt＝1×0.3 m＝0.3 m，可知波传播到x＝0.5 m处的质点Q，结合题图甲可知Q的起振方向沿y轴负方向，故B错误；由B选项分析可知波传播到x＝0.5 m处的质点Q后，第一次到达波峰还需要的时间t′＝T＝0.15 s，即从t0时刻起，经过的时间为0.45 s，即T，由同侧法可知，t0时刻质点P向y轴正方向振动，经过T后，质点P正处于波峰位置，故C错误；从该时刻到质点Q开始振动，经过的时间为0.3 s，即T，质点P运动的路程s＝6A＝6×2 cm＝0.12 m，故D错误。]