导数分类练习 含解析）
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导数常考题型分类练习（学生版含解析）
一、导数的概念
1．若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．-1
2．设f(x)是可导函数，且，则（ ）
A．2 B． C．-1 D．-2
3．已知函数，则（ ）
A．e B． C． D．
二、切线方程（知切点）
4．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．曲线在处的切线方程为 .
6．若函数在处的切线方程为，则实数 .
7．函数的图象在处的切线方程为 ．
8．曲线在处的切线的倾斜角为，则 ．
三、切线方程（知斜率）
9．函数在处的切线与直线平行，则a＝ ．
10．函数在点处的切线与直线平行，则实数 ．
11．曲线在点处的切线的斜率为，则 .
12．曲线在处的切线斜率是1，则 .
13．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 ．
14．已知倾斜角为的直线与曲线相切，则直线的方程是 .
四、切线方程（过定点）
15．若曲线在处的切线经过点，则实数 ．
16．若曲线有三条经过点的切线，则的范围为 ．
17．已知函数，则过点与曲线相切的直线有 条.
18．若曲线只有一条过坐标原点的切线，则= .
19．若直线与曲线相切，则切点的坐标为 .
五、切线方程（公切线）
20．已知直线l是曲线与的公共切线，则l的方程为 .
21．已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为
22．已知直线是曲线与的公切线，则直线与轴的交点坐标为 ．
23．函数的图象与函数的图象的公切线的方程为 .
六、导数四则运算
24．求下列函数的导数．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
25．求下列函数的导数.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
26．求下列函数的导数．
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：C.
【分析】根据题意结合导数的定义运算求解.
2．【答案】B
【解析】【解答】因为 .
故答案为：B.
【分析】根据导数的定义运算求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：因为函数，
则，
令代入得，解得，
所以
则.
故答案为：C.
【分析】对函数进行求导，令代入即可求得值，从而可得函数解析式即可求解.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
，
把代入函数可得，
所以，
所求切线的点斜式方程为，
即.
故答案为：B.
【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程， 即可求解.
5．【答案】
【解析】【解答】解：由函数，可得，
可得，即切线的斜率为，切点为，
所以切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解.
6．【答案】1
【解析】【解答】∵，
∴，
由题意可知，，
∴a=1
故答案为：1
【分析】运用导数几何意义列方程f'(1)=1求解即可。
7．【答案】
【解析】【解答】解：因为，所以，又，
所以的图象在处的切线方程为，即
故答案为：.
【分析】先利用导数的运算法则得到，再利用导数的几何意义即可写出切线方程.
8．【答案】
【解析】【解答】解：因为曲线在处的切线的倾斜角为，
所以，,
则
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义得出曲线的切线的斜率，再结合切线的斜率与切线的倾斜角的关系式，进而得出切线的倾斜角的正切值，再结合同角三角函数基本关系式变形得出的值。
9．【答案】1
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
所以函数 在x=1处的切线斜率为f'(1)=1+a ，
因为该切线与直线y=2x平行，故f'(1)=1+a=2 ，解得a=1.
故答案为：1
【分析】求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线平行建立方程求解即可.
10．【答案】5
【解析】【解答】∵，则，
∴，
若切线与直线平行，则，解得.
故答案为：5.
【分析】利用 已知条件结合导数的几何意义得出函数在切点处的切线斜率，再结合两直线平行斜率相等，进而得出实数a的值。
11．【答案】-4
【解析】【解答】因为，
所以，当 时，，
因为曲线在点处的切线的斜率为-2，
所以，
解得，
故答案为：-4
【分析】 求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数值，再由函数在x=0处的导数值等于，列式求得a值.
12．【答案】2
【解析】【解答】因为，所以，
因为曲线在处的切线斜率是1，所以，解得.
故答案为：2.
【分析】先求出导数，根据导数的几何意义可得方程，解方程可求.
13．【答案】
【解析】【解答】因为，所以切线的斜率为，
而切线与直线垂直，所以，解得，
故答案为：．
【分析】由已知可得切线斜率，根据导数的几何意义列方程求解即可．
14．【答案】x-y-2+ln2=0
【解析】【解答】因为直线
的倾斜角为
，
所以直线
的斜率为1，
将曲线
求导，
得
，
，
令
，可得
，
所以切点坐标为
，
所以直线
：
，
即x-y-2+ln2=0，
故答案为：x-y-2+ln2=0.
【分析】由倾斜角为
可知，直线
的斜率为1，将曲线
求导，令导数等于1，可求切点坐标，再用点斜式方程写出直线
即可.
15．【答案】
【解析】【解答】因为，则，
即切线斜率为，切点为，则切线方程为，
由题意可得：，解得.
故答案为： .
【分析】根据导数的几何意义求切线方程为，进而代入 点运算求解即可.
16．【答案】
【解析】【解答】因为 ，则 ，
令，则，
令，解得或；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
可得在R上单调递增，在上越增越快，在上越增越慢，
由，
可知在点的切线方程为，即，
令可得，
又因为在(1，0)的切线方程为y=0，
故当时有三条经过点的切线.
故答案为： .
【分析】求导，利用导数可得的单调性和增减幅度的变化，根据导数的几何意义结合图象分析求解.
17．【答案】2
【解析】【解答】曲线方程为，点不在曲线上，
设切点为，则点的坐标满足，
由，得，
由导数的几何意义知，在处的切线的斜率为，
故切线的方程为，
因为点在切线上，所以
联立得，解得或，
故所求切线方程为或，
则过点与曲线相切的直线有2条.
故答案为：2.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义和导数求曲线的切线方程的方法，进而得出过点与曲线相切的直线的条数。
18．【答案】-1或-5
【解析】【解答】解：∵，∴，
设切点为，则，切线斜率，
∴切线方程为：，
∵切线过原点，
∴，整理得：，
∵曲线只有一条过坐标原点的切线切，
∴，解得或，
∴或，
故答案为：或
【分析】设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，并结合题意得方程有且只有一个实数根，再结合判别式求解即可.
19．【答案】
【解析】【解答】解：设切点为，，，
又，，解得，故切点坐标为.
故答案为：
【分析】设切点为，先对曲线 求导数，据此写出切线方程，再根据已知，即可求出切点坐标.
20．【答案】y=ex-1或y=x
【解析】【解答】设与曲线相切于点，与曲线相切于点1），
则，整理得，解得或，
当时，的方程为；当时，的方程为.
故答案为：y=ex-1或y=x.
【分析】 设出切点坐标，求解切线方程，利用两条曲线的切线方程相同，转化求解出的方程.
21．【答案】2
【解析】【解答】 ，解得，，即，
，解得，，即，，化简得，或，
当时，， ，
当时，不符合题意舍去.
故答案为：2
【分析】和 求导，利用导数函数值即为切线斜率求解.
22．【答案】
【解析】【解答】设直线与曲线和分别相切于，两点，
分别求导，得，，
故，整理可得．
同理得，整理可得．
因为直线为两曲线的公切线，
所以，解得，
所以直线的方程为，令，则．
则直线与轴的交点坐标为．
故答案为：.
【分析】利用导数求得函数的切线方程，由题意，建立方程组，可得答案.
23．【答案】或
【解析】【解答】根据题意，设函数与的图象的公切线为直线，并设直线与函数的图象相切于点，与函数的图象相切于点.由，得，所以直线的斜率为，则直线的方程为，即.又由，得，所以直线的斜率为，则直线的方程为，即.由题意知，消去，得0，解得或.所以公切线的方程为或.
故答案为：或
【分析】根据题意，设公切线与函数的图象相切于点，与函数的图象相切于点，分别对函数与求导，得到，消去，得，解得或，所以公切线的方程为或.
24．【答案】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：．
（4）解：∵，
∴．
【解析】【分析】（1）利用导数的加法运算法则得出函数的导数。
（2）利用导数的混合运算法则得出函数的导数。
（3）利用导数的乘除法运算法则得出函数的导数。
（4）利用二倍角的正弦公式结合导数的减法运算法则得出函数的导数。
25．【答案】（1） ，
则 .
（2）
（3）
（4）
【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则，从而求出导函数。
（2）利用导数的运算法则，从而求出导函数。
（3）利用导数的运算法则，从而求出导函数。
（4）利用导数的运算法则，从而求出导函数。
26．【答案】（1）解： ，
（2）解： ，
（3）解： ，
（4）解：
【解析】【分析】根据题意由导数的运算性质整理即可得出答案。
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导数常考题型分类练习（学生版含解析）
一、导数的概念
1．若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．-1
2．设f(x)是可导函数，且，则（ ）
A．2 B． C．-1 D．-2
3．已知函数，则（ ）
A．e B． C． D．
二、切线方程（知切点）
4．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．曲线在处的切线方程为 .
6．若函数在处的切线方程为，则实数 .
7．函数的图象在处的切线方程为 ．
8．曲线在处的切线的倾斜角为，则 ．
三、切线方程（知斜率）
9．函数在处的切线与直线平行，则a＝ ．
10．函数在点处的切线与直线平行，则实数 ．
11．曲线在点处的切线的斜率为，则 .
12．曲线在处的切线斜率是1，则 .
13．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 ．
14．已知倾斜角为的直线与曲线相切，则直线的方程是 .
四、切线方程（过定点）
15．若曲线在处的切线经过点，则实数 ．
16．若曲线有三条经过点的切线，则的范围为 ．
17．已知函数，则过点与曲线相切的直线有 条.
18．若曲线只有一条过坐标原点的切线，则= .
19．若直线与曲线相切，则切点的坐标为 .
五、切线方程（公切线）
20．已知直线l是曲线与的公共切线，则l的方程为 .
21．已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为
22．已知直线是曲线与的公切线，则直线与轴的交点坐标为 ．
23．函数的图象与函数的图象的公切线的方程为 .
六、导数四则运算
24．求下列函数的导数．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
25．求下列函数的导数.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
26．求下列函数的导数．
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：C.
【分析】根据题意结合导数的定义运算求解.
2．【答案】B
【解析】【解答】因为 .
故答案为：B.
【分析】根据导数的定义运算求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：因为函数，
则，
令代入得，解得，
所以
则.
故答案为：C.
【分析】对函数进行求导，令代入即可求得值，从而可得函数解析式即可求解.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
，
把代入函数可得，
所以，
所求切线的点斜式方程为，
即.
故答案为：B.
【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程， 即可求解.
5．【答案】
【解析】【解答】解：由函数，可得，
可得，即切线的斜率为，切点为，
所以切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解.
6．【答案】1
【解析】【解答】∵，
∴，
由题意可知，，
∴a=1
故答案为：1
【分析】运用导数几何意义列方程f'(1)=1求解即可。
7．【答案】
【解析】【解答】解：因为，所以，又，
所以的图象在处的切线方程为，即
故答案为：.
【分析】先利用导数的运算法则得到，再利用导数的几何意义即可写出切线方程.
8．【答案】
【解析】【解答】解：因为曲线在处的切线的倾斜角为，
所以，,
则
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义得出曲线的切线的斜率，再结合切线的斜率与切线的倾斜角的关系式，进而得出切线的倾斜角的正切值，再结合同角三角函数基本关系式变形得出的值。
9．【答案】1
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
所以函数 在x=1处的切线斜率为f'(1)=1+a ，
因为该切线与直线y=2x平行，故f'(1)=1+a=2 ，解得a=1.
故答案为：1
【分析】求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线平行建立方程求解即可.
10．【答案】5
【解析】【解答】∵，则，
∴，
若切线与直线平行，则，解得.
故答案为：5.
【分析】利用 已知条件结合导数的几何意义得出函数在切点处的切线斜率，再结合两直线平行斜率相等，进而得出实数a的值。
11．【答案】-4
【解析】【解答】因为，
所以，当 时，，
因为曲线在点处的切线的斜率为-2，
所以，
解得，
故答案为：-4
【分析】 求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数值，再由函数在x=0处的导数值等于，列式求得a值.
12．【答案】2
【解析】【解答】因为，所以，
因为曲线在处的切线斜率是1，所以，解得.
故答案为：2.
【分析】先求出导数，根据导数的几何意义可得方程，解方程可求.
13．【答案】
【解析】【解答】因为，所以切线的斜率为，
而切线与直线垂直，所以，解得，
故答案为：．
【分析】由已知可得切线斜率，根据导数的几何意义列方程求解即可．
14．【答案】x-y-2+ln2=0
【解析】【解答】因为直线
的倾斜角为
，
所以直线
的斜率为1，
将曲线
求导，
得
，
，
令
，可得
，
所以切点坐标为
，
所以直线
：
，
即x-y-2+ln2=0，
故答案为：x-y-2+ln2=0.
【分析】由倾斜角为
可知，直线
的斜率为1，将曲线
求导，令导数等于1，可求切点坐标，再用点斜式方程写出直线
即可.
15．【答案】
【解析】【解答】因为，则，
即切线斜率为，切点为，则切线方程为，
由题意可得：，解得.
故答案为： .
【分析】根据导数的几何意义求切线方程为，进而代入 点运算求解即可.
16．【答案】
【解析】【解答】因为 ，则 ，
令，则，
令，解得或；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
可得在R上单调递增，在上越增越快，在上越增越慢，
由，
可知在点的切线方程为，即，
令可得，
又因为在(1，0)的切线方程为y=0，
故当时有三条经过点的切线.
故答案为： .
【分析】求导，利用导数可得的单调性和增减幅度的变化，根据导数的几何意义结合图象分析求解.
17．【答案】2
【解析】【解答】曲线方程为，点不在曲线上，
设切点为，则点的坐标满足，
由，得，
由导数的几何意义知，在处的切线的斜率为，
故切线的方程为，
因为点在切线上，所以
联立得，解得或，
故所求切线方程为或，
则过点与曲线相切的直线有2条.
故答案为：2.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义和导数求曲线的切线方程的方法，进而得出过点与曲线相切的直线的条数。
18．【答案】-1或-5
【解析】【解答】解：∵，∴，
设切点为，则，切线斜率，
∴切线方程为：，
∵切线过原点，
∴，整理得：，
∵曲线只有一条过坐标原点的切线切，
∴，解得或，
∴或，
故答案为：或
【分析】设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，并结合题意得方程有且只有一个实数根，再结合判别式求解即可.
19．【答案】
【解析】【解答】解：设切点为，，，
又，，解得，故切点坐标为.
故答案为：
【分析】设切点为，先对曲线 求导数，据此写出切线方程，再根据已知，即可求出切点坐标.
20．【答案】y=ex-1或y=x
【解析】【解答】设与曲线相切于点，与曲线相切于点1），
则，整理得，解得或，
当时，的方程为；当时，的方程为.
故答案为：y=ex-1或y=x.
【分析】 设出切点坐标，求解切线方程，利用两条曲线的切线方程相同，转化求解出的方程.
21．【答案】2
【解析】【解答】 ，解得，，即，
，解得，，即，，化简得，或，
当时，， ，
当时，不符合题意舍去.
故答案为：2
【分析】和 求导，利用导数函数值即为切线斜率求解.
22．【答案】
【解析】【解答】设直线与曲线和分别相切于，两点，
分别求导，得，，
故，整理可得．
同理得，整理可得．
因为直线为两曲线的公切线，
所以，解得，
所以直线的方程为，令，则．
则直线与轴的交点坐标为．
故答案为：.
【分析】利用导数求得函数的切线方程，由题意，建立方程组，可得答案.
23．【答案】或
【解析】【解答】根据题意，设函数与的图象的公切线为直线，并设直线与函数的图象相切于点，与函数的图象相切于点.由，得，所以直线的斜率为，则直线的方程为，即.又由，得，所以直线的斜率为，则直线的方程为，即.由题意知，消去，得0，解得或.所以公切线的方程为或.
故答案为：或
【分析】根据题意，设公切线与函数的图象相切于点，与函数的图象相切于点，分别对函数与求导，得到，消去，得，解得或，所以公切线的方程为或.
24．【答案】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：．
（4）解：∵，
∴．
【解析】【分析】（1）利用导数的加法运算法则得出函数的导数。
（2）利用导数的混合运算法则得出函数的导数。
（3）利用导数的乘除法运算法则得出函数的导数。
（4）利用二倍角的正弦公式结合导数的减法运算法则得出函数的导数。
25．【答案】（1） ，
则 .
（2）
（3）
（4）
【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则，从而求出导函数。
（2）利用导数的运算法则，从而求出导函数。
（3）利用导数的运算法则，从而求出导函数。
（4）利用导数的运算法则，从而求出导函数。
26．【答案】（1）解： ，
（2）解： ，
（3）解： ，
（4）解：
【解析】【分析】根据题意由导数的运算性质整理即可得出答案。
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