数学人教A版（2019）必修第一册5.6函数y=Asin(ωx φ)（共43张ppt）

(共43张PPT)
5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
（本课需两课时）
y
x
O
1
1
复习引入
1.怎样用五点法作出正弦函数y=sinx在[0，2π]的图象？
2.问题：筒车是我国古代发明的一种水利灌输工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理。假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都作匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗
因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可考虑用三角函数模型刻画其运动规律．
设经过t s后，盛水筒M(视为质点)从点P0逆时针运动到点P.则问题中与变量 t 和 H 相关的量：
思考:如图, 将筒车抽象为圆，盛水筒抽象为圆上的点P，经过时t后，盛水筒距离水面的高度 H 与哪些量有关？它们之间有怎样的关系呢？
筒车转轮的中心 O 到水面的距离 h，
筒车的半径 r，
筒车转动的角速度ω，
盛水筒的初始位置P0及其对应的初始角φ.
函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律了.由于h为常量，我们可以只研究函数①的性质.
我们以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴,建立直角坐标系.设t = 0 时，盛水筒位于P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过 t s 后运动到点P(x, y).于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωt＋φ，并且有
y＝rsin(ωt＋φ). ①
所以盛水筒距离水面的高度H与时间t的关系是
H＝rsin(ωt＋φ)＋h. ②
前面我们利用三角函数的知识建立了一个形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0, ω>0) 的函数，那么这个函数的图象是什么样子的呢？它又有些什么性质呢
显然，这个函数由参数A，ω，φ所确定．因此只要研究了这些参数的意义，知道了它们的变化对函数图象的影响，就可以把握这个函数的性质.
新知探究
函数 周期是____.
①列表
②描点、连线
试用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象.
探究1： φ对函数y＝sin(x＋φ) 图象的影响
思考1：比较函数 与 的图象的形状和位置，你有什么发现？
函数 的图象，可以看作是把函数 图象上所有的点向____平移_____个单位长度而得到的.
π
2π
o
y
x
左
1
-1
所有的点向左( >0)
或向右( <0)平移
| | 个单位
结论1:
函数 y=sin(x+ )( 0) 的图象可以看作是把y=sinx 的图象上所有的点向左(当 >0时)或向右(当 <0时)平行移动| |个单位而得到的.
y=sinx
y=sin(x+ )
的变化引起图象位置发生变化(左加右减)
平移变换
练 习
探究2： ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
函数 周期是____.
用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象.
①列表
②描点、连线
π
2π
o
y
x
思考2：比较函数 与
的图象的形状和位置，你有什么发现？
1
-1
函数 的图象，可以看作是把 的图象上所有的点横坐标____到原来的___倍(纵坐标____)而得到的.
缩短
不变
用同样的方法我们可以作出函数
在一个周期内的图象，比较它与函数 的图象的形状和位置，你又有什么发现？
函数 的图象，可以看作是
把 的图象上所有的点横坐标
_____到原来的_____倍（纵坐标_____）而得到的.
π
2π
o
y
x
3π
伸长
2
不变
周期变换
y=sinx
y=sin x
纵坐标不变
决定函数的周期
结论2:
函数 y=sin( x+ )( >0) 的图象可以看作是把 y=sin(x+ ) 的图象上所有点的横坐标缩短(当 >1时)或伸长(当0< <1时)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的.
所有的点横坐标缩短( >1)或伸长(0< <1) 倍
探究3：A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
类比前面的研究过程，请同学们组内交流讨论A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响如何研究.
1.为方便起见，不妨探究y=Asinx与y=sinx的图象关系.
提示：
2.作函数 、 与 的图象，比较它们形状和位置关系.
2sinx
sinx
x
作下列函数图象:
x
O
1
-1
y
2
-2
函数 、 与 的图象间的变化关系.
x
O
1
-1
y
2
-2
振幅变换
y=sin( x+ )
y=Asin( x+ )
所有的点纵坐标伸长(A>1)或缩短(0< A<1) A倍
横坐标不变
结论三:
函数 y=Asin( x+ ) (A>0且A 1) 的图象可以看作是把y=sin( x+ ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0< A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.
A的大小决定这个函数的最大(小)值.
y=Asin( x+ )，x R的值域是[－A, A]，
最大值是A，最小值是－A.
C
练 习
B
C
D
C
练 习
解:(1)列表
典型例题
(2) 描点：
(3)连线：
x
y
o
3
-3
例1.(2)如何由 变换得
的图象？
典型例题
2π
x
y
π
O
3
-3
方法1:(按 先平移后变周期的顺序变换)
函数 y=sinx y=sin(x+ ) 的图象
（3）横坐标不变
纵坐标伸长到原来的3倍
y=3sin(2x+ )的图象
y=sin(2x+ ) 的图象
（1）向左平移
纵坐标不变
（2）横坐标缩短到原来的 倍
2π
x
y
π
O
3
-3
方法2:(按先变周期后平移顺序变换)
（3）横坐标不变
纵坐标伸长到原来的3倍
y=3sin(2x+ )的图象
y=sin(2x+ ) 的图象
（1）横坐标缩短到原来的 倍
纵坐标不变
（2）向左平移
函数 y=sinx y=sin2x的图象
y=sinx
y=sin(x+ )
y=sin( x+ )
纵坐标伸长A>1 (缩短0y=Asin( x+ )
y=sinx
y=Asin( x+ )
方法总结:
向左 >0 (向右 <0)
方法1:按先平移后变周期的顺序变换
平移| |个单位
纵坐标不变
横坐标不变
横坐标缩短 >1 (伸长0< <1)到原来的 倍
y=sinx
y=sin x
纵坐标伸长A>1 (缩短0y=Asin( x+ )
y=sinx
y=Asin( x+ )
纵坐标不变
横坐标不变
方法2:按先变周期后平移顺序变换
向左 >0 (向右 <0)
平移| |/ 个单位
方法总结:
横坐标缩短 >1 (伸长0< <1)到原来的 倍
典型例题
求函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的方法
若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中φ的值的两种方法：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知，最好是代入图象与x轴的交点)求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝ ，确定ω.
感悟提升
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(－ ，0)作为突破口．
“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝ ；　　
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝ ；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
选择的点要认清其属“五点法”中的哪一位置点，并能正确代入列式，求得φ.
巩固练习
新知探究
例3.如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动5 min后离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差的最大值（精确到0.1）．
典型例题
解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系．
（1）设t＝0 min时，游客甲位于点P（0，－55），
根据摩天轮转一周大约需要30 min，
以OP为终边的角为 ；
新知探究
可知座舱转动的角速度约为　 rad／min，由题意可得
（2）当t＝5时，
（3）甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则 ．
经过t min后甲距离地面的高度为
点B相对于点A始终落后 rad，
此时乙距离地面的高度为
新知探究
当 （或 ），
即 （或22.8）时，H的最大值为 ．
新知探究
2、作正弦型函数y=Asin( x+ ) 的图象的方法：
（1）利用变换关系作图;
（2）用“五点法”作图.
1、用参数思想讨论函数y=Asin( x+ )的图象变换过程.
课堂小结
课后探究
1.由y=sinx到y=Asin( x+ )的变换过程，还有没有其他的顺序？