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2023-2024学年上学期期末模拟考试（安徽地区）
九年级数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：九年级上下两册（沪科版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
2．已知点C是线段的黄金分割点，且，则AC长是（ ）
A．2 B． C．2或 D．
3．如图所示，该几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
4．有两个事件，事件A：某射击运动员射击一次，命中靶心；事件B：掷一枚硬币，正面朝上，则（ ）
A．事件A和事件B都是随机事件 B．事件A是随机事件，事件B是必然事件
C．事件A和事件B都是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件
5．如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把缩小到原来的倍，则点A的对应点为（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
6．如图，在中，，，则（ ）
A． B．3 C． D．
7．如图，四边形内接于，连接对角线与交于点E，且为的直径，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．“如果二次函数的图象与轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解．解决下面问题：若，是关于的一元二次方程的两个根且，则实数，，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．如图1，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，当时，阴影部分的面积；如图2，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，连接，交于于点，当时，阴影部分的面积，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是的对角线，，，点E是的中点，点F、P分别是线段、上的动点，若，且是等腰三角形，则的长为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．一个长方形的面积为12，一边长为，另一边长为，则与的函数关系式是 ．
12．如图，已知在中，是边上的一点，连结，当满足 条件时，（写一个即可）．
13．有一个圆心角为，半径为的扇形，若将此扇形卷成一个圆锥，则此圆锥的侧面积是 ．
14．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．连接．
（1） ．
（2）设直线交于点，连接，若，则在旋转过程中，线段的最大值是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知线段a、b、c，且．
(1)求的值；
(2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值．
16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．
(1)求b的值；
(2)已知P为反比例函数的图象上一点，，求点P的坐标．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，，．
(1)以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似且相似比为；
(2)点的坐标为______，点的坐标为______．
18．嘉嘉和琪琪玩摸球游戏，有5个完全相同的小球，嘉嘉拿了3个，在上面分别标上数字2，3，4；琪琪拿了2个，也标上数字．他们将小球放入同一个不透明的口袋中，并搅拌均匀．琪琪说：“我标的数字是从3，4这两个数字中选择的（可重复）．”二人经过多次摸球试验，发现摸到的小球上的数字为3的频率稳定于0.4．
(1)求琪琪在两个小球上标注的数字，并求这5个小球上数字的众数；
(2)琪琪将口袋中的小球搅匀后，从中摸出一个小球，她说：“摸出这个小球后，剩余的小球上所标数字的中位数没有变化．”
①求琪琪摸出的小球上所标的数字；
②嘉嘉先从剩余的小球中摸出一个放回，搅拌均匀又摸出一个，用列表或画树状图的方法求嘉嘉两次摸到的小球上的数字都是偶数的概率．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．点处有一灯塔，与直线垂直，一轮船从点出发驶到点（三点都在直线上），测量得到为千米，，．
(1)求的长（结果保留根号）；
(2)轮船从点出发时，另一快艇同时从点出发给轮船提供物资，一个小时后刚好在点与轮船相遇，已知快艇行驶了千米，问轮船相遇后能否在小时之内到达点．（参考数据：，）
20．如图，为内的一点，为外的一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
六、（本题满分12分）
21．如图，为的直径，射线交于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的长．
七、（本题满分12分）
22．抛物线经过点A，B，C，已知，．
(1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标；
(2)点D在上方的抛物线上．
①如图1，若，求点D的坐标；
②如图2，直线交y轴于点N，过点B作的平行线交y轴于点M，当点D运动时，求的最大值及此时点D的坐标．
八、（本题满分14分）
23．如图1，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点．
(1)如图2，当时，求证：；
(2)在旋转过程中，
①问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
②连接，当为直角三角形时，求的值．
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2023-2024学年上学期期末模拟考试（安徽地区）
九年级数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：九年级上下两册（沪科版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质,根据二次函数对称轴确定点的坐标是解题的关键．
根据二次函数的对称轴即可求出点P关于对称轴的对称点，进而确定抛物线必经过的点．
【详解】解：二次函数的图像的对称轴为y轴，且关于y轴的对称点是，
当其图像过点时，则该图像必过点，
故选A．
2．已知点C是线段的黄金分割点，且，则AC长是（ ）
A．2 B． C．2或 D．
【答案】C
【分析】本题考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值为是解题的关键．
【详解】解：当为较长线段时，
则，
∴，
当为较短线段时，
，
∴，
∴，
故选C．
3．如图所示，该几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三视图的意义，画图即可，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．
【详解】根据题意，左视图为 ，
故选A．
4．有两个事件，事件A：某射击运动员射击一次，命中靶心；事件B：掷一枚硬币，正面朝上，则（ ）
A．事件A和事件B都是随机事件 B．事件A是随机事件，事件B是必然事件
C．事件A和事件B都是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件
【答案】A
【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”，熟记定义是解题关键．根据随机事件的定义即可得．
【详解】解：某射击运动员射击一次，命中靶心，有可能发生也可能不发生，所以事件是随机事件，
掷一枚硬币，正面朝上，有可能发生也可能不发生，所以事件是随机事件，
综上，事件和事件都是随机事件，
故选：A．
5．如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把缩小到原来的倍，则点A的对应点为（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】A
【分析】本题考查了作图—位似变换，解题的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置．连接并延长到使得，则点是点A的对应点，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接并延长到使得，则点是点A的对应点，即点A的对应点为D点，
故选A．
6．如图，在中，，，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理和求角的正弦值，先利用勾股定理求出，再根据正弦的定义可得．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
故选C．
7．如图，四边形内接于，连接对角线与交于点E，且为的直径，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是圆周角定理．根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，进一步计算即可求解．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∴，
由圆周角定理得，，
∴，
∴，
故选：D．
8．“如果二次函数的图象与轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解．解决下面问题：若，是关于的一元二次方程的两个根且，则实数，，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数与方程的关系，并数形结合是解题的关键．
令，则，为抛物线与轴的交点坐标，作函数图象，由题意知，，是直线与抛物线交点的横坐标，如图，然后结合图象判断大小关系即可．
【详解】解：令，
∴，为抛物线与轴的交点坐标，且函数图象开口向上，如图，作的图象，
∵，是关于的一元二次方程的两个根，
∴，即，
∴，是直线与抛物线交点的横坐标，如图，
由图象可知，，
故选：A．
9．如图1，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，当时，阴影部分的面积；如图2，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，连接，交于于点，当时，阴影部分的面积，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与三角形的面积，掌握反比例函数图像的性质是解题的关键．由题意得∽，再根据面积比等于相似比的平方求出，由得，结合求出；设，，则，，，，
根据求出，即可得出结论．
【详解】解：①，
∽，
，
，
而，，
，
，
，
，
，，，
②设，，
由图可知：，，，，
，
，
，
即，解得，
．
故选：C．
10．如图，是的对角线，，，点E是的中点，点F、P分别是线段、上的动点，若，且是等腰三角形，则的长为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】分三种情况进行讨论，当时，当时，当时，分别画出图形求出结果即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵点E是的中点，
∴，
∵是的对角线，，，
∴是直角三角形，
，
∴，
∴，，
当时，如图①，过点P作于点G，
则．
∵，
∴，
∴，，，
又∵，
∴，
∴；
当时，如图②，
则，
∴；
当时，点P与点B重合，不存在．
综上所述，的长为或．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．一个长方形的面积为12，一边长为，另一边长为，则与的函数关系式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，根据矩形的面积公式得到y与x之间的函数关系式即可．
【详解】解：∵长方形的面积为12，一边长为，另一边长为，
，
即．
故答案为：．
12．如图，已知在中，是边上的一点，连结，当满足 条件时，（写一个即可）．
【答案】或或（答案不唯一）
【分析】本题考查了相似三角形的判定．欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可．
【详解】解：∵，
∴当或或时，．
故答案为：或或．
13．有一个圆心角为，半径为的扇形，若将此扇形卷成一个圆锥，则此圆锥的侧面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算，先求出扇形的弧长，再根据扇形的面积公式计算即可，掌握扇形的面积公式和弧长公式是解题的关键．
【详解】扇形的弧长，
则圆锥的侧面积，
故答案为：．
14．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．连接．
（1） ．
（2）设直线交于点，连接，若，则在旋转过程中，线段的最大值是 ．
【答案】 2
【分析】（1）由旋转可知：，可证，即得；
（2）取的中点，连接，设，交于点，由（1）知，得，可得，由H是的中点，有，当点共线时，最大．最大为．
【详解】（1）由旋转可知，，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）如图，取的中点，连接，设，交于点．
由（1）知，
．
，
．
是的中点，
．
，
当点共线时，最大．最大为．
故答案为：2.
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知线段a、b、c，且．
(1)求的值；
(2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值．
【答案】(1)
(2)，，
【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．设．
（1）代入计算即可；
（2）构建方程求出的值即可．
【详解】（1）解：设，
则，
；
（2）解：，
，
，
，，
16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．
(1)求b的值；
(2)已知P为反比例函数的图象上一点，，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先把点代入反比例函数，求出的值，再用待定系数法求出的值即可；
（2）利用，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，得：，
∴，
把代入，得：，
∴；
（2）由（1）知，，当时，，当时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∵点为双曲线上一点，
∴当时，；当时，，
∴或．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，，．
(1)以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似且相似比为；
(2)点的坐标为______，点的坐标为______．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查了位似作图，图形与坐标，掌握位似的性质是解题的关键．
（1）在网格中作出，连接即可得到；
（2）根据点的位置写出、的坐标即可．
【详解】（1）即为所作；
（2）点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：，．
18．嘉嘉和琪琪玩摸球游戏，有5个完全相同的小球，嘉嘉拿了3个，在上面分别标上数字2，3，4；琪琪拿了2个，也标上数字．他们将小球放入同一个不透明的口袋中，并搅拌均匀．琪琪说：“我标的数字是从3，4这两个数字中选择的（可重复）．”二人经过多次摸球试验，发现摸到的小球上的数字为3的频率稳定于0.4．
(1)求琪琪在两个小球上标注的数字，并求这5个小球上数字的众数；
(2)琪琪将口袋中的小球搅匀后，从中摸出一个小球，她说：“摸出这个小球后，剩余的小球上所标数字的中位数没有变化．”
①求琪琪摸出的小球上所标的数字；
②嘉嘉先从剩余的小球中摸出一个放回，搅拌均匀又摸出一个，用列表或画树状图的方法求嘉嘉两次摸到的小球上的数字都是偶数的概率．
【答案】(1)琪琪在两个小球上标注的两个数字分别为3，4，众数为3和4
(2)①4；②
【分析】此题考查的是利用频率估计概率、用列表法或树状图法求概率，注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比；
（1）先根据多次摸球试验发现摸到的小球上的数字为3的频率稳定于0.4得出标注数字3的球的个数，继而得出这5个数字，从而依据众数的概念得出答案；
（2）①根据原数据的中位数为3，如果去掉数字4，新数据的中位数是可得答案；
②列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式求解即可；
【详解】（1）∵一共有5个小球，经过多次摸球试验，发现摸到的小球上的数字为3的频率稳定于0.4，
∴标有数字3的小球的个数为（个），则琪琪在两个小球上标注的两个数字分别为3，4，
∴这5个小球上标注的数字分别为2，3，3，4，4．
∴这5个小球上标注的数字的众数为3和4．
（2）①∵这5个小球标注的数字分别为2，3，3，4，4，
∴中位数为3．
∵琪琪摸出一个小球后，剩余的小球上所标注数字的中位数没有变化，
∴琪琪摸出的小球上所标数字为4．
②列表如下：
2 3 3 4
2
3
3
4
由表可知，共有16种等可能的结果，其中嘉嘉两次摸到的小球上的数字都是偶数的有4种，
∴（都是偶数）．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．点处有一灯塔，与直线垂直，一轮船从点出发驶到点（三点都在直线上），测量得到为千米，，．
(1)求的长（结果保留根号）；
(2)轮船从点出发时，另一快艇同时从点出发给轮船提供物资，一个小时后刚好在点与轮船相遇，已知快艇行驶了千米，问轮船相遇后能否在小时之内到达点．（参考数据：，）
【答案】(1)千米
(2)轮船相遇后能在1.3小时之内到达点
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识．
（1）在中，，从而得到千米，然后在中，解直角三角形求出，最后根据即可求解；
（2）在中，根据勾股定理求出千米，从而可求出千米，即轮船的速度为千米/时，轮船相遇后到达点的路程为千米，最后根据路程公式即可求解．
【详解】（1）解：在中，千米，，
千米，
在中，，
千米，
千米；
（2）在中，千米，
千米，
轮船相遇后到达点的时间小时，，
轮船相遇后能在小时之内到达点．
20．如图，为内的一点，为外的一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握有两个角相等的三角形相似，两边成比例，夹角相等的两个三角形相似，以及相似三角形对应边成比例，是解题的关键．
（1）根据得出，即可求证；
（2）根据得出，进而得出，即可得出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
六、（本题满分12分）
21．如图，为的直径，射线交于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，先根据对边等对角和角平分线的定义证明，推出，再由，得到，由此即可证明直线是的切线；
（2）由平行线的性质和三角形内角和定理得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理得到，进而求出，则，由此可得．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
（2）解： 由（1）可知：，，
，
，
，
，
，
，
．
七、（本题满分12分）
22．抛物线经过点A，B，C，已知，．
(1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标；
(2)点D在上方的抛物线上．
①如图1，若，求点D的坐标；
②如图2，直线交y轴于点N，过点B作的平行线交y轴于点M，当点D运动时，求的最大值及此时点D的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②的最大值为，此时
【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）①过点D作轴交x轴于H，连接、，先证明，可得，设，列出关于x的方程并求解即可；
②连接、、、，设，得出，设，，，得出，，得，再由求解即可．
【详解】（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线解析式为
∴顶点E的坐标；
（2）①过点D作轴交x轴于H，连接、
则
∵
∴
∴
设
则，
∵，，
∴
解得：，
∵当时，
当时，
∴；
②连接、、、
设
∴
∵，，
∴设，，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴当时，最大
此时
八、（本题满分14分）
23．如图1，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点．
(1)如图2，当时，求证：；
(2)在旋转过程中，
①问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
②连接，当为直角三角形时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①成立，证明见解析；②或
【分析】（1）首先证明、为等边三角形，得到，推出，再证明，推出即可解决问题；
（2）①如图1中，结论仍然成立．法一：由旋转性质得：，，，则可证明，可得，进而证明，得，则，从而可得结论；法二：利用四点共圆证明即可解决问题．
②分两种情形分别画出图形求解即可．
【详解】（1）如图2中，
∵，，，
∴、为等边三角形，
∴，
∴，
∴
∴、、三点共线，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）①解：如图1中，结论仍然成立．
理由：连接．设与的交点为，
∵，，，
∴、为等腰三形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
即
又∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴．
②如图3－1中，当时，连接，作于．设．
∵由①得且，
∴且，
∴，
则，
又∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∴．
如图3－2中，当时，连接，作于．设．
∴且，
∴，
∵，
则，，，，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
∴综上所述，的值为或．
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