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2023-2024学年上学期期末模拟考试
九年级数学
（考试时间120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1-6章（苏科版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．矩形ABCD的对角线长为5，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则该矩形的面积为（ ）
A．6 B．12 C．6或12 D．8或12
【分析】根据题意，先求出方程的解，根据勾股定理确定出矩形的边长，再求面积．
【解答】解：∵边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，
x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
当AB＝3时，利用勾股定理可求得相邻的边为4，此时矩形ABCD的面积为3×4＝12；
当AB＝4时，利用勾股定理可求得相邻的边为3，此时矩形ABCD的面积为3×4＝12；
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程的方法、矩形的面积公式的运用，难度中等．
2．甲、乙、丙、丁四人各进行20次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝0.5，s乙2＝0.6，S丙2＝0.9，s丁2＝1.0，则射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定即可求解．
【解答】解：∵，，，，
又∵0.5＜0.6＜0.9＜1.0，
∴最小．
∴射击成绩最稳定的是甲．
故选：A．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．熟知方差的意义是解题的关键．
3．已知点M（2，n）在抛物线y（x+1）（x﹣2）上，则n的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．3
【分析】把点M（2，n）代入函数解析式y（x+1）（x﹣2），通过解方程来求n的值．
【解答】解：∵点M（2，n）在抛物线y（x+1）（x﹣2）上，
∴n（2+1）（2﹣2）＝0，即n＝0．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，即二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
4．若3y＝4x，则下列式子中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质，把乘积式转化为xy，然后代入各选项进行计算，再利用排除法求解即可．
【解答】解：∵3y＝4x，
∴xy，
A、，故本选项正确；
B、4，故本选项正确；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，根据等式写出x、y之间的关系是解题的关键，运算时一定要仔细小心，特别是符号比较容易出错．
5．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C＝40°，则∠AOB的度数为（ ）
A．20° B．40° C．80° D．100°
【分析】根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠C，代入求出即可．
【解答】解：∵弧AB所对的圆周角是∠C，所对的圆心角是∠AOB，且∠C＝40°，
∴∠AOB＝2∠C＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查了对圆周角定理的运用，关键是能根据定理得出∠AOB＝2∠C，题目比较典型，难度不大．
6．我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图．小颖B入口进D出口的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，画出树状图即可．
【解答】解：如图可知，A，B为入口；C，D，E为出口，
∴小颖B入口进D出口的概率为：．
故选：B．
【点评】本题考查列举法求概率，解题的关键是理解题意，画出树状图，得到所有的结果．
7．如图，⊙O半径为，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为（ ）
A．1 B．1 C．1 D．
【分析】取AB的中点K，以AB为直径作⊙K，想办法求出FK，CK，根据CF≥CK﹣FK即可解决问题．
【解答】解：如图，取AB的中点K，以AB为直径作⊙K，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°，
∵AK＝BK，
∴KF＝AK＝BK，
∵正方形ABCD的外接圆的半径为，
∴AB＝BC2，
∴KF＝AK＝KB＝1，
∵∠CBK＝90°，
∴CK，
∵CF≥CK﹣KF，
∴CF1，
∴CF的最小值为1．
故选：A．
【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
8．在平面直角坐标系中，直线y＝mx+1与抛物线交于A、B两点，设A（a1，b1），B（a2，b2），则下列结论正确的个数为（ ）
①a1a2＝﹣4；
②；
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2；
④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】将y＝mx+1代入yx2，得mx+1＝1/4x2，整理得x2﹣4mx﹣4＝0，则a1，a2为方程x2﹣4mx﹣4＝0的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系得a1+a2＝4m，a1a2＝﹣4，据此可对结论①进行判断；由y＝mx+1得，并将其代入yx2，得y[（y﹣1）/m]2，整理得y2﹣（4m2+2）y+1＝0，同理得b1，b2是y2﹣（4m2+2）y+1＝0得两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系得b1+b2＝4m2+2，b1b2＝1，据此可对结论②进行判断；由两点间距离公式得：AB，将a1+a2＝4m，a1a2＝﹣4，b1+b 2 ＝4m2+2，b1b2＝1代入上式整理得AB＝4（m2+1），据此可得当m＝0时，AB为最小，最小值为4，由此可求出△AOB的面积，进而可对结论③进行判断；根据点A（a1，b1），B（a2，b2），N（0，﹣1）的坐标有斜率公式得k AN ，k BN ，k AN k BN ，将b1+b2＝4m2+2，b1b2＝1，a1a2＝﹣4代入上式整理得k AN k BN ＝﹣m2﹣1，由此得当m＝0时，AN与BN垂直，当m≠0时，AN于BN不垂直，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：将y＝mx+1代入yx2，得：mx+1x2，
整理得：x2﹣4mx﹣4＝0，
∵直线y＝mx+1与抛物线yx2交于A、B两点，A（a1，b1），B（a2，b2），
∴a1，a2为方程x2﹣4mx﹣4＝0的两个实数根，
由一元二次方程根与系数的关系得：a1+a2＝4m，a1a2＝﹣4，
因此结论①正确；
由y＝mx+1得：，
将代入yx2，得：y，
整理得：y2﹣（4m2+2）y+1＝0，
同理得：b1，b2是y2﹣（4m2+2）y+1＝0得两个实数根，
由一元二次方程根与系数的关系得：b1+b2＝4m2+2，b1b2＝1，
因此结论②正确；
由两点间距离公式得：AB，
即：AB，
将a1+a2＝4m，a1a2＝﹣4，b1+b2＝4m2+2，b1b2＝1代入上式，
得：AB4（m2+1），
∵m2≥0，
∴4（m2+1）≥4，
∴当m＝0时，AB为最小，最小值为4，
此时直线y＝mx+1就是直线y＝1，则AB∥x轴，
∴S△AOB4×1＝2，
因此结论③正确；
∵点A（a1，b1），B（a2，b2），N（0，﹣1），
∴k AN ，k BN ，
∴k AN k BN ，
将b1+b2＝4m2+2，b1b2＝1，a1a2＝﹣4代入上式，
得：k AN k BN m2﹣1，
∴当m＝0时，AN与BN垂直，当m≠0时，AN于BN不垂直，
∴结论④不正确．
综上所述：正确的结论是①②③，共3个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象，一次函数的图象，二次函数与一次函数的交点坐标，将求一次函数与二次函数交点坐标转化一元二次方程，利用根与系数的关系解决问题是解答此题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．有一组数据：1，1，1，1，m．若这组数据的方差是0，则m为 1 ．
【分析】一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，根据方差的定义即可求解．
【解答】解：依题意可得，
平均数：，
∴0，
解得m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了方差，熟练运用方差公式是解题的关键．
10．如果关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的根的判别式的值为5，那么m＝ ﹣1 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝5，即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：∵关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的根的判别式的值为5，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m﹣1）2﹣4×1×m2＝5，
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac是解题的关键．
11．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F，如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，则BE的长是 11 ．
【分析】过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出HE及HB的长，然后即可得出BE的长．
【解答】解：过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，
则CG＝BH＝AD＝9，
∴GF＝14﹣9＝5，
∵HE∥GF，
∴，
∵DE：DF＝2：5，GF＝5，
∴，
∴HE＝2，
∴BE＝9+2＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
12．人体下半身（脚底到肚脐的长度）与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士，身高1.68m，下半身1.02m，她应选择 4.8 cm（取两位有效数字）高的高跟鞋看起来更美．
【分析】根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可．
【解答】解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，则0.618，
解得：x≈4.8cm．
经检验知x≈4.8是原方程的解，
故本题答案为：4.8．
【点评】此题要能够根据题意列方程求解．注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度．
13．已知A（x1，2018），B（x2，2018）是二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象上的两点，则当x＝x1+x2时，二次函数的值是 3 ．
【分析】根据二次函数图象的对称性得出x＝x1+x2，然后将其代入函数关系式求得y＝3．
【解答】解：∵A（x1，2018），B（x2，2018）是二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象上的两点，
又∵点A、B的纵坐标相同，
∴A、B关于对称轴x对称，
∴x＝x1+x2，
∴a（）2+b（）+3＝3；
故答案为3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点一定满足该函数的解析式．
14．如图，在⊙O中，直径AB与弦MN相交于点P，∠NPB＝45°，若AP＝2，BP＝6，则MN＝ 2 ．
【分析】过点O作OD⊥MN于点D，连接ON，先根据AB是直径AP＝2，BP＝6求出⊙O的半径，故可得出OP的长，因为∠NPB＝45°，所以△OPD是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出OD的长，故可得出DN的长，由此即可得出结论．
【解答】解：过点O作OD⊥MN于点D，连接ON，则MN＝2DN，
∵AB是⊙O的直径，AP＝2，BP＝6，
∴⊙O的半径＝（2+6）＝4，
∴OP＝4﹣AP＝4﹣2＝2，
∵∠NPB＝45°，
∴△OPD是等腰直角三角形，
∴OD，
在Rt△ODN中，
DN，
∴MN＝2DN＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
15．若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2m+2025﹣2m2的值为 2023 ．
【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2+m﹣1＝0，然后把m2+m＝1代入﹣2m+2025﹣2m2中进行整式的运算即可．
【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，
∴m2+m﹣1＝0，
∴m2+m＝1，
∴﹣2m+2025﹣2m2
＝2025﹣2（m2+m）
＝2025﹣2
＝2023．
故答案为：2023．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法解决此类问题．
16．如图，四边形ABCD为正方形，P是以边AD为直径的⊙O上一动点，连接BP，以BP为边作等边三角形BPQ，连接OQ，若AB＝2，则线段OQ的最大值为 ．
【分析】连接OB、OP，将OB绕点B逆时针旋转60°得到O'B，连接O'Q，通过证明△OBP≌△O'BQ（SAS），得出OP＝O'Q＝1，从而得出点Q在以点O'为圆心，O'Q为半径的圆上运动；则当点O，O'，P三点在同一直线上时，OQ取最大值，易证△OBO'为等边三角形，求出，即可求出．
【解答】解：连接OB、OP，将OB绕点B逆时针旋转60°得到O'B，连接O'Q，
∵OB绕点B逆时针旋转60°得到O'B，
∴OB＝O'B，∠OBO'＝60°，
∵△BPQ为等边三角形，
∴PB＝QB，∠PBQ＝60°，
∴∠OBO'﹣∠PBO'＝∠PBQ﹣∠PBO'，即∠OBP＝∠O'BQ，
在△OBP和△O'BQ中，
，
∴△OBP≌△O'BQ（SAS），
∵AB＝2，四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝2，则OA＝OP＝1，
∴OP＝O'Q＝1，
∴点Q在以点O'为圆心，O'Q为半径的圆上运动；
∴当点O，O'，P三点在同一直线上时，OQ取最大值，
在Rt△OAB中，根据勾股定理可得：，
∵OB＝O'B，∠OBO'＝60°，
∴△OBO'为等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查看瓜豆模型—圆生圆模型，确定从动点Q的运动轨迹，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
三．解答题（共10小题，满分88分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+6x﹣7＝0；
（2）4x（2x+1）＝3（2x+1）．
【分析】（1）利用因式分解法（十字相乘）求解比较简便；
（2）把2x+1看成一个整体，运用因式分解法（提公因式）求解比较简便．
【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0，
（x+7）（x﹣1）＝0，
∴x+7＝0或x﹣1＝0．
∴x1＝﹣7，x2＝1；
（2）4x（2x+1）＝3（2x+1），
移项，得4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0，
∴（2x+1）（4x﹣3）＝0．
∴2x+1＝0或4x﹣3＝0．
∴x1，x2．
【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的因式分解法是解决本题的关键．
18．（6分）某中学运动队有短跑、长跑、跳远、实心球四个训练小队，现将四个训练小队队员情况绘制成如下不完整的统计图：
（1）学校运动队的队员总人数为 25人 ；
（2）补全条形统计图，并标明数据；
（3）若在长跑训练小组中随机选取2名同学进行比赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的这两名同学恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）由跳远的学生人数除以所占百分比即可；
（2）求出长跑的男生人数和跳高的女生学生人数，补全条形统计图，并标明数据即可；
（3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中所选取的这两名同学恰好是一男一女的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）学校运动队的队员总人数为：（5+3）÷32%＝25（人），
故答案为：25人；
（2）长跑的学生人数为：25×12%＝3（人），
则长跑的男生人数为：3﹣2＝1（人），跳高的女生学生人数为：25﹣5﹣3﹣8﹣4＝5（人），
补全条形统计图，并标明数据如下：
（3）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中所选取的这两名同学恰好是一男一女的结果有4种，
∴所选取的这两名同学恰好是一男一女的概率为．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）若为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根；
（1）则方程的另外一个根β＝ ，t＝ ﹣1 ；
（2）求（α3﹣α2+1）（β3﹣β2+1）的值．
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系列出等式即可求解；
（2）利用一元二次方程根的意义得出α2＝1+α，β2＝1+β，再求出α3﹣α2+1＝α2（α﹣1）+1＝（1+α）（α﹣1）+1＝α2，β3﹣β2+1＝β2（β﹣1）+1＝（1+β）（β﹣1）+1＝β2，然后利用根与系数的关系解答即可求得结论．
【解答】解：（1）由根与系数的关系，α+β＝1，αβ＝t，
∴β＝1﹣α＝1，
∴t＝αβ1，
故答案为：，﹣1；
（2）∵α、β为一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，
∴α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，αβ＝﹣1，
∴α2＝1+α，β2＝1+β，
∴α3﹣α2+1＝α2（α﹣1）+1＝（1+α）（α﹣1）+1＝α2，
β3﹣β2+1＝β2（β﹣1）+1＝（1+β）（β﹣1）+1＝β2，
∴（α3﹣α2+1）（β3﹣β2+1）＝α2β2＝（αβ）2＝（﹣1）2＝1．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
20．（8分）如图，AB是圆O的直径，点C，D分别在两个半圆上（不与点A、B重合），AD＝BD．
（1）若∠ADC＝15°，AD＝2，则∠CBD＝ 60 度，CD的长是 ；
（2）CD，求AC+BC的长．
【分析】（1）连接AC，如图1，根据圆周角定理得∠ADB＝∠ACB＝90°，而AD＝BD，则∠ABD＝∠BAD＝45°，由于∠ABC＝∠ADC＝15°，所以∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝60°；作DH⊥BC于H，如图1，在Rt△BDH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BNBD＝1，DNBN，然后利用∠BCD＝∠BAD＝45°得到△CDH为等腰直角三角形，所以CDDN；
（2）作DM⊥CA于M，DN⊥BC于N，如图2，先证明Rt△DAM≌Rt△DBN得到BN＝AM，DM＝DN，再说明四边形CNDM为正方形，则CN＝CM，所以AC+BC＝CM﹣AM+CN+BN＝2CN，然后利用CDCN可计算AC+BC的值．
【解答】解：（1）连接AC，如图1，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∵∠ABC＝∠ADC＝15°，
∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝60°，
作DH⊥BC于H，如图1，
∵BD＝AD＝2，
在Rt△BDH中，∵∠DBH＝60°，
∴BNBD＝1，
∴DNBN，
∵∠BCD＝∠BAD＝45°，
∴△CDH为等腰直角三角形，
∴CDDN．
故答案为60，；
（2）作DM⊥CA于M，DN⊥BC于N，如图2，
∵∠BCD＝∠BAD＝45°，∠ACD＝∠ABD＝45°，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴DM＝DN，
在Rt△DAM和Rt△DBN中，
，
∴Rt△DAM≌Rt△DBN，
∴BN＝AM，DM＝DN，
而∠BCA＝90°，
∴四边形CNDM为正方形，
∴CN＝CM，
∴AC+BC＝CM﹣AM+CN+BN
＝2CN，
而CDCN，
∴AC+BCCN．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
21．（8分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝2，点D在边BC的反向延长线上，且DB＝3，点E在边BC的延长线上，且∠EAC＝∠D．
（1）求证：△EAC∽△ADB．
（2）若AD＝4，求BE的长．
【分析】（1）根据条件可证明△ACE∽△DBA，利用相似三角形的对应边成比例可求得CE；
（2）根据相似三角形的性质求得CE，过点A作AH⊥BC于H，设BC＝y，根据勾股定理即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠EAC＝∠D，
∴△EAC∽△ADB；
（2）解：∵△EAC∽△ADB，
∴，
∵AB＝AC＝2，DB＝3，
∴，
∴CE，
过点A作AH⊥BC于H，
设BC＝y，
∴BH＝CH，
∵AD2﹣DH2＝AH2＝AB2﹣BH2，
∴42﹣（3）2＝4﹣（）2，
∴y＝1，
∴BE＝BC+CE＝1．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，熟悉图形的特点，从中找到相关图形是解题的关键．
22．（10分）已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，点M平分BC，AD平分∠BAC，过点A、M、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求∠MAD的度数；
（2）求证：CF＝CD；
（3）已知AC＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AM＝BM＝CM，根据等腰三角形的性质得到∠BAM＝∠B＝30°，根据角平分线的定义得到∠BAD∠BAC＝45°，于是得到结论；
（2）连接DF，根据三角形的内角和定理得到∠C＝60°，由（1）知AM＝CM，推出△ACM是等边三角形，得到AC＝CM，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）连接DE，EF，根据圆周角定理得到EF是⊙O的直径，根据等边三角形的性质得到∠CDF＝60°，求得∠BDE＝30°，得到BE＝DE，求得DE＝DF，设BE＝DE＝DF＝CF＝x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，点M平分BC，
∴AM＝BM＝CM，
∴∠BAM＝∠B＝30°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC＝45°，
∴∠MAD＝∠BAD﹣∠BAM＝15°；
（2）证明：连接DF，在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴∠C＝60°，
由（1）知AM＝CM，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∵∠CFD＝∠CMA＝180°﹣∠AFD，∠CDF＝∠CAM＝180°﹣∠MDF，
∴△CFD∽△CAM，
∴，
∴CF＝CD；
（3）解：连接DE，EF，
∵∠BAC＝90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴∠EDF＝90°，
由（2）知CD＝CF，∠C＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠CDF＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∴∠B＝∠BDE＝30°，
∴BE＝DE，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴DE＝DF，
∴BE＝DE＝DF＝CF，
∵AC＝2，
∴AB＝2，
设BE＝DE＝DF＝CF＝x，
∴AE＝2x，AF＝2﹣x，EFx，
∵EF2＝AE2+AF2，
∴2x2＝（2x）2+（2﹣x）2，
解得x＝2（1），
∴EF＝22，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．（10分）安徽盒子健康公司不断加大科技投入，现投资500万元购进一条灭新冠病毒专用口罩生产线，2020年12月份投产后若不计维修保养、捐赠口罩成本等费用，每月可创利100万元．实际生产过程中，第n月的维修保养、捐赠口罩成本等费用满足下表：
第n月 第1月 第2月
维修保养、捐赠口罩成本等费用（万元） 3 5
若从第1月到第n月的维修保养与损耗等费用累计为y（万元），且y＝an2+bn．
（1）求出y的解析式；
（2）设该公司第n月的利润为w（万元），求w与n之间的函数关系式，并指出在第几月w取得最大值，最大值是多少？
（3）该公司在2021年哪月份能收回投资？
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据利润＝总创利﹣维修保养与损耗等费用累计﹣500，列出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
（3）求得利润关于x的函数值何时由负转正，结合n取正整数，即可得出答案
【解答】解：（1）第1月到第2月的累积费用为：3+5＝8（万元），
将，代入y＝an2+bn，
得，
解得，
∴解析式为y＝n2+2n；
（2）由题意得：
w＝100n﹣（n2+2n）﹣500
＝﹣n2+98n﹣500
＝﹣（n﹣49）2+1901，
∴投产后第49个月，利润最大，最大利润为1901万元；
（3）∵w＝﹣n2+98n﹣500，当n＝5时，w＝﹣35（万元）＜0；n＝6时，w＝52（万元）＞0；
∴在2021年6月收回成本．
【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．
24．（8分）已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP．
（1）求证：BD＝PD；
（2）已知⊙O的半径是3，CD＝8，求BC的长．
【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由内心得出∠ACD＝∠BCP＝45°，∠CBP＝∠EBP，∠ABD＝∠ACD＝45°，由三角形的外角性质得出∠DPB＝∠DBP，即可得出结论；
（2）连接AD，由圆周角定理得出∠ABD＝45°，证出△ABD是等腰直角三角形，得出BDAB＝6，由勾股定理可求BH的长，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵点P是△ABC的内心，
∴∠ACD＝∠BCP＝45°，∠CBP＝∠EBP，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，
∵∠DPB＝∠BCP+∠CBP＝45°+∠CBP，∠DBP＝∠ABD+∠EBP＝45°+∠EBP，
∴∠DPB＝∠DBP，
∴BD＝DP；
（2）解：连接AD，过点B作BH⊥CD于H，如图所示：
∵AB是直径，∠ABD＝45°，
∴AB＝6，△ABD是等腰直角三角形，
∴BDAB66，
∵∠BCD＝45°，BH⊥CD，
∴∠BCH＝∠CBH＝45°，
∴BH＝CH，
∴BCBH，
∵BD2＝DH2+BH2，
∴36＝（8﹣BH）2+BH2，
∴BH＝4±，
∵BC＞AC，
∴BC＝42．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．
25．（10分）如图，AB与⊙O相切于点C，且C为线段AB的中点，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC．
（1）求证：∠CDF＝∠CDE；
（2）①若DE＝10，DF＝8，则CD＝ 3 ；
②连接CO，CF，当∠B的度数为 30° 时，四边形ODFC是菱形．
【分析】（1）证明：连接OC．由切线的性质得∠OCA＝90°，由C为线段AB的中点得出OC垂直平分线段AB，则OA＝OB，得∠AOC＝∠BOC，则，即可得出结论；
（2）①连接OC，过点O作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M，先求出DN＝NFDF＝4，由勾股定理得ON3，易证∠CDF＝∠OCD，得OC∥DF，则∠OCM+∠CMN＝180°，求出∠CMN＝90°，证得四边形OCMN是矩形，得出ON＝CM＝3，MN＝OC＝5，DM＝9，由勾股定理即可得出结果；
②易证△OCF是等边三角形，则∠COB＝60°，由∠OCB＝90°，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接OC．如图1所示：
∵AB是⊙O的切线，
∴∠OCA＝90°，
∵C为线段AB的中点，
∴OC垂直平分线段AB，
∴OA＝OB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴，
∴∠CDF＝∠CDE；
（2）解：①连接OC，过点O作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M，如图2所示：
∵ON⊥DF，OD＝OF，
∴DN＝NFDF＝4，
∵DE＝10，
∴OD＝5，
在Rt△OND中，由勾股定理得：ON3，
∵OC＝OD，
∴∠CDE＝∠OCD，
∵∠CDF＝∠CDE，
∴∠CDF＝∠OCD，
∴OC∥DF，
∴∠OCM+∠CMN＝180°，
∵∠OCM＝90°，
∴∠CMN＝90°，
∵∠ONM＝90°，
∴四边形OCMN是矩形，
∴ON＝CM＝3，MN＝OC＝5，
∴DM＝DN+MN＝4+5＝9，
在Rt△CMD中，由勾股定理得：CD3，
故答案为：3；
②如图3所示：
∵四边形ODFC是菱形，
∴OC＝CF，
∵OC＝OF，
∴△OCF是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵∠OCB＝90°，
∴∠B＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题是圆综合题，主要考查了圆周角定理、切线的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理、切线的性质和矩形的判定与性质是解题的关键．
26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．
（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线顶点横坐标，可得出抛物线的对称轴为直线x＝1，结合点A的坐标，可得出抛物线与x轴另一交点的坐标，结合点B的坐标，再利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；
（2）由“直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M”，可得出点M，N的坐标，进而可得出AN，MN的值，代入AN+MN中，可得出AN+MN＝﹣（m）2，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为y＝﹣x2+4，利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点M的坐标，假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为（1，m），点Q的坐标为（n，﹣n2+4），分AM为对角线、AP为对角线及AQ为对角线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于n的一元一次方程，解之可得出n值，再将其代入点Q的坐标中，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0）．
将（﹣1，0），（3，0），（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，
∴点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），点N的坐标为（m，0），
∴MN＝﹣m2+2m+3，AN＝m+1，
∴AN+MN＝m+1+（﹣m2+2m+3）＝﹣m2+3m+4＝﹣（m）2，
∵﹣1＜0，且0＜m＜3，
∴当m时，AN+MN有最大值，最大值为；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为y＝﹣x2+4．
当x时，y＝﹣（）2+23，
∴点M的坐标为（，）．
假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为（1，m），点Q的坐标为（n，﹣n2+4）．
①当AM为对角线时，对角线AM，PQ互相平分，
∴，
解得：n，
∴点Q的坐标为（，）；
②当AP为对角线时，对角线AP，MQ互相平分，
∴，
解得：n，
∴点Q的坐标为（，）；
③当AQ为对角线时，对角线AQ，PM互相平分，
∴，
解得：n，
∴点Q的坐标为（，）．
综上所述，存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，点Q的坐标为（，）或（，）或（，）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质以及平行四边形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数的性质，求出AN+MN的最大值；（3）利用平行四边形的性质（对角线互相平分），找出关于n的一元一次方程．
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2023-2024学年上学期期末模拟考试
九年级数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1-6章（苏科版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．矩形ABCD的对角线长为5，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则该矩形的面积为（ ）
A．6 B．12 C．6或12 D．8或12
2．甲、乙、丙、丁四人各进行20次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝0.5，s乙2＝0.6，S丙2＝0.9，s丁2＝1.0，则射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．已知点M（2，n）在抛物线y（x+1）（x﹣2）上，则n的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．3
4．若3y＝4x，则下列式子中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C＝40°，则∠AOB的度数为（ ）
A．20° B．40° C．80° D．100°
6．我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图．小颖B入口进D出口的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，⊙O半径为，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为（ ）
A．1 B．1 C．1 D．
8．在平面直角坐标系中，直线y＝mx+1与抛物线交于A、B两点，设A（a1，b1），B（a2，b2），则下列结论正确的个数为（ ）
①a1a2＝﹣4；
②；
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2；
④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN．
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．有一组数据：1，1，1，1，m．若这组数据的方差是0，则m为 ．
10．如果关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的根的判别式的值为5，那么m＝ ．
11．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F，如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，则BE的长是 ．
12．人体下半身（脚底到肚脐的长度）与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士，身高1.68m，下半身1.02m，她应选择 cm（取两位有效数字）高的高跟鞋看起来更美．
13．已知A（x1，2018），B（x2，2018）是二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象上的两点，则当x＝x1+x2时，二次函数的值是 ．
14．如图，在⊙O中，直径AB与弦MN相交于点P，∠NPB＝45°，若AP＝2，BP＝6，则MN＝ ．
15．若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2m+2025﹣2m2的值为 ．
16．如图，四边形ABCD为正方形，P是以边AD为直径的⊙O上一动点，连接BP，以BP为边作等边三角形BPQ，连接OQ，若AB＝2，则线段OQ的最大值为 ．
三．解答题（共10小题，满分88分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）．
18．（6分）某中学运动队有短跑、长跑、跳远、实心球四个训练小队，现将四个训练小队队员情况绘制成如下不完整的统计图：
（1）学校运动队的队员总人数为 ；
（2）补全条形统计图，并标明数据；
（3）若在长跑训练小组中随机选取2名同学进行比赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的这两名同学恰好是一男一女的概率．
19．（8分）若为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根；
（1）则方程的另外一个根β＝ ，t＝ ；
（2）求（α3﹣α2+1）（β3﹣β2+1）的值．
20．（8分）如图，AB是圆O的直径，点C，D分别在两个半圆上（不与点A、B重合），AD＝BD．
（1）若∠ADC＝15°，AD＝2，则∠CBD＝ 度，CD的长是 ；
（2）CD，求AC+BC的长．
21．（8分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝2，点D在边BC的反向延长线上，且DB＝3，点E在边BC的延长线上，且∠EAC＝∠D．
（1）求证：△EAC∽△ADB．
（2）若AD＝4，求BE的长．
22．（10分）已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，点M平分BC，AD平分∠BAC，过点A、M、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求∠MAD的度数；
（2）求证：CF＝CD；
（3）已知AC＝2，求⊙O的半径．
23．（10分）安徽盒子健康公司不断加大科技投入，现投资500万元购进一条灭新冠病毒专用口罩生产线，2020年12月份投产后若不计维修保养、捐赠口罩成本等费用，每月可创利100万元．实际生产过程中，第n月的维修保养、捐赠口罩成本等费用满足下表：
第n月 第1月 第2月
维修保养、捐赠口罩成本等费用（万元） 3 5
若从第1月到第n月的维修保养与损耗等费用累计为y（万元），且y＝an2+bn．
（1）求出y的解析式；
（2）设该公司第n月的利润为w（万元），求w与n之间的函数关系式，并指出在第几月w取得最大值，最大值是多少？
（3）该公司在2021年哪月份能收回投资？
24．（8分）已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP．
（1）求证：BD＝PD；
（2）已知⊙O的半径是3，CD＝8，求BC的长．
25．（10分）如图，AB与⊙O相切于点C，且C为线段AB的中点，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC．
（1）求证：∠CDF＝∠CDE；
（2）①若DE＝10，DF＝8，则CD＝ ；
②连接CO，CF，当∠B的度数为 时，四边形ODFC是菱形．
26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．
（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．
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