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2023-2024学年上学期期末模拟考试
九年级数学
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：九年级上册+下册（浙教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目
1．（2022秋 慈溪市期末）下列诗句所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．黄河入海流 B．大漠孤烟直
C．汗滴禾下土 D．手可摘星辰
2．（2022秋 滨江区期末）已知，则下列式子中正确的是（ ）
A．a：b＝4：9 B．a：b＝4：6
C．a：b＝（a+2）：（b+2） D．a：b＝3：2
3．（2022秋 临平区期末）如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2022秋 杭州期末）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（ ）
A．2π B．4π C．12π D．24π
5．（2022秋 西湖区期末）如图，能使△ABC∽△ADE成立的条件是（ ）
A．∠A＝∠A B．∠ADE＝∠AED C． D．
6．（2022秋 温州期末）如图，线段AB，EF，CD分别表示人，竹竿，楼房的高度，且A，E，C在同一直线上．测得人和竹竿的水平距离为1.2m，人和楼房的水平距离为20m，人的高度为1.5m，竹竿的高度为3m，则楼房的高度是（ ）
A．25m B．26.5m C．50m D．51.5m
7．（2021秋 瑞安市期末）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若∠C＝125°，则∠ABD的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
8．（2022秋 海曙区期末）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，过A、B、E三点的圆交BC于点D，则∠AED的正切值是（ ）
A． B．2 C． D．
9．（2022秋 慈溪市期末）二次函数y＝mx2﹣2m2x+n图象经过点A（﹣3，y1），B（7，y2），且y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜2 B．m＜0或m＞2 C．﹣3＜m＜0 D．m＜﹣3或m＞7
10．（2022秋 临海市期末）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，点D为上的一个动点，连接CD，作DE⊥CD，交AB于点E，连接CE．若⊙O半径为5，且，则△CDE的面积为（ ）
A．6 B．7.5 C． D．10
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（2022秋 滨江区期末）已知一个二次函数图象的形状与抛物线y＝2x2相同，它的顶点坐标为（1，﹣3），则该二次函数的表达式为 ．
12．（2022秋 临平区期末）如图，四边形ABCO的顶点A、B、C在⊙O上，若∠ABC＝130°，则∠AOC＝ ．
13．（2022秋 慈溪市期末）某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如下表：
每次试验粒数 50 100 300 400 600 1000
发芽频数 47 96 284 380 571 948
估计这批青稞发芽的概率是 ．（结果保留到0.01）
14．（2022秋 海曙区期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为 ．
15．（2022秋 海曙区期末）已知点P（m，n）在二次函数y＝x2+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 ．
16．（2021秋 瑞安市期末）如图1，一个菱形可以分割成八个全等的等边三角形，按图2所示的方式（不重叠无缝隙）摆放在矩形纸片ABCD内，顶点E，F，G，H，M，N均恰好落在矩形ABCD的边上，若菱形的边长为4，则FG的长为 ，BC的长为 ．
三、解答题：本题共7小题，共66分.其中：17题6分，18-19每题8分，20-21每题10分，22-23每题12分.
17．（2022秋 滨江区期末）一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球．
（1）从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率．
（2）从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，请画出树状图或列表，并求摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率．
18．（2021秋 瑞安市期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠ADE＝∠C，AF平分∠BAC交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：．
（2）若点G是△ABC的重心，AE＝6，求AB的长．
19．（2022秋 江北区期末）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，连结AC，点D为的中点，过D作DE∥AC，交OC的延长线于点E．
（1）求证：DE是半圆O的切线．
（2）若OC＝3，CE＝2，求AC的长．
20．（2022秋 慈溪市期末）如图是由边长为1的小正方形构成的8×6的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．
（1）将△ABC绕C点按顺时针方向旋转90°，得到△A1B1C，请在图1中作出△A1B1C．
（2）在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段AC上找一点M，使得．
（3）在图3中，在三角形内寻找一格点N，使得∠BNC＝2∠A．（请涂上黑点，注上字母）
21．（2022秋 宁波期末）如图1是一个简易手机支架，由水平底板DE、侧支撑杆BD和手机托盘长AC组成，侧面示意图如图2所示．已知手机托盘长AC＝10cm，侧支撑杆BD＝10cm，∠CBD＝75°，∠BDE＝60°，其中点A为手机托盘最高点，支撑点B是AC的中点，手机托盘AC可绕点B转动，侧支撑杆BD可绕点D转动．
（1）如图2，求手机托盘最高点A离水平底板DE的高度h（精确到0.1cm）．
（2）如图3，当手机托盘AC绕点B逆时针旋转15°后，再将BD绕点D顺时针旋转α，使点C落在水平底板DE上，求α（精确到0.1°）．（参考数据：tan26.6°≈0.5，≈1.41，≈1.73）
22．（2022秋 滨江区期末）二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过（﹣2，y1），（1，y2）两点．
（1）当b＝1时，判断y1与y2的大小．
（2）当y1＜y2时，求b的取值范围．
（3）若此函数图象还经过点（m，y1），且1＜b＜2，求证：3＜m＜4．
23．（2022秋 慈溪市期末）如图，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直，垂足为E，直径CF交线段BE于点G，且．
（1）求证：．
（2）若⊙O的半径为4，AB＝6，求AG的长．
（3）设．
①若点E为AG中点，求x．
②若，求y与x的函数表达式．
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2023-2024学年上学期期末模拟考试
九年级数学
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目
1．（2022秋 慈溪市期末）下列诗句所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．黄河入海流 B．大漠孤烟直
C．汗滴禾下土 D．手可摘星辰
【答案】D
【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可．
【详解】解：A．“黄河入海流”是必然事件，因此选项A不符合题意；
B．“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项B不符合题意；
C．“汗滴禾下土”是随机能事件，因此选项C不符合题意；
D．“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的意义是解题关键．
2．（2022秋 滨江区期末）已知，则下列式子中正确的是（ ）
A．a：b＝4：9 B．a：b＝4：6
C．a：b＝（a+2）：（b+2） D．a：b＝3：2
【答案】B
【分析】根据比例的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、若，则，故本选项错误，不符合题意；
B、若，则，故本选项正确，符合题意；
C、若，a：b＝（a+2）：（b+2）不成立，故本选项错误，不符合题意；
D、若，a：b＝3：2不成立，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3．（2022秋 临平区期末）如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得∠C＝∠D，∠A＝∠B，则△AOC∽△BOD，由相似三角形的性质得，代入数值即可求解．
【详解】解：∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D，∠A＝∠B，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
∵OA＝6，OC＝3，OD＝2，
∴，
∴OB＝4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例时解题关键．
4．（2022秋 杭州期末）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（ ）
A．2π B．4π C．12π D．24π
【答案】C
【分析】根据扇形的面积公式S＝计算即可．
【详解】解：S＝＝12π，
故选：C．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S＝是解题的关键．
5．（2022秋 西湖区期末）如图，能使△ABC∽△ADE成立的条件是（ ）
A．∠A＝∠A B．∠ADE＝∠AED C． D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定求解即可．
【详解】解：由题意得，∠A＝∠A，
若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可判断△ABC∽△ADE，故本选项符合题意；
A、B、D均不能判定△ABC∽△ADE，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．
6．（2022秋 温州期末）如图，线段AB，EF，CD分别表示人，竹竿，楼房的高度，且A，E，C在同一直线上．测得人和竹竿的水平距离为1.2m，人和楼房的水平距离为20m，人的高度为1.5m，竹竿的高度为3m，则楼房的高度是（ ）
A．25m B．26.5m C．50m D．51.5m
【答案】B
【分析】利用相似三角形的性质求出CH，可得结论．
【详解】解：由题意BF＝AG＝1.2m，BD＝AH＝20m，AB＝FG＝DH＝1.5m，EF＝3m，
∴EG＝EF﹣FG＝3﹣1.5＝1.5（m），
∵EG∥CH，
∴△AEG∽△ACH，
∴＝，
∴＝，
∴CH＝25，
∴CD＝DH+DH＝25+1.5＝26.5（m）．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
7．（2021秋 瑞安市期末）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若∠C＝125°，则∠ABD的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】C
【分析】先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，求出∠A＝55°，即可得到∠ABD的度数．
【详解】解：∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠C＝125°，∠A+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝55°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣55°＝35°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8．（2022秋 海曙区期末）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，过A、B、E三点的圆交BC于点D，则∠AED的正切值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】连接OD，证明点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上，把求∠AED的正切值转化为求∠ABC的正切值．
【详解】解：连接OD，
∵AD⊥BC，O是AB中点，
∴OD＝AB＝1，
∴OD＝OA＝OE＝OD，
∴点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上，
∴∠ABC＝∠AED，
∴tan∠AED＝tan∠ABD＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握四点共圆的证明及三角函数的应用是解题关键，其中连接OD，证明点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上是本题的难点．
9．（2022秋 慈溪市期末）二次函数y＝mx2﹣2m2x+n图象经过点A（﹣3，y1），B（7，y2），且y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜2 B．m＜0或m＞2 C．﹣3＜m＜0 D．m＜﹣3或m＞7
【答案】B
【分析】先求得，，根据y1＞y2，得到m（m﹣2）＞0，解不等式组即可求解．
【详解】解：∵二次函数y＝mx2﹣2m2x+n图象经过点A（﹣3，y1），B（7，y2），
∴，，
∵y1＞y2，即y1﹣y2＞0，
∴9m+6m2x+n﹣（49m﹣14m2x+n）＞0，即m（m﹣2）＞0，
∴或，
解得m＞2，
解得m＜0，
∴m＜0或m＞2．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．准确理解二次函数的性质，正确求解不等式组是解题的关键．
10．（2022秋 临海市期末）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，点D为上的一个动点，连接CD，作DE⊥CD，交AB于点E，连接CE．若⊙O半径为5，且，则△CDE的面积为（ ）
A．6 B．7.5 C． D．10
【答案】B
【分析】延长DE交⊙O于点F，连接CF，设DE＝3m，则CD＝4m，CE＝EF＝5m，在Rt△DCF中，CF＝10，利用勾股定理计算即可求解．
【详解】解：延长DE交⊙O于点F，连接CF，
∵DE⊥CD，则∠D＝90°，
∴CF是⊙O的直径，
∵点C为的中点，
∴AB⊥CF，
∴CE＝EF，
∵，
设DE＝3m，则CD＝4m，CE＝EF＝5m，
∴DF＝DE+EF＝8m，
在Rt△DCF中，CF＝2×5＝10，CF2＝CD2+DF2，即102＝16m2+64m2，
∴，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（2022秋 滨江区期末）已知一个二次函数图象的形状与抛物线y＝2x2相同，它的顶点坐标为（1，﹣3），则该二次函数的表达式为 y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3 ．
【答案】y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
【分析】根据二次函数的顶点坐标为（1，﹣3），可得可设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，再根据图象的形状和与抛物线y＝2x2相同，可得a＝±2，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为（1，﹣3），
∴可设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，
∵二次函数图象的形状与抛物线y＝2x2相同，，
∴|a|＝2，
∴a＝±2，
∴这个二次函数的解析式为y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
故答案为：y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，牢记形状相同的二次函数二次项系数的绝对值相等是解题的关键．
12．（2022秋 临平区期末）如图，四边形ABCO的顶点A、B、C在⊙O上，若∠ABC＝130°，则∠AOC＝ 100° ．
【答案】100°．
【分析】首先在优弧AC上取点D，连接AD，CD，由圆的内接四边形的性质，可求得∠ADC的度数，然后由圆周角定理，求得∠AOC的度数．
【详解】解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，
∵∠ABC＝130°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝100°．
故答案为：100°．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
13．（2022秋 慈溪市期末）某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如下表：
每次试验粒数 50 100 300 400 600 1000
发芽频数 47 96 284 380 571 948
估计这批青稞发芽的概率是 0.95 ．（结果保留到0.01）
【答案】0.95．
【分析】先计算各次的发芽率，利用频率估计概率即可．
【详解】解：分别计算各次的发芽率，
＝0.94，
＝0.96，
≈0.95，
＝0.95，
≈0.95，
≈0.95，
估计这批青稞发芽的概率是0.95．
故答案为：0.95．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14．（2022秋 海曙区期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为 5：3 ．
【答案】5：3．
【分析】根据相似三角形的判定得出△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质得出∠BAC＝∠DAE，进而证明△ACE∽△ABD，利用相似三角形的性质和勾股定理进行解答即可．
【详解】解：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
∵，
∴△ACE∽△ABD，
∴，
∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，
则设AC＝3x，BC＝4x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴，
∴AC：BC：AB＝3：4：5，
∴BD：CE＝5：3，
故答案为：5：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键是证明△ABC∽△ADE．
15．（2022秋 海曙区期末）已知点P（m，n）在二次函数y＝x2+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 ﹣ ．
【答案】﹣．
【分析】根据题意，可以得到m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m﹣n的最大值，本题得以解决．
【详解】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝x2+4上，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，m﹣n＝﹣．
故答案为：﹣．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．（2021秋 瑞安市期末）如图1，一个菱形可以分割成八个全等的等边三角形，按图2所示的方式（不重叠无缝隙）摆放在矩形纸片ABCD内，顶点E，F，G，H，M，N均恰好落在矩形ABCD的边上，若菱形的边长为4，则FG的长为 2 ，BC的长为 ．
【答案】2；．
【分析】连接FN交EK于点O，过点O作PQ⊥BC于点P，交AD于点Q，证明四边形ABPQ是矩形，四边形ENKF是菱形，利用勾股定理求出FG的长；然后根据S△OFG＝OP FG＝OF OG，求出OP＝，由△GOP∽△GEB，求出BE，再证明△ANE≌△CGH，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，连接FN交EK于点O，过点O作PQ⊥BC于点P，交AD于点Q，
∴∠QPB＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠AQP＝90°，
∴四边形ABPQ是矩形，
∴AB＝QP，
∵△ENK和△EFK都是全等的等边三角形，
∴∠EFK＝∠ENK＝60°，EF＝FK＝NK＝EN＝EK＝2，
∴四边形ENKF是菱形，
∴NF⊥EK，OE＝OK＝EK＝1，OF＝ON＝FN，∠EFN＝∠EFK＝30°，
∴OF＝＝＝，
∵OG＝OK+KG＝1+4＝5，
∴FG＝＝＝2，
∵S△OFG＝OP FG＝OF OG，
∴2OP＝5，
∴OP＝，
∴AB＝PQ＝2OP＝，
∵OP∥BE，
∴△GOP∽△GEB，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝，
∴AE＝AB﹣BE＝﹣＝，
∴AN＝＝＝，
∵BF＝＝＝，
∵AD∥BC，EN∥GH，
∴∠ANE＝∠CGH，
在△ANE和△CGH中，
，
∴△ANE≌△CGH（AAS），
∴CG＝AN＝，
∴BC＝BF+FG+CG＝+2+＝．
故答案为：2；．
【点睛】本题属于四边形的综合题，是中考填空题的压轴题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，等边三角形的性质，解决本题的关键是得到△GOP∽△GEB，计算量很大．
三、解答题：本题共7小题，共66分.其中：17题6分，18-19每题8分，20-21每题10分，22-23每题12分.
17．（2022秋 滨江区期末）一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球．
（1）从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率．
（2）从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，请画出树状图或列表，并求摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据简单概率计算公式即可获得答案；
（2）根据题意画出相应的树状图，找出所有等可能结果，进而确定摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的结果个数，然后由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）由题意可知，布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球，
所以从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率为；
（2）根据题意画出相应树状图如下，
由树状图可知，共有9中等可能结果，其中摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的有4种结果，
∴摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率为．
【点睛】本题主要考查了根据概率公式计算概率以及列举法求概率，根据题意画出相应的树状图是解题关键．
18．（2021秋 瑞安市期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠ADE＝∠C，AF平分∠BAC交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：．
（2）若点G是△ABC的重心，AE＝6，求AB的长．
【答案】（1）证明见解答；（2）9．
【分析】（1）根据∠ADE＝∠C，由角平分线的定义得到∠DAG＝∠CAF，根据相似三角形的判定定理得出△ADG∽△ACF，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（2）根据三角形重心的性质得出＝．由（1）得出＝．证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例得出＝＝，将AE＝6代入，即可求出AB的长．
【详解】（1）证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠DAG＝∠CAF，
∵∠ADE＝∠C，
∴△ADG∽△ACF，
∴；
（2）解：∵点G是△ABC的重心，
∴AG＝2GF，
∴＝．
由（1）可知，＝．
在△ADE和△ACB中，
∵∠DAE＝∠CAB，∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝＝，
∴AB＝＝＝9．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形重心的性质，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
19．（2022秋 江北区期末）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，连结AC，点D为的中点，过D作DE∥AC，交OC的延长线于点E．
（1）求证：DE是半圆O的切线．
（2）若OC＝3，CE＝2，求AC的长．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）连接OA、OD，由OA＝OC，点D是的中点，推出OD⊥AC，又DE∥AC，推出OD⊥DE，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）通过证得△ABC∽△DOE，根据相似三角形的性质求得AB，然后根据勾股定理即可求得AC．
【详解】（1）证明：连结OD交AC于点F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，
∵DE∥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是半圆O的切线；
（2）解：∵OC＝3，CE＝2，
∴OE＝5，OD＝OC＝3，
在Rt△ODE中，DE＝＝4，
∴，
∵AC∥DE，
∴∠FCO＝∠E，
∴，
∴，
∵OD⊥AC，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理以及勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
20．（2022秋 慈溪市期末）如图是由边长为1的小正方形构成的8×6的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．
（1）将△ABC绕C点按顺时针方向旋转90°，得到△A1B1C，请在图1中作出△A1B1C．
（2）在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段AC上找一点M，使得．
（3）在图3中，在三角形内寻找一格点N，使得∠BNC＝2∠A．（请涂上黑点，注上字母）
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）见解析．
【分析】（1）分别作点A、点B绕C点按顺时针方向旋转90°得到的对应点A1、B1，顺次连接A1C、B1C、A1B1，即可得到△A1B1C；
（2）由图可知AP＝2，CQ＝3，AP∥CQ，由△AMP∽△CMQ，即可证明点M满足要求；
（3）按要求找到点N，连接BN、CN、AN，由勾股定理可得，点N到点A、B、C的距离相等，即点N是△ABC的外心，以点N为圆心，BN为半径画圆，由圆周角定理即可证明点N满足要求．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C即为所求，
（2）如图，点M即为所求，
由图可知，AP＝2，CQ＝3，AP∥CQ，
∴△AMP∽△CMQ，
∴，
∴，
即点M符合要求；
（3）如图，
连接BN、CN、AN，
由勾股定理可得，
∴点N到点A、B、C的距离相等，
即点N是△ABC的外心，以点N为圆心，BN为半径画圆，
则∠BNC＝2∠A，
即点N符合题意．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理、图形的旋转作图等知识，根据题意正确作图是解题的关键．
21．（2022秋 宁波期末）如图1是一个简易手机支架，由水平底板DE、侧支撑杆BD和手机托盘长AC组成，侧面示意图如图2所示．已知手机托盘长AC＝10cm，侧支撑杆BD＝10cm，∠CBD＝75°，∠BDE＝60°，其中点A为手机托盘最高点，支撑点B是AC的中点，手机托盘AC可绕点B转动，侧支撑杆BD可绕点D转动．
（1）如图2，求手机托盘最高点A离水平底板DE的高度h（精确到0.1cm）．
（2）如图3，当手机托盘AC绕点B逆时针旋转15°后，再将BD绕点D顺时针旋转α，使点C落在水平底板DE上，求α（精确到0.1°）．（参考数据：tan26.6°≈0.5，≈1.41，≈1.73）
【答案】（1）12.2cm；
（2）33.4°．
【分析】（1）作BF⊥DE于点F，BG∥DE，AG⊥BG于点G，构造直角三角形，根据题中的已知条件，可求出AG，BF的长，可得答案．
（2）由题意可得∠DBC＝90°，在Rt△DBC中，已知两直角边，可求得∠BDC的正切值，进而可求得α的度数．
【详解】解：（1）如图2，作BF⊥DE于点F，BG∥DE，AG⊥BG于点G，
∵∠BDE＝60°，
∴∠DBF＝30°，
又∵BD＝10cm，
∴，
∵∠CBD＝75°，
∴∠CBF＝45°，
∴∠ABG＝45°，
∵AC＝10cm，B是AC的中点，
∴AB＝5cm
∴，
∴；
（2）由条件，得：∠DBC＝90°，
又∵BD＝10cm，BC＝5cm，
∴，
∴∠BDC≈26.6°，
∴α＝60°﹣26.6°＝33.4°．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造出直角三角形是解题的关键．
22．（2022秋 滨江区期末）二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过（﹣2，y1），（1，y2）两点．
（1）当b＝1时，判断y1与y2的大小．
（2）当y1＜y2时，求b的取值范围．
（3）若此函数图象还经过点（m，y1），且1＜b＜2，求证：3＜m＜4．
【答案】（1）y1＞y2；
（2）b＜﹣1；
（3）答案见解析．
【分析】（1）当b＝1时，分别把x＝﹣2，x＝1代入解析式，计算出y1，y2，比较即可；
（2）先求出y1＝4+2b+c，y2＝1﹣b+c，再根据y1＜y2，解不等式即可；
（3）先求出二次函数y＝x2﹣bx+c的对称轴为直线x＝，＝m﹣得由1＜b＜2，计算可得答案．
【详解】解：（1）当b＝1时，
∴，
∵6+c＞c，
∴y1＞y2；
（2）∵y1＝4+2b+c，y2＝1﹣b+c，
又∵y1＜y2，
∴4+2b+c＜1﹣b+c，
∴b＜﹣1；
（3）二次函数y＝x2﹣bx+c的对称轴为直线，
∵二次函数经过（﹣2，y1），（m，y1）两点，
∴＝m﹣得，即m＝2+b，
∵1＜b＜2，
∴3＜m＜4．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称轴的性质，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
23．（2022秋 慈溪市期末）如图，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直，垂足为E，直径CF交线段BE于点G，且．
（1）求证：．
（2）若⊙O的半径为4，AB＝6，求AG的长．
（3）设．
①若点E为AG中点，求x．
②若，求y与x的函数表达式．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）①；②；
【分析】（1）连接DF，AF，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CDF＝90°，再根据平行线的判定，得出AB∥DF，再根据平行线的性质，得出∠BAF＝∠AFD，再根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得出结论；
（2）连接BF，AC，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAF＝90°，再根据，得出，再根据等边对等角，得出∠CFA＝∠ACF＝45°，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出∠B＝∠ACF＝45°，再根据等量代换，得出∠B＝∠AFC，再根据相似三角形的判定，得出△ABF∽△AFG，再根据相似三角形的性质，得出AF2＝AG AB，然后计算即可得出答案；
（3）①连接AD，根据等腰三角形的判定，得出CA＝CG，再根据等边对等角，对顶角相等以及同弧或等弧所对的圆周角相等，得出∠CAG＝∠CGA＝∠BGF＝∠BFG，再根据等角对等边，得出BG＝BF，再根据弧与弦的关系，得出AD＝BF，进而得出BG＝BF＝AD，再根据题意，得出，进而得出CD＝AB，再根据对称性，得出AE＝ED，再根据等腰直角三角形的性质，得出，进而得出，然后变形，即可得出答案；
②连接AO交CE于P，设AE＝1，则BG＝x，设EG＝t根据全等三角形的判定，得出△CPO≌△AGO，再根据全等三角形的性质，得出CP＝AG＝t+1，再根据线段之间的数量关系，得出CE＝EB＝t+x，进而得出PE＝x﹣1，再根据相似三角形的性质，得出，进而得出，解得，再根据平行线分线段成比例定理，得出，然后代入计算，即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接DF，AF，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CDF＝90°，
∵AB⊥CD，
∴AB∥DF，
∴∠BAF＝∠AFD，
∴；
（2）解：连接BF，AC，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CAF＝90°，
∵，
∴，
∴∠CFA＝∠ACF＝45°，
∴∠B＝∠ACF＝45°，
∴∠B＝∠AFC，
∵∠BAF＝∠FAG，
∴△ABF∽△AFG，
∴AF2＝AG AB，
∴；
（3）解：①连接AD，
∵点E为AG中点，AB与CD互相垂直，
∴CA＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA＝∠BGF＝∠BFG，
∴BG＝BF，
∵，
∴AD＝BF，
∴BG＝BF＝AD，
又∵，，
∴，
∴CD＝AB，
由对称性知，AE＝ED，
∴，
∴，
∴，
∴；
②连接AO交CE于P，设AE＝1，则BG＝x，设EG＝t，
∵，
∴AO⊥CF，
∴∠COP＝∠AOG＝90°，
∴∠OCP+∠OPC＝90°，
∵∠APE+∠PAE＝90°，
又∵∠OPC＝∠APE，
∴∠OCP＝∠PAE，即∠OCP＝∠OAG，
在△CPO与△AGO中，
，
∴△CPO≌△AGO（AAS），
∴CP＝AG＝t+1，
由①知CE＝EB＝t+x，
∴PE＝x﹣1，
∵△APE∽△CGE，
∴，
即，
解得，
∵AB∥DF，
∴，
即．
【点睛】本题考查了圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、函数，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．
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