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2023-2024学年上学期期末模拟考试
九年级数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：九年级上下册（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，，8 B．，2，8 C．1，2， D．1，2，8
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为，．以点O为位似中心，在原点的
另一侧按的相似比将缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．若点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．1
6．点在函数图象上，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象分布在二、四象限 B．当时，y的值随x的增大而增大
C．当时，y的值随x的增大而减小 D．它的图象过点
7．如图，在中，，将绕点A旋转得到，连接．若，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．将抛物线向左平移3个单位，向下移动1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
9．10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强
大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍
有x支，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，圆内接四边形中，，连接，，，，
．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
12．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；
③若，，是抛物线上三点，则；④；
⑤；⑥关于x的方程有四个根，且这四个根的和为4，其中正确的
结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷
填空题：本题共6小题，共18分。
13．如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图，那么搭成这个几何
体所用的小立方块个数是 块．
14．如图是一个圆柱形的玻璃保温水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面，则水的
最大深度是 cm．
15．已知、是方程的两个实数根，则的值为 ．
16．如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，若，
，则的正切值为 ．
17．现有y是关于x的二次函数，下列结论正确的是 ．（填写正确的
序号）
①当时，函数图象的顶点坐标为；
②当时，函数图象总过定点；
③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；
④若函数图象上任取不同的两点、，则当且时一定能使成立．
18．如图，已知正方形、正方形的边长分别为4，1，将正方形绕点A旋转，连接，
点M是的中点，连接，则线段的最大值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共66分。其中：19-20每题6分，21-23题每题8分，24-26题每题10分。
19．计算：
（1） （2）
20．九年级某班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的n名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的
其他n名同学，这样全班43名同学恰好都接到了一次通知，求n的值．
21．如图，直线的图象与反比例函数的图象交于点A．点B，与x轴相交于点C，其中点A
的坐标为，点B的纵坐标为2．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出当一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围；
（3）求的面积．
22．如图，图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角
为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架水平横管的长度
为0.9米，求安装热水器的铁架竖直管的长度．（结果精确到0.1米）（参考数据：，
，，，，）
23．如图，在和中，已知，．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
24．如图，是⊙O的直径，，，相交于点E，过点C作，与的延长
线相交于点F，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
25．某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）
与时间t（天）的关系如下表：
时间t（天） 1 3 5 10 36 …
日销售量m（件） 94 90 86 76 24 …
未来40天内，前20天每天的价格（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），后20天每天的价格（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数）．
下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的表达式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点C是抛物线的顶点，连接
．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；
（2）设直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧且点Q在第四象限），当直线与直线相交所成的一个角为时，求点Q的坐标；
（3）如图2，作直线，分别交y轴正、负半轴于点M、N，交抛物线于点P、G，设点M、N的纵坐标分别为m、n，且，求证：直线经过一个定点．
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2023-2024学年上学期期末模拟考试
九年级数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：九年级上下册（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：A、B是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，，8 B．，2，8 C．1，2， D．1，2，8
【答案】C
【解析】解：，
，
故二次项系数、一次项系数、常数项分别是1、2、，
故选：C．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为，．以点O为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：以点O为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，将的横纵坐标先缩小为原来的为，再变为相反数得．
故选：D．
4．二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】解：∵，
∴顶点坐标为，
∴顶点在第三象限．
故选：C．
5．若点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．1
【答案】D
【解析】解：∵点与点于原点对称，
∴，，
故．
故选：D．
6．点在函数图象上，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象分布在二、四象限 B．当时，y的值随x的增大而增大
C．当时，y的值随x的增大而减小 D．它的图象过点
【答案】C
【解析】解：∵点在函数图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∴它的图象分布在二、四象限，当时，y的值随x的增大而增大，当时，y的值随x的增大而增大，它的图象过点
故选项A、B、D不符合题意，C选项符合题意．
故选：C．
7．如图，在中，，将绕点A旋转得到，连接．若，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵，
∴．
由旋转，得，，
∴．
∴．
∴．
故选：B．
8．将抛物线向左平移3个单位，向下移动1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：将抛物线向左平移3个单位，向下移动1个单位，所得抛物线的解析式是．
故选：C．
9．10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域
强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛
队伍有x支，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：根据题意得：．
故选：B．
10．如图，圆内接四边形中，，连接，，，，
．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
11．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：A．由抛物线可知，， ，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
B．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
D．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意．
故选：B．
12．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；
③若，，是抛物线上三点，则；④；
⑤；⑥关于x的方程有四个根，且这四个根的和为4，其中正确
的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】解：由函数图象可知，
，，，
所以．
故①错误．
因为抛物线的对称轴为直线，
所以，
即．
故②错误．
因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
而，，，
且，
所以．
故③错误．
由函数图象可知，
当时，函数值小于零，
则，
又因为，
所以．
故④错误．
由函数图象可知，
当时，函数取得最大值，
所以当时的函数值小于时的函数值（），
即，
所以．
故⑤正确．
方程的解可看成函数和直线交点的横坐标，
因为两个函数的图象有四个不同的交点，
所以方程有四个根；
又因为点A和点D，点B和点C关于直线对称，
所以，，
即，．
所以，
即方程的四个根之和为4．
故⑥正确．
故选：B．
第Ⅱ卷
填空题：本题共6小题，共18分。
13．如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图，那么搭成这个
几何体所用的小立方块个数是 块．
【答案】9
【解析】解：综合主视图，俯视图，左视图，可得
底层有6个小正方体，第二层有2个小正方体，第三层有1个小正方体，
所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是，
故答案为9．
14．如图是一个圆柱形的玻璃保温水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面，则
水的最大深度是 cm．
【答案】2
【解析】解：如图所示，连接，，则有，
∴，
在中，
，
∴．
故答案为：2．
15．已知、是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【解析】解：∵、是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：
16．如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，若，
，则的正切值为 ．
【答案】
【解析】解：∵垂直平分线段，
∴，
设，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴t．
故答案为：．
17．现有y是关于x的二次函数，下列结论正确的是 ．（填写正确
的序号）
①当时，函数图象的顶点坐标为；
②当时，函数图象总过定点；
③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；
④若函数图象上任取不同的两点、，则当且时一定能使成立．
【答案】①②③
【解析】解：①当时，，
∴顶点坐标为，
故①正确；
②当时，，
当时，y的值与m无关，
此时，，
当，；当时，，
∴函数图象总经过两个定点，，
故②正确；
③当时，由得：，
∴，
∴，，
∴，
∴函数图象截x轴所得的线段长度大于，
故③正确；
④时，抛物线的对称轴：，抛物线开口向下，
故时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，
故④错误．
故答案为：①②③．
18．如图，已知正方形、正方形的边长分别为4，1，将正方形绕点A旋转，连接，
点M是的中点，连接，则线段的最大值为 ．
【答案】
【解析】解：延长至点P，使，连接，，
∵点M是的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∵正方形、正方形的边长分别为4，1，
∴，，
∵，
∴的最大值为，
∴的最大值为，
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共66分。其中：19-20每题6分，21-23题每题8分，24-26题每题10分。
19．计算
（1） （2）
【答案】（1），；（2），．
【解析】解：（1），
∴，
∴，；
（2），
，
，
∴或，
∴，．
20．九年级某班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的n名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级
的其他n名同学，这样全班43名同学恰好都接到了一次通知，求n的值．
【答案】6．
【解析】解：由题意可得，
，
解得，（不符合题意，舍去），
即n的值是6．
21．如图，直线的图象与反比例函数的图象交于点A．点B，与x轴相交于点C，其中点
A的坐标为，点B的纵坐标为2．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出当一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围；
（3）求的面积．
【答案】（1），；（2）；（3）6．
【解析】解：（1）的图象经过，
∴．
∴．
时，，得．
∴．
设一次函数解析式为，则
，
解得，
∴解析式为．
（2）如图，由，，得一次函数的值大于反比例函数的值时，．
（3）如图，直线交y轴于点D，
时，；时，，得，
∴，，
∴，．
∴．
22．如图，图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角
为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架水平横管的长
度为0.9米，求安装热水器的铁架竖直管的长度．（结果精确到0.1米）（参考数据：，
，，，，）
【答案】0.5米．
【解析】解：如图，过B作交于点F．
在中，，
则 （米）．
在中，，则（米）．
由题意得，四边形是矩形．
∴（米），（米），
∴（米），
在中，，
则（米），
∴（米），
答：安装热水器的铁架竖直管的长度约为0.5米．
23．如图，在和中，已知，．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）9．
【解析】（1）证明：∵在和中，已知，．
∴，
∴．
∴；
（2）解：∵，
又∵，
∴，
∵，
∴．
24．如图，是⊙O的直径，，，相交于点E，过点C作，与的延
长线相交于点F，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）2.8．
【解析】（1）证明：连接，连接交于M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴半径，
∴是的切线；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴．
25．某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m
（件）与时间t（天）的关系如下表：
时间t（天） 1 3 5 10 36 …
日销售量m（件） 94 90 86 76 24 …
未来40天内，前20天每天的价格（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），后20天每天的价格（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数）．
下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的表达式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
【答案】（1）；（2）578．
【解析】解：（1）经分析知：m与t成一次函数关系．设，
将，，，，
代入，
解得，
∴；
（2）前20天日销售利润为元，后20天日销售利润为元，
则，
∴当时，有最大值，为578元．
，
∵当时，随t的增大而减小，
∴时，有最大值，为513元．
∵，
∴第14天日销售利润最大，最大利润为578元．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点C是抛物线的顶点，连
接．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；
（2）设直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧且点Q在第四象限），当直线与直线相交所成的一个角为时，求点Q的坐标；
（3）如图2，作直线，分别交y轴正、负半轴于点M、N，交抛物线于点P、G，设点M、N的纵坐标分别为m、n，且，求证：直线经过一个定点．
【答案】（1），；（2）；（3）见解析．
【解析】（1）解：把代入得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
∴抛物线顶点；
（2）解：设直线与直线交于点E，与x轴交于F，过点F作交于点G，连接，如图：
由，得直线解析式为，
由得，
∴，
∵，
∴直线经过定点，即，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，即，
当 时，是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
解得（此时Q不在第四象限，舍去）或，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
（3）证明：由，，可得直线解析式为，直线解析式为；
联立，解得或，
∴，
同理，
设直线解析式为，
∴，
解得，
∴直线解析式为，
∵，
∴，
当时，，
∴直线经过定点．
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