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2023-2024学年上学期期末模拟考试
九年级数学
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：九年级上册+下册全部（浙教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目
1．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）下列各事件中，是必然事件的是（ ）
A．是实数，则<0
B．某运动员跳高的最好成绩是
C．从装着只有5个白球的箱子里取出2个白球
D．从车间刚生产的产品中任意抽一个，是正品
2．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
3．（2023上·浙江金华·九年级统考期末）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，这是“小孔成像”的实验示意图．已知蜡烛与光屏之间的水平距离为，具有小孔的纸板放在与蜡烛水平距离为（ ）的位置时，蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半．
A． B． C． D．
5．（2022上·浙江丽水·九年级期末）已知在中，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，的半径为5，直角三角板角的顶点落在上，两边与交于点，则弦的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023上·浙江杭州·九年级统考期末）如图，是的直径，是上任意一点（不与，重合），设，，所对的边分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴的负半轴于点，点是轴正半轴上一点，连结并延长交抛物线于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点．连结．若点的横坐标为1，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（2016上·江苏盐城·九年级阶段练习）若扇形的圆心角为，半径为3，则扇形的弧长为 .
12．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）某九年级一名学生进行定点投篮训练，其成绩如表，则这名学生定点投篮一次，投中的概率约为 （精确到）．
投篮次数
投中次数
13．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，，，若，．则 ．
14．（2022上·浙江丽水·九年级期末）二次函数的部分对应值列表如下：
x … 0 1 3 5 …
y … 7 7 …
则一元二次方程的解为 ．
15．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在直角中，为中点，点，分别在边上，连结，若，，则的值为 ．
16．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）如图，在中，，，D为边上一点（不与B，C重合），点O为内切圆的圆心，记，则t的取值范围为 ．
三、解答题：本题共7小题，共66分.其中：17题6分，18-19每题8分，20-21每题10分，22-23每题12分.
17．（2022上·浙江丽水·九年级期末）为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，某校开设了“烹饪、园艺、缝纫”3门劳动课程，每位同学任意选修其中的1门课程的代号和名称如下表所示：
课程代号 A B C
课程名称 烹饪 园艺 缝纫
(1)用恰当的方法表示甲与乙两位同学选课的所有可能的结果（用A，B，C表示）；
(2)求甲与乙两位同学恰好选择同一门课程的概率．
18．（2022上·浙江杭州·九年级期末）如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足．
(1)证明：；
(2)若，，求的长．
19．（2021·浙江·九年级学业考试）如图为某学校安装的红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），已知探测最大角（）为，探测最小角（）为．
(1)若该设备的安装高度为米时，求测温区域的宽度．
(2)该校要求测温区域的宽度为米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．（结果精确到米，参考数据：，，，，，）
20．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）如图，是的直径，是上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为点，且平分．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)连接，当，时，求的半径．
21．（2020·浙江·九年级期末）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生在处将球垫偏，之后又在A、两处先后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线、、在同一平面内），最终正好在处垫住，处离地面的距离为1米．如图所示，以为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
(3)为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处离地面的高度至少为多少米？
22．（2022上·浙江丽水·九年级期末）二次函数的图象经过点，点．
(1)当时，求的值；
(2)当抛物线的顶点落在y轴上时，求m的值；
(3)当时，求证：．
23．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，已知等腰三角形内接于，点为上一点（不与点重合），连接，且．
(1)如图1，若为直径．
①求的值；
②求四边形的面积．
(2)如图2，在上取一点，使，连接，交于点，若，求的长度．
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2023-2024学年上学期期末模拟考试
九年级数学
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目。
1．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）下列各事件中，是必然事件的是（ ）
A．是实数，则<0
B．某运动员跳高的最好成绩是
C．从装着只有5个白球的箱子里取出2个白球
D．从车间刚生产的产品中任意抽一个，是正品
【答案】C
【分析】根据事件的可能性大小进行判断即可
【详解】解：A．根据实数绝对值的性质判断是不可能事件，故选项A不符合题意；
B．“某运动员跳高的最好成绩是”是随机事件，故选项B不符合题意；
C．“从装着只有5个白球的箱子里取出2个白球”是必然事件，故选项C符合题意；
D．“从车间刚生产的产品中任意抽一个，是正品”这个事件是随机事件，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是不可能事件、随机事件、必然事件的概念，熟练掌握其概念是解本题的关键．
2．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】根据合比性质进行计算．
【详解】解：，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键．
3．（2023上·浙江金华·九年级统考期末）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：它的俯视图是一行三个相邻的小正方形．
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，这是“小孔成像”的实验示意图．已知蜡烛与光屏之间的水平距离为，具有小孔的纸板放在与蜡烛水平距离为（ ）的位置时，蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用蜡烛焰是像的一半，得出距离与到的距离比值为，进而求出答案．
【详解】解：由题意可得，
∴
∵蜡烛焰是像的一半，
∴距离与到的距离比值为，
设小孔的纸板应放在离蜡烛水平距离的位置，根据题意可得：，
解得：，经检验，是原方程的解，
则小孔的纸板放在与蜡烛水平距离为的位置时，蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出正确比例关系是解题关键．
5．（2022上·浙江丽水·九年级期末）已知在中，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦的定义计算得到答案．
【详解】解：∵
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角余弦的定义是解题的关键．
6．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，的半径为5，直角三角板角的顶点落在上，两边与交于点，则弦的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】连接并延长交于点，连接，根据圆周角定理得出，，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：连接并延长交于点，连接，
，
，
是的直径，，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
7．（2023上·浙江杭州·九年级统考期末）如图，是的直径，是上任意一点（不与，重合），设，，所对的边分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据圆周角定理得出，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，，所对的边分别为，，，
∴，，，
∴，，．
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角形函数．熟知直径所对的圆周角是直角及锐角三角形函数的定义是解题的关键．
8．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把代入计算即可．
【详解】解：由题意得：
把代入得：
等号两边同除以得：
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握代入法转化为关于的关系式是解决本题的关键．
9．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】过点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点，根据题意得出，进而根据即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点，
∵
则四边形是正方形，
，
∴，
，
，
，
在中，，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，正方形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
10．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴的负半轴于点，点是轴正半轴上一点，连结并延长交抛物线于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点．连结．若点的横坐标为1，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例结合点的横坐标为1，求得，解方程得，进而求出点坐标，可求得抛物线解析式为，再计算自变量为1的函数值得到，接着利用点的纵坐标为4，求出点的横坐标，然后计算的长．
【详解】解：过点作，则，
∵点的横坐标为1，即：，
∴，
当时，，
解得，，则，
则，
∵，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，，则，
当时，，
解得，，
则，
∴的长为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，勾股定理，抛物线与轴的交点，把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．若扇形的圆心角为，半径为3，则扇形的弧长为 .
【答案】2π
【分析】直接利用弧长公式求解即可．
【详解】扇形的圆心角为，半径为3，
扇形的弧长是：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，熟练记忆弧长公式是解题关键．
12．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）某九年级一名学生进行定点投篮训练，其成绩如表，则这名学生定点投篮一次，投中的概率约为 （精确到）．
投篮次数
投中次数
【答案】
【分析】根据大量反复试验下投篮的投中率估计投中的概率即可．
【详解】根据表格发现，随着投篮次数的增多投中的频率逐渐稳定在附近，
∴投中的概率约为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量反复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
13．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，，，若，．则 ．
【答案】5
【分析】根据，可得，根据题中，证明，根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定及性质，熟知相似三角形对应边之比相等的性质是解题的关键．
14．（2022上·浙江丽水·九年级期末）二次函数的部分对应值列表如下：
x … 0 1 3 5 …
y … 7 7 …
则一元二次方程的解为 ．
【答案】
【分析】利用时，；时，得到二方程一元二次方程的两根为，由于把一元二次方程可看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程即可．
【详解】解：对于二次函数，
∵时，；时，，
即方程一元二次方程的两根为，
把一元二次方程看作关于的一元二次方程，
∴或，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查通过表格确定二次函数图象与的交点坐标解一元二次方程．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和整体思想进行求解是解题的关键．
15．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在直角中，为中点，点，分别在边上，连结，若，，则的值为 ．
【答案】/
【分析】连接，首先根据题意得到点E，C，F，D四点在以为直径的圆上，然后得到，根据直角三角形的性质得到，，然后利用三角函数结合勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，连接，
∵，，
∴点E，C，F，D四点在以为直径的圆上，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴设，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角函数，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是得出点E，C，F，D四点在以为直径的圆上．
16．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）如图，在中，，，D为边上一点（不与B，C重合），点O为内切圆的圆心，记，则t的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由、、与相切与点F、E、G，可证平分，平分，根据，可得，再根据即可求出结果．
【详解】解：如图所示，、、与相切与点F、E、G，连接、、，
，，，
又，，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质和角平分线的性质和判定和等腰三角形的性质，熟练掌握角平分线的判定证明平分，平分是解题的关键．
三、解答题：本题共7小题，共66分.其中：17题6分，18-19每题8分，20-21每题10分，22-23每题12分.
17．（2022上·浙江丽水·九年级期末）为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，某校开设了“烹饪、园艺、缝纫”3门劳动课程，每位同学任意选修其中的1门课程的代号和名称如下表所示：
课程代号 A B C
课程名称 烹饪 园艺 缝纫
(1)用恰当的方法表示甲与乙两位同学选课的所有可能的结果（用A，B，C表示）；
(2)求甲与乙两位同学恰好选择同一门课程的概率．
【答案】(1)列表见解析
(2)
【分析】（1）利用列举法表示甲与乙两位同学选课的所有可能的结果即可；
（2）根据（1）的可知，甲与乙两位同学选课的结果共有9种．甲与乙两位同学恰好选择同一门课的结果有3种，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：列表如下：
乙 甲 A B C
A
B
C
∴甲与乙两位同学选课的结果共有9种．
（2）解：由（1）得，
甲与乙两位同学选课的结果共有9种．甲与乙两位同学恰好选择同一门课的结果有3种，
∴甲与乙两位同学恰好选择同一门课的概率．
【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率及概率公式，熟练掌握列表法或画树状图法求概率的方法和概率公式是解题的关键．
18．（2022上·浙江杭州·九年级期末）如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足．
(1)证明：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）证出．根据相似三角形的判定可得出结论；
（2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19．（2021·浙江·九年级学业考试）如图为某学校安装的红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），已知探测最大角（）为，探测最小角（）为．
(1)若该设备的安装高度为米时，求测温区域的宽度．
(2)该校要求测温区域的宽度为米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．（结果精确到米，参考数据：，，，，，）
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）根据题意可得，，，米，利用锐角三角函数列式计算即可；
（2）根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可．
【详解】（1）根据题意可知：
，，，米，
在中，（米，
在中，（米，
（米．
答：测温区域的宽度为米；
（2）根据题意可知：
，
在中，，
，
在中，，
，
解得米，
（米．
答：该设备的安装高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程．
20．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）如图，是的直径，是上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为点，且平分．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)连接，当，时，求的半径．
【答案】(1)与相切；理由见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据平分，以及，可得，从而得到，即可；
（2）连接，先证得，再由，可得，从而得到，再由勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）解：与相切，
理由：如图1，连接．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为半径，
∴与相切；
（2）解：如图2，连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的半径为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，平行线的判定，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，勾股定理，平行线的判定，直角三角形的性质是解题的关键．
21．（2020·浙江·九年级期末）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生在处将球垫偏，之后又在A、两处先后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线、、在同一平面内），最终正好在处垫住，处离地面的距离为1米．如图所示，以为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
(3)为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处离地面的高度至少为多少米？
【答案】(1)；
(2)最大高度未达到要求，理由见解析；
(3)米．
【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线表达式化为顶点式，得到顶点坐标，求出实际最大高度，即可得到答案；
（3）由（1）可知，，得到抛物线表达式为，进而得到对称轴为直线，顶点坐标为，根据最大高度的要求和对称轴，求出，再根据点的横坐标为，得到，求出的最小值即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线表达式为，且经过点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为：
（2）解：最大高度未达到要求，理由如下：
由（1）得，抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为，
处离地面的距离为1米，
球在运动中离地面的最大高度为，
最大高度未达到要求；
（3）解：由（1）可知，，
抛物线表达式为，
对称轴为直线，顶点坐标为，
球在运动中离地面的最大高度达到要求，
，
或，
对称轴在x轴负半轴，
，
，
点的横坐标为，
，
当时，有最小值，最小值为，
点离地面的高度至少为米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
22．（2022上·浙江丽水·九年级期末）二次函数的图象经过点，点．
(1)当时，求的值；
(2)当抛物线的顶点落在y轴上时，求m的值；
(3)当时，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）把，，代入，得，即可求解；
（2）根据图象经过点，点，可知对称轴是直线，当抛物线的顶点落在y轴上时，有，即可求解；
（3）由可知，可得，进而可得，把点代入解析式中可得，即可得，进而可得结论．
【详解】（1）解：把代入，得，
当时，，
∴．
（2）∵二次函数的图象经过点，点，
∴图象的对称轴是直线．
当抛物线的顶点落在y轴上时，有，
∴．
（3）由（2）可知二次函数图象的对称轴是直线．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
两边同时乘以得，，
把点代入中可得：，
∴，
∴，
两边同时减去a，边同时减去a得：．
【点睛】考查了二次函数性质，特别是不等式的变形是解决问题的关键．
23．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，已知等腰三角形内接于，点为上一点（不与点重合），连接，且．
(1)如图1，若为直径．
①求的值；
②求四边形的面积．
(2)如图2，在上取一点，使，连接，交于点，若，求的长度．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①根据圆周角定理得出，根据为直径，得出，根据，得出；
②过点A作于点E，连接，根据勾股定理得出，求出，根据，得出，，证明垂直平分，根据，得出点O在上，证明，得出，求出，得出，求出，最后求出四边形的面积即可；
（2）证明，得出，，，求出，得出，证明，得出，求出，得出，设，则，，求出，证明，得出，即，求出x的值即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴；
②过点A作于点E，连接，如图所示：
∵，，
∴，
，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∵，
∴点O在上，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
即，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，负值舍去，
即．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等和相似的判定方法．
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