黄山市黄山区2023-2024学年高一上学期12月月考
数学答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 已知集合，若，则中所有元素之和为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了元素与集合的关系，集合三要素中的互异性，属于基础题．
利用元素和集合的关系分类讨论并验证求解．
【解答】
解：若，则，不满足集合的互异性，舍去．
若，则，不满足集合的互异性，舍去．
若，则，或，由可知不合题意，
当时，，此时，故中所以元素之和为．
故选：A．
2. 命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定，考查推理能力，属于基础题．
利用全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解．
【解答】
解：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题，，
则为，，
故答案选：．
3. 已知，，且，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题．
利用特殊值判断，利用幂函数的单调性判断．
【解答】
解：对于，当，时，满足，但，所以 A错误，
对于，当，时，满足，但，所以B错误，
对于，在上为增函数，，，所以C正确，
对于，当时，，所以D错误，
故选：．
4. 不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法
根据一元二次不等式的解法即可求得正确答案．
【解答】
解：，
解得或，
所以不等式的解集为．
故选：．
5. 已知集合，集合 若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查含参数的集合关系的问题，属于中档题．
分类讨论，即可得解．
【解答】
解：由，得：
若，即时，，符合题意；
若，即时，需或
解得，
综合可得，
实数的取值范围是．
故选B．
6. 设，，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，解决本题的关键是对代数式进行合理配凑，属于中档题．
函数的解析式配凑为 ，然后利用基本不等式可求出函数的最小值．
【解答】
解：，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故选B．
7. 若，是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】C
【分析】利用参变量分离法可得出，当时，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围.
【详解】对任意的，，则，
因为，则，则，.
故选：C.
8. 已知的三边为，满足，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质和解法，属于较难题．
利用不等式的性质结合三角形三边的性质将不等式进行转化求解．
【解答】
解：的三边为，满足，，
所以，，
，
，即，
，得，
解得，
故选C．
二．多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的。每小题都选对得5分，落选不全的得2分，有选错的得0分。）
9. 下列叙述中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件
D. 命题“”的是真命题
【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了集合的子集，交集，并集，充分条件、必要条件的判断，全称量词命题，属于基础题．
根据交集、并集的定义判断，，根据充分条件、必要条件的定义判断，利用特例判断；
【解答】
解：对于：若，则，故A正确；
对于：若，则且，所以，故B正确；
对于：由，即，
所以或或或，故充分性不成立，
由可以得到，
故“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
对于：当时，，故D错误．
故选ABC．
10. 下列说法正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题．
选项AD可举出反例判断；选项BC可通过不等式基本性质判断，即可得到结果．
【解答】
解：选项，当时，满足，但，故A错误；
选项，若，故，不等式两边同乘以，得到，故B正确；
选项，若，不等式两边同减去得：，故C正确；
选项，当时，满足，但此时，故 D错误．
故选BC．
11. 下列命题正确的是( )
A. 是””的充分不必要条件
B. 不等式恒成立的条件是
C. 已知全集则
D. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是
【答案】 AB
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判定，涉及到集合的补集运算、充分和必要条件的判定、不等式的恒成立问题，属于基础题．
对各选项逐一判定正误，即可得到答案．
【解答】
解：，但，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
B. 不等式恒成立，
则，解得，
故B正确；
C. 全集，或，
所以，故C错误；
D.不等式对一切恒成立，
当时，恒成立，
当时，
解得，
所以，故D错误．
故选AB
12. 已知，，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为16
【解题思路】利用基本不等式有，结合换元法解一元二次不等式求范围，注意所得范围端点取值判断A；由已知得，利用基本不等式判断B、C、D，注意最值取值条件.
【解答过程】因为，，
所以，仅当时，即等号成立，
令，则，故，
所以，即，仅当时右侧等号成立，
所以的最大值为，A错误；
由，则，
所以，
仅当，即时等号成立，故的最小值为，B正确；
由，仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，C正确；
由，仅当，即时等号成立，
所以的最小值为16，D正确.
故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置上。）
13. 已知集合，若集合有个子集，则实数的取值范围为
【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合中子集个数问题，属于基础题．
若集合中有个元素，则子集个数为，依此解题．
【解答】
解：因为集合有个子集，所以集合中包含个元素，所以，所以，则实数的取值范围为．
14. 已知，，其中，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查必要不充分条件的应用，属于基础题．
解出的范围，并设、，根据是的必要不充分条件，得出 ，根据集合的包含关系即可得出．
【解答】
解：解可得，即，
因为，所以，解可得，
即；
设，，
若 是的必要不充分条件，则，
所以有不能同时取等号，且，
所以，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
15. 若，，则与的大小关系为 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用作差法比较大小，属于中档题．
，因为，，可得，分和两种情形讨论，即可求解．
【解答】
解：
，
因为，，
所以，．
若，则，故
若，则，故．
综上，
故答案为；
16. 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】【分析】
根据题意，分类讨论的值，进行求解即可．
本题考查根据不等式的解集情况求参数范围，考查一元二次不等式的解法，考查运算能力和分类讨论思想．
【解答】
解：由题可知，不等式有且只有一个整数解，
显然，当时，，解得：，不满足条件；
故，关于的不等式，
即，
当时，不等式即，
得它的解集为：，不满足条件；
当时，不等式即，
由于此时，当且仅当时，等号成立，
可知：当时，不等式无解；
当且时，不等式的解集为，
，即
求得或，
则实数的取值范围．
故答案为：．
解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。
本小题0分
已知实数、，满足，，求的取值范围．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用不等式的基本性质求代数式的取值范围，考查了待定系数法的应用，考查计算能力，属于中档题．
利用待定系数法得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围．
【解答】
解：设，
，解得，所以，
，，所以，，
所以，，即，
因此，的取值范围是，
故答案为．
18.本小题2分
已知，．
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
【答案】解：根据题意，因为，则，则，则的取值范围为，
若，则，则，则的取值范围为．
【解析】利用元素与集合的关系可解，
利用子集的定义可解．
本题考查集合的相关知识，属于基础题．
19. 已知，命题：对任意x，不等式恒成立；命题：存在x，使得成立．
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）当时，若命题，命题有且仅有一个为真命题，求的取值范围．
（1）；（2）．
【分析】（1）由为真命题，若，只需恒成立，即可求的取值范围；
（2）若为真时，结合已知条件：讨论真假、假真，分别求得的范围，取并集即可.
【详解】解：（1）对任意，不等式恒成立，
令，则，
当时，，即，解得．
因此，当为真命题时，的取值范围是．
（2）当时，若为真命题，则存在，使得成立，所以；故当命题为真时，．
又∵，中一个是真命题，一个是假命题．
当真假时，由，得；
当假真时，有或，且，得．
综上所述，的取值范围为．
试卷第1页，共3页
20. 本小题分
已知集合
求的最小值；
对任意，证明．
【详解】（1）解：因为，且，
所以，，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为.
（2）解：由题意可知，且，所以，，
故
，
当且仅当时，等号成立，故原不等式得证.
．
21. 本小题分
“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围阴影部分均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米．
若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值；
若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值．
【答案】解：设草坪的宽为米，长为米，由面积为平方米，可得，
因为矩形的长比宽至少多米，所以，
所以，解得，
又因为，所以，
所以草坪宽的最大值为米．
设整个绿化面积为平方米，由题意可得
，
当且仅当时，等号成立，
故整个绿化面积的最小值为平方米．
【解析】本题主要考查的是一元二次不等式的实际应用，利用基本不等式求最值，利用基本不等式解决实际问题，属于中档题．
设草坪的宽为米，长为米，根据条件列出关于的一元二次不等式，求解即可；
用，表示出绿化面积，利用基本不等式求解即可．
22. 本小题分
设．
若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
解关于的不等式．
【答案】解：对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立．
当时，不等式可化为，不适合题意；
当时，即
整理得解得；
故对于一切实数恒成立时．
不等式等价于．
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为．
综上当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
【解析】本题考查不等式恒成立的条件及含参数不等式问题的解法，属于拔高题．
对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立．解题时注意对参数分情况讨论特别当时，二次不等式的条件是；
不等式等价于解题时也要注意对参数分情况讨论特别当时，通过比较对应二次方程的两根的大小得出不等式的解集．黄山市黄山区2023-2024学年高一上学期12月月考
数学
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 已知集合，若，则中所有元素之和为( )
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 已知，，且，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
4. 不等式的解集是( )
A. B. C. D.
5. 已知集合，集合 若，则实数的取值范围是( )
A. B. C . D.
6. 设，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 若，是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8. 已知的三边为，满足，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的。每小题都选对得5分，选不全的得2分，有选错的得0分。）
9. 下列叙述中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件
D. 命题“”是真命题
10. 下列说法正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11. 下列命题正确的是( )
A. 是””的充分不必要条件
B. 不等式恒成立的条件是
C. 已知全集则
D. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是
12. 已知，，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为16
第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置上。）
13. 已知集合，若集合有个子集，则实数的取值范围为
14. 已知，，其中，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
15. 若，，则与的大小关系为 ．
16. 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是 .
解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解答写在答题卡上的指定区域内。
本小题0分
已知实数、，满足，，求的取值范围．
本小题2分
已知，．
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
19. 本小题分
已知，命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得成立．
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）当时，若命题，命题有且仅有一个为真命题，求的取值范围．试卷第1页，共3页
20. 本小题分
已知集合
求的最小值；
对任意，证明．
21. 本小题分
“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围阴影部分均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米．
若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值；
若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值．
22. 本小题分
设．
若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
解关于的不等式．
