黄山市黄山区2023-2024学年高二上学期12月月考
数学答案和解析
1.【答案】
解：与共线，与所在的直线也可能重合，故A不正确；
根据自由向量的意义知，空间任意两向量，都共面，故B不正确；
实数，，不全为，不妨设，
则，由共面向量定理知一定共面，故C正确；
只有当不共面时，空间任意一向量才能表示为，故D不正确．故选C．
2.【答案】
解：由空间直角坐标系中的一点，知：
在中，由中点坐标公式得，的中点坐标为，故正确；
在中，由对称的性质得与点关于轴对称的点的坐标为，故错误；
在中，由对称的性质得与点关于坐标原点对称的点的坐标为，故错误；
在中，由对称的性质得与点关于坐标平面对称的点的坐标为，故正确．故选A．
3. 【答案】C
解：由于为空间的一个基底，
所以对于：，故A中向量共面；
对于：，故B中向量共面；
对于：，故C中向量不共面；
对于：，故D中向量共面．故本题选C．
4.【答案】
解：如图，连接，，分别是，的中点，
，，
，是线段的一个四等分点，
，
．故选B．
5.【答案】
解：连接，过点作于点，则垂直于平面．
设点的横坐标为，，则由正方体体对角线的性质可得点的纵坐标也为，
由正方体的棱长为，得，
因为，所以，所以，
又因为，
所以，
所以当时，最小，此时点的坐标为故选D．
6.【答案】
解：，可设．
易知，则．
又，，解得，
或．
设点的坐标为，则，
或解得或
故点的坐标为或．故选C．
7.【答案】
解：如下图所示：以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．设，则，
设，即，，
由得
即，所以，则，
设平面的一个法向量为，
，
所以
令，则，所以，
由平面可知，，即，所以．故选：．
8.【答案】
解：由题意可知，
，
因为，，，四点共面，所以存在实数，使，
所以，
所以，
所以
所以．故选：．
9.【答案】
解：对于：当时，，，
即，可得，为，不是钝角，故A正确；
对于：当，时，成立，
而不成立，故B错误；
对于：根据题意可得，
即有，则、、三点共线，故C正确；
对于：，
，所以或，故D错误；
故选BD．
10. 【答案】ACD
解：对：若，结合向量基本定理知：为共面向量，故四点、、、共面，A正确；
对：若，且，结合向量共面的性质知：四点、、、共面，B正确；
对：若，则，可知直线的位置关系：异面或相交，故四点、、、不一定共面，C错误；
对：若，可知直线的位置关系：平行或重合，故四点、、、共面，D正确；
故选：．
11. 【答案】CD
解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系如下图：因为正方体的棱长为，，分别为，的中点，
在直线上，且，的重心为，
所以，，，，，
，，，．
对于因为在平面内，所以，解得，故A正确；
对于因为，，
所以要，，三点共线，则，解得，故B错误；
对于因为平面，而，平面，所以且．
因为，，，
所以由得，解得，故C正确；
对于因为，，
所以点到直线的距离为，故D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题．
根据所给定义及正方体的性质一一计算可得．
【解答】
解：对于，设正方体的棱长为，在正方体中，
则，
因为，且，所以，
所以，
所以，所以A正确；
对于，，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可证，
再由右手系知，与同向，所以B正确；
对于，由，和构成右手系知，与方向相反，
又由模的定义知，，
所以，则，所以C错误；
对于，正方体棱长为，，
正方体表面积为，所以对．
故选：．
13. 【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量共面定理，属于基础题．
由空间向量共面定理结合题意列方程组求解即可．
【解答】
解：若 ， ， 共面，则存在实数 ，使 ，
即 ，
所以 ，解得 ， ， ．
所以 ．
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量求点线之间的距离，属于中档题．
【解答】
解：易知，，
到直线的距离．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二面角和空间向量的数量积运算，是中档题．
先算出，，由，展开求解．
【解答】
解： 、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，．
二面角的平面角等于，且，
，，
，．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积运算，空间向量长度与夹角的坐标表示，是较难的题目．
以为原点，、、所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，利用坐标表示，则点的轨迹是以为球心，为半径的球面一部分，计算的值，它表示点到点的距离的平方再减去，从而求得的值达到最小时的值，进而与夹角的余弦值．
【解答】
解：以为原点，、、所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
由棱长为，得，，，
设，
由，
得，，
所以点的轨迹是以为球心，以为半径的球面的一部分，
又，，
所以，
它表示点 到点的距离的平方再减去，
由图形知，当为与所在的球面交点时，
的值达到最小，
此时，，
所以，
因为，
所以有，
即与夹角的余弦值为，
故答案为：．
17.【答案】解：因为，
所以．
，
因为向量与垂直，
所以，
即，
即，解得，
所以实数的值为．
因为向量与向量共面，
所以，
因为，
，所以
所以实数的值为．
【解析】本题考查了空间向量垂直与共面的判断与求解，考查了空间向量模的计算，属于基础题．
由向量的模长公式求得，再由，，解方程即可求得结果；
根据题意可得，列出方程组求解即可．
18.【答案】解：，，
，，
；
，
，
，
即的长为．
【解析】本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，解题的关键是掌握住向量加法法则与用空间向量求线段长度的公式，理解并记忆公式是解题的知识保证．
由已知条件可得，，再由空间向量加法与减法的三角形法则，表示出来即可；
求的长，即求，利用求向量模的方法，求出，即可求得的长．
19.【答案】解：以为坐标原点，直线，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，，，．
证明：因为，
所以．
所以D.
因为为的中点，所以，
所以，易得，，
设平面的法向量为，
则即得取，
所以，
所以点到平面的距离．
【解析】本题考查线线垂直的坐标表示，空间向量求点到直线的距离，属于基础题．
20.【答案】解：如图，连接交于点，连接．
根据题意可知该四棱锥为正四棱锥，
平面，．
又四边形为正方形，．
又，平面，
．
假设存在满足条件的点分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，，．
，，，，
，，，
令，则，
由平面，知为平面的一个法向量．
又平面，，
，解得．
存在满足条件的点，点为上靠近点的三等分点，
．
【解析】本题考查线线垂直的证明，线面垂直的判断及应用，考查利用空间向量判断线面平行的应用．
连接交于点，连接，根据题意及线面垂直性质可得，四边形为正方形可知，由线面垂直判断定理可证明平面，即可证明；
假设存在满足条件的点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，设，结合题意可知、坐标，由平面，为平面的一个法向量，结合平面，可得，由空间向量的坐标运算，解得的值，可得存在满足条件的点，点为上靠近点的三等分点，且：：．
21.【答案】证明：由已知得，平面，又平面，
，
，，
，又，平面，平面，
平面；
解：由及平面，得，
以为原点，、所在直线分别为、轴，过与平面垂直的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，
又由已知得，
，得，
，，
设平面的法向量，
则，
，
令，则，，
又平面，平面，
，，
平面的一个法向量可以是，
，
易知二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为．
【解析】本题考查直线与平面垂直的证明，考查了利用空间向量求二面角的平面角，考查计算能力，属于中档题．
由已知可得平面，进一步得，再由，得，然后利用线面垂直的判定得答案；
利用线面垂直的性质可得，以为原点，、所在直线分别为、轴，过与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，设，得，，， 的坐标，然后求出平面与平面的一个法向量，再求出两个法向量所成角的余弦值，进一步得到二面角的余弦值．
22.【答案】解：证明：在三棱柱 中， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
所以， ，因此，四边形 为平行四边形．
因为 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以， 平面 ，
以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴，
平面 内过点 且垂直于 的直线为 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
因 ， ，
则 ， ， ， ，
， ， ， ，
，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，得 ，
而 ，设直线 与平面 所成角为 ，
于是得 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【解析】本题考查直线与平面所成角的向量求法，面面平行的性质，线面平行的性质属于中等题．
利用线面平行的性质推导出 ，利用面面平行的性质可推导出 ，即可证得结论成立；
证明出 平面 ，然后以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴，平面 内过点 且垂直于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线 与平面 所成角的正弦值．黄山市黄山区2023-2024学年高二上学期12月月考
数学
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知空间向量，，，下列命题中正确的是( )
A. 若向量，共线，则向量，所在的直线平行
B. 若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面
C. 若存在不全为的实数，，使得，则，，共面
D. 对于空间的任意一个向量，总存在实数，，使得
2. 关于空间直角坐标系中的一点有下列说法：
的中点坐标为；
点关于轴对称的点的坐标为；
点关于坐标原点对称的点的坐标为；
点关于平面对称的点的坐标为．
其中正确说法的个数是( )
A. B. C. D.
3. 如图，，分别是四面体的棱、的中点，是线段的
一个四等分点靠近点，设，，，则( )
A. B. C. D.
4.若构成空间向量的一组基底，则下列向量不共面的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
5. 如图，以棱长为的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，
建立空间直角坐标系，点在体对角线上运动，点为棱的中点，则当最小时，点的坐标为( )
A. B. C. D.
6. 已知空间三点，，若，且，则点的坐标为( )
A. B. C. 或 D. 或
7. 如图，在长方体中，，
当时，有平面，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段
上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )
A. 已知向量，，若，且则，为钝角
B. 若，则
C. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线
D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
10. 以下能判定空间四点、、、共面的条件是( )
A. B. C. D.
11. 已知正方体的棱长为，，分别为，的
中点，在直线上，且，的重心为，则( )
A. 若在平面内，则 B. 若，，三点共线，则
C. 若平面，则 D. 点到直线的距离为
12. 在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
，，且，和构成右手系即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示；
的模，表示向量，的夹角．
在正方体中，有以下四个结论，正确的有( )
A. B. 与共线
C. D. 与正方体表面积的数值相等
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知空间向量，，，若，，共面，则 ．
14. 已知直线的方向向量为，若点为直线外一点，为直线上一点，则到直线的距离为 ．
15. 如图，二面角等于，、是棱上两点，、
分别在半平面、内，，，且，则
的长等于 ．
16. 已知点为棱长等于的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角的余弦值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分 已知向量．
当时，若向量与垂直，求实数和的值
若向量与向量共面，求实数的值．
18. 本小题分 如图，三棱柱中，，分别是，上的点，且，设，，．
试用表示向量；
若，，，求的长．
19. 本小题分 如图，在长方体中，，，点在棱上移动，（坐标系已建）．
证明：；
当为的中点时，求点到平面的距离．
20. 本小题分 如图所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，（坐标系已建）．
求证：．
若平面，则侧棱上是否存在一点，使得平面若存在，求若不存在，请说明理由．
21. 本小题分 在斜三棱柱中，，，在底面上的射影恰为的中点，又已知，（坐标系已建）．
证明：平面．
求平面和平面的夹角的余弦值
22. 本小题分 如图，三棱柱中，面面，，，过的平面交线段于点不与端点重合，交线段于点，（坐标系已建）．
求证：四边形为平行四边形；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
