4-1 数列的概念（第二课时） 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
4.1 数列的概念
（第二课时）
2.数列的分类：
(1)按项数多少分类：
有穷数列 ，无穷数列。
(2)按增减性分类：
递增数列、递减数列、常数列。
温故知新
1.数列的有关概念
3.数列与函数
数列是一种特殊的函数，数列的项是序号的函数。
4.数列通项公式
提升训练：
例3.如果数列{an}的通项公式为an=n2+2n,那么120是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
解：令n2+2n=120 ，
解得 n=-12（舍）或n=10，
所以 120是数列的项，是第10项。
新知探究
例4.下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式。
解：在图中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27,
即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.
因此，这个数列的一个通项公式是 .
换个角度观察图中的4个图形，可以发现，
①a1=1,
②每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形，
③从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍。
这样，例4中的数列的前4项满足 a1=1, a2 =3 a1, a3 =3a2, a4 =3a3,由此猜测这个数列满足公式
递推公式：
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
已知数列的第1项(或前几项)以及递推公式，就能求出数列的每一项。
递推公式：
例5：已知数列的第1项是1，以后的各项由公式 给出,写出这个数列的前5项。
通项公式和的递推公式之间的差别与联系：
练习1 根据递推公式，分别写出它的前 5 项，并归纳出通项公式：
(2)a1＝1，an＋1＝
2an
an＋2
(n∈N*)．
解：(1)a1＝0，a2＝a1＋1＝1，a3＝a2＋3＝4，
a4＝a3＋5＝9，a5＝a4＋7＝16.
由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，a5＝42，可归纳出an＝(n－1)2.
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；
在数列{an}中，
（1）求数列{an}的前5项
（2）求a2021
解：(1) ，a2=-1，a3=2， ，a5=-1
（2）周期为3，2021=3×673+2，所以a2021=a3×673+2=a2=-1。
练习2
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn ，即
Sn =a1+a2+...+an.
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
练习：
(1)数列{an}的通项公式为an=n ，则S3= ，S5= ，S1= 。
(2)数列{an}的前n项和为Sn，S7=30，S8=40，则a8= 。
思考：an与Sn的关系？
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数列的前n公式：
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我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn ，即
Sn =a1+a2+...+an.
显然S1=a1 ，而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2) ，于是我们有
an与Sn的关系
例5.已知数列{an}的前几项和公式为Sn =n2+n,
（1）求S3，S5，Sn-1;（2）求出{an}的通项公式.
解：(1)S3=32+3=12,S5=52+5=30, Sn-1=(n-1)2+(n-1)=n2-n.
(2)当n=1时，a1=S1=2，
当n>1时，an=Sn-Sn-1= n2+n -[(n-1) +(n-1)]=2n(n≥2),①
将n=1代入①式得，2×1=2=a1
所以当n=1时，①式依然成立.
故{an}的通项公式是an=2n.
1.已知数列{an}的前几项和公式为Sn =-2n2,求{an}的通项公式。
2.已知数列{an}的前几项和公式为Sn =n2+4 ，求{an}的通项公式。
解：(1)当n=1时，a1=S1=-2，
当n>1时，an=Sn-Sn-1= -2n2 -[-2(n-1) ]=2-4n(n≥2),①
将n=1代入①式得，2-4=-2=a1
所以当n=1时，①式依然成立.
故{an}的通项公式是an=2-4n.
巩固练习
解：（2）当n=1时，a1=S1=1+5=6;
当n≥2时， an=Sn-Sn-1=(n2+5)-[(n-1)2+5]=2n-1.①
将n=1代入①式得，2-1=1≠6=a1
所以当n=1时，①式不成立.
1.已知数列{an}的前几项和公式为Sn =-2n2,求{an}的通项公式
2.已知数列{an}的前几项和公式为Sn =n2+5 ，求{an}的通项公式
巩固练习
1.递推公式：（1）初始值；2）递推关系式
已知数列的递推公式，求前几项并猜出通项公式。
课堂小结
课外探究