4-2-1 等差数列的概念（第一课时） 课件（共22张PPT）

4.2.1等差数列的概念
(第一课时)
1.在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ ）, … …
你能预测出下一次的大致时间吗？
2062
主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？
天文学家陈丹说: 2062年左右。
相差76
新课导入
2.通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。
8844.43米
高度(km)
温度(℃)
1
2
3
28
21.5
15
4
5
8.5
2
…
…
9
-24
(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.
减少6.5
(1) 1682，1758，1834，1910，1986，（2062）, … …
(2) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （-20）
(3) 9，18，27，36，45，54，63，72，81
思考：我们常通过运算来发现规律,你能通过运算发现数列(1)—(3) 的取值规律吗？
对于(3)，我们发现
18=9+9，27=18+9....81=72+9，
换一种写法，就是
18-9=9，27-18=9....81-72=9.
如果用{an}表示数列(3)，
那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9.
这表明，数列(3)有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。数列(1),(2)也有这样的取值规律。
新知探究
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
【注意】
①判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断
②公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，千万别把被减数与减数弄颠倒了！！
③公差可以是正数，负数，也可以为0.
1. 等差数列的定义
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
符号表示：
练习1 判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差
（1） 1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10
（2） 3，3，3，3，3，3
（3）95，82，69，56，43，30
（4） 1，1.1，1.11，1.111，1.1111
（5） 1，－2，3，－4，5，－6
（6）
a1=3，公差 d=0 常数列
×
a1=95 公差 d=－13
×
×
a1=1 公差 d=
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
（1）2 ，( ) ， 4 （2）-12，( ) ，0
3
-6
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
( 3 ) a , ( ) , b
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.
2. 等差中项
你会求它们的通项公式吗？
(1) 1682，1758，1834，1910，1986，2062, … …
(2) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, -20
若已知等差数列{an}的首项????????和公差????，你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？
?
a2=a1+d
a3=a2+d=（a1+d ）+d=a1+2d
a4=a3+d=（a1+2d ）+d=a1+3d
…
an=an-1+d=a1+（n-1）d （n ≥ 2）
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+（n-1）d
方法1： 由等差数列的定义可得
不完全归纳法
an+1-an=d
探究 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
∴a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3=d
…
an-an-1=d （n ≥ 2）
累加以上n-1个式子得
an-a1=（n-1）d
方法2：∵由等差数列的定义可得
累加法
又∵当n=1时，上式也成立，
∴an=a1+（n-1）d
an+1-an=d
∴ an=a1+（n-1）d
若已知等差数列{an}的首项????????和公差????，你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？
?
首项为a1，公差为d 的等差数列{an}的通项公式为
a1 、an、n、d知三求一
3. 等差数列的通项公式
练习2 求下列等差数列的通项公式。
1682，1758，1834，1910，1986，2062, … …
(2) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, -20
(3) 9，18，27，36，45，54，63，72，81
（1）an=1682+(n－1)×76=76n+1606
（2）an=32+(n－1)×(－ 6.5)= － 6.5 n+38.5
（3） an=9+（n－1）×9=9n
①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n，an)组成的集合，
这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.
（k＋b）
k
an＝a1＋（n－1）d=dn＋（a1－d）
②任给一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数），则f(1)＝k＋b ，
f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，
其首项为________，公差为____.
我们知道数列是自变量为n的函数，你认为等差数列与我们熟悉的哪一类函数有关？
4. 等差数列与一次函数的关系
直线上均匀排开的一群孤立的点
③ d＞0,等差数列单调增；d＜0,等差数列单调减；
d＝0,等差数列为常函数.
例1（1）已知等差数列{an}的通项公式为an =5－2n，
求{an}公差和首项；
（2）求等差数列8，5，2....的第20项
解:
典例分析
例2 －401是不是等差数列 －5，－9，－13，…，的项？如果是，是第几项？
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解.
解：由a1=－5，d=－9－（－5）=－4，
所以数列的通项公式为an=－5－4（n－1）=－4n－1.
令－4n－1=－401，解得n=100.
所以，－401是这个数列的项，是第100项。
典例分析
练习3 在下列等差数列{an}中，
（1）已知a1=2，d=3，n=10，求a10。
解：a10=a1+9d=2+9×3=29.
（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n。
解：∵21=3+（n-1）×2，∴n=10.
（3）已知a1=12，a6=27，求d。
解： ∵a6=a1+5d，即27=12+5d，
∴ d=3.
（4）已知d=-2，a7=8，求a1。
解：∵a7=a1+6d 8=a1+6×(-2)，
∴a1=20.
（5）已知a6=13 ， a12=31 ，求a18.
解：由题意可知
解得：
(5) 已知a6=13, a12=31,求a18.
归纳：在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n，知三求一.
探究
am=a1 +(m-1)d
an-am =(n-m) d
我们知道等差数列的通项公式an=a1 +(n-1)d，那么
⑵an-am =?
⑴am=?
由an =am+(n-m) d变形可得
这个式子有什么用？
再探（5）已知a6=2 ， a12=2 ，求a18.
已知等差数列的任意两项可求公差
例3.已知数列的通项公式为an＝pn＋q 其中p，q是常数，且p≠0，那么这个数列是否是等差数列？
它是一个与n无关的数，所以{an}是等差数列。
追问1：这个数列的首项与公差是多少？
追问2：如果p=0情况又是怎样的呢？
解:
当n ≥ 2时，
【归纳总结】如何判断数列是否为等差数列？
典例分析
练习4:
下列数列是否为等差数列？
（1）????????=3?????1 （2）????????=????2+????
?
知识层面
an=a1+(n-1)d
直线上均匀排开的一群孤立的点
1.定义:
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数
公差：d=an-an-1 (n≥2，n∈N*)
2.通项公式:
推导公式:
an=am+(n－m)d
4.图象:
3.等差中项：a，A，b成等差数列 2A=a+b
课堂小结
1.首项是a1，公差是d的等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，在a1，d，n，an这四个量中可知三求一，体现方程思想；
2.等差数列的通项公式的推导方法——归纳法（由特殊到一般）和累加法，也是我们今后已知数列的递推式求通项公式的常用方法。
思想方法层面
文字语言、符号语言
课外探究
探究