4-2-1 等差数列的概念（第二课时） 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
4.2.1等差数列的概念
(第二课时)
1.等差数列的定义：
4.等差数列的函数特征：
3.等差数列的通项公式：
2.等差中项的定义：
函数图象上所有的点在同一条直线上：
d＞0,等差数列单调增；d＜0,等差数列单调减；
d＝0,等差数列为常函数.
如果在 与 中间插入一个数A，使 ，A， 成等差数列，那么A叫做 与 的等差中项.
an=am+(n－m)d
累加法
an=a1+(n－1)d=dn+(a1-d)，
f(x)=dx+(a1-d)
复习回顾
5.等差数列的判定方法：
定义法
知识加深
1.在等差数列{an}中
(1) 若a59=70，a80=112，求a101；
(2) 若ap=q，aq=p (p≠q)，求ap+q；

(3) 若a12=20，a42=140， 求a10， a27
例1.
解:
知识应用
典例分析
例2.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn}的通项公式.
(2) b29是不是数列{an}的项？若是,它是{an}的第几项？若不是，说明理由.
分析：a1，a2，a3，a4，a5，...
a1，？ ， ？ ，？ ， a2，？ ，？ ，？ ，a3，...
b1，b2 ， b3 ，b4 ， b5，b6 , b7 , b8 , b9 ,...
典例分析
例2.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn}的通项公式.
(2) b29是不是数列{an}的项？若是,它是{an}的第几项？若不是，说明理由.
解：(1)设数列{bn}的公差为d′.
由题意可知，b1=a1,b5=a2,于是b5-b1=a2-a1=8.
∵b5-b1=4d′,所以4d′ =8,所以d′ =2.
∴bn＝2+(n-1)×2=2n
∴数列{bn}的通项公式是bn＝2n.
典例分析
分析：(2)①先求b29=？
②再求an
③令an＝ ，解出n
解法1：(2)由(1)可得b29=2×29=58
因为a1=2，d=8 所以an=8n-6
令8n-6=58 解得n=8
所以b29是数列{an}项，是第8项。
例2.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn}的通项公式.
(2) b29是不是数列{an}的项？若是,它是{an}的第几项？若不是，说明理由.
典例分析
a1，？ ， ？ ，？ ， a2，？ ，？ ，？ ，a3，...
b1，b2 ， b3 ，b4 ， b5，b6 , b7 , b8 , b9 ,...
a1，a2，a3，a4，a5，...，an ,...
b1，b5，b9 , ...， ....
b13 ,
b17 ,
b4n-3 ,
解法2：(2)数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1,5,9,13....项，
这些下标构成一个首项为1,公差为4的等差数列{cn}
则cn =4n-3.
令4n-3=29,解得n=8.
所以，b29是数列{an}的第8项.
例2.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn}的通项公式.
(2) b29是不是数列{an}的项？若是,它是{an}的第几项？若不是，说明理由.
典例分析
已知等差数列{an}的通项公式为an=4n－3，
则
(1)a1+a9= = a2+a8= =a3+a7= = 2a5= .
(2)a3+a15= = a5+a13= =a8+a10= = 2a9= .
34
34
34
17
34
66
66
66
33
66
猜想：等差数列{an}，p,q,s,t,k∈N*,且p+q=s+t=2k,
则ap + aq = as + at= 2ak
计算
分析：只要根据等差数列的定义写出ap,aq,as,at,再利用已知条件即可得证。
证明：设数列{an}的公差为d,
则ap =a1+(p-1)d, aq =a1+(q-1)d,
as =a1+(s-1)d, at =a1+(t-1)d.
所以ap + aq =2a1+(p+q-2)d,
as + at =2a1+(s+t-2)d.
因为p+q=s+t,所以ap + aq = as + at.
例3.已知数列{an}是等差数列，p,q,s,t,∈N*,且p+q=s+t,则ap + aq = as + at
典例分析
例3是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形．你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？
因为p+q=s+t, 所以ap + aq = as + at。
直线斜率相等
说明：
等差数列的性质：
注意：
对于此性质，必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立！
在等差数列{an}中
(1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
巩固练习
(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10。
分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10，
∴ a6+a7+a8= （a3+a11）=15。
分析： a4+a5+a6+a7=56 ，a4+a7=28 ，又 a4a7=187
　　 解得
a4= 17
a7= 11
a4= 11
a7= 17
或
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31。
典例分析
典例分析
等差数列的设项方法和技巧
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式.
(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、…时，可同理设出.
(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出.
规律总结：
d
cd
2d
等差数列
等差数列的性质推广
补充作业
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5，-3a +2，则 a 等于（ )
A . -1 B . 1 C .-2 D. 2
2.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12 ，求此三数.
3. 在等差数列{an}中, a1=83，a4=98，则这个数列有多少项在300到500之间？
4.已知数列{an} 的通项公式为 ，
问数列从第几项开始小于0？
请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1.本节课学习的等差数列的性质有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
课堂小结
数学与生活实际有着密切联系，数学概念来源于生活实际，又应用于生活实际。