4-2-2等差数列的前n项和公式（第二课时） 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
4.2.2 等差数列的前n项和公式
（第二课时）
1.等差数列前n项和公式推导方法.
2.掌握等差数列前n项和公式的两种形式.
倒序相加法
Sn=a1＋ a2＋ a3＋ …… ＋ an
Sn=an＋an－1＋an－2＋…… ＋a1
2Sn= (a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋…… ＋(an ＋a1)
= n (a1＋an)
an=a1＋(n－1)d
复习回顾
解：
例1.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位. 问第1排应安排多少个座位？
学习新知
典型例题
当n≥2时，
当n=1时，
当n=1时也满足①式.
①
解:
典型例题
变式训练
当n >1时,
当n=1时,
当n=1时不满足①式.
分类讨论思想
①
● 如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qm+r,其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？
（1）若r=0，则这个数列一定是等差数列.
结论：数列是等差数列等价于
常数项为0的关于n的二次型函数
深化探究
（过原点）
（2）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.
典型例题
解:
函数思想
Sn关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.
典型例题
另解：
从等差数列的通项公式出发来分析
（1）利用an：
当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值.
可由an≥0，且an＋1 ≤0，求得n的值；
当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值.
可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值.
等差数列前项和的最值问题有两种常用的方法:
（2）利用Sn：
由 利用二次函数配方法求得最值时n的值.
归纳提升
解　法一　设公差为d.
练习. 等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？
故当n＝7时，Sn最大.
巩固训练
法二　易知Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数，
故当n＝7时，Sn最大.
法四　设公差为d.由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，
即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，
又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，
所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，Sn最大.
解　∵等差数列{an}中，公差d＜0，a2＋a6＝－8，
∴a2＋a6＝a3＋a5＝－8，又∵a3a5＝7，
∴a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，且a3＞a5，
解方程x2＋8x＋7＝0，得a3＝－1，a5＝－7，
例4. 等差数列{an}中，公差d＜0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.
(1)求{an}的通项公式；
∴an＝5＋(n－1)×(－3)＝－3n＋8.
典型例题
(2)记Tn为数列{bn}前n项的和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值.
∵bn＝|an|，∴b1＝5，b2＝2，b3＝|－1|＝1，b4＝|－4|＝4，
当n≥3时，bn＝|an|＝3n－8.
当n＜3时，T1＝5，T2＝7；
∴n的最小值为34.
证明：
典型例题
再探.
再探.
蓦然回首
这节课我的收获是什么？
课堂小结
反之如何证明？
当m=n时，公式变化？
请证明公式！
课后探究
(3)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和 为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为(　　) A． 28 B．29 C．30 D．31
相应练习