4-3-1等比数列的概念（第一课时） 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
（第一课时）
4.3 等比数列的概念
1.等差数列的定义：
3.等差数列的通项公式：
2.等差中项的定义：
an=am+(n－m)d
如果在 a与b中间插入一个数A，使a ，A，b成等差数列，那么A叫做a与b 的等差中项,
不完全归纳法、累加法
复习回顾
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列.
符号表示： an - an-1=d(n≥2,n∈N*)或 an+1 - an=d(n∈N*)
4.等差数列的函数特征：
图象是均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上的点：
d＞0,等差数列单调增；d＜0,等差数列单调减；
d＝0,等差数列为常函数.
an=a1+(n－1)d=dn+(a1-d)，
5.等差数列的判定方法：
①定义法
②中项法
类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
1.《庄子·天下篇》中写道：
“一尺之棰，日取之半，万世不竭”
情景导学
...
一尺之棰 日取其半
第1天后
第2天后
第3天后
第4天后
如果把一尺之锤的长度看成单位“1”，那么从第一天开始，各天得到的“锤”的长度依次是多少？
…
2. 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
3.某人存入银行a元,存期为五年,年利率为r,那么按照复利,他五年内每年末得到的本利和分别是
(复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息)
a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5
新知探究
观察前面得到的数列，看看他们有什么共同的特点？
（1）
（2）9，92，93，...，910；
（3）100，1002，1003，...，10010;
（4）5，52，...，510
（5）a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5
从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数.
共同特点:
1. 等比数列的定义
类比等差数列的概念，从上述几个数你能抽象出等比数列的概念吗？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列 ，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q ≠ 0 ) 。
咬文嚼字
符号表示：
追问1.等比数列的定义中，“q≠0”的原因是什么？
结合等差数列的定义式，将等比数列的文字定义转化为数学符号语言。
追问2.如果一个数列是等比数列，它至少有几项？
(1) 1，3，9，27，81，…
(3) 5，5，5，5，5，5，…
(4) 1，-1，1，-1，1，…
是,公比 q=3
是,公比 q= x
是,公 比q= -1
(7)
(2)
是,公比 q=
练习.观察并判断下列数列是否是等比数列,若是,指出公比.
是,公比 q=1
(5) 1，0，1，0，1，…
(6) 0，0，0，0，0，…
不是等比数列
不是等比数列
巩固练习
1.公比q是每一项（第2项起）与它的前一项的比,防止把 被除数与除数弄颠倒。
2.公比q可以是正数，负数，可以是1，但不可以为0。当q>0，各项与首项同号；当q<0，各项符号正负相间。
3.等比数列中各项均不能为0,即an ≠ 0。
4.非零的常数列既是等差数列又是等比数列。
2. 等比中项
请同学们类比等差中项的推导过程，探究等比中项及其性质.
由三个数a，G，b组成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
此时，
(an)2=an-1.an+1
在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等比中项.
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等比数列：
（1） 1， ， 9 （2）-1， ， -4
（3） -12， ，-3 （4）-1， ， 16
练一练
同号两数则有两个等比中项，它们互为相反数；
异号两数则没有等比中项.
(n-1)个
式子
… …
方法二:(累加法)
… …
方法一:(不完全归纳法)
等差数列的通项公式的具体推导过程和方法。
请同学们类比等差数列通项公式的推导方法，推导出等比数列的通项公式。
3. 等比通项公式
… …
方法一:不完全归纳法
1
1
-
=
n
n
q
a
a
(n-1)个
式子
方法二:累乘法
验证 n=1
3. 等比通项公式
当q=1时，这是一个常数列， an ≠ 0。
等比数列{an} ，首项为a1，公比为q ， 它的通项公式为
注：方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用。
小试牛刀
在等差数列 {an}中
试问：在等比数列{an}中，如果知道an和公比q，能否求am？如果能，请写出表达式。
通项变形
4. 等比数列与指数函数的关系
探究：在等差数列中，公差d ≠ 0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比q满足什么条件的数列可以与相应的指数函数建立类似的关系？
例1　在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
典例分析
例1　在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
典例分析
　 等比数列通项公式的求法
a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
例2 数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列.
典例分析
解：
练习 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数．
分析：三个数成等比数列，可怎么设为？
例3 已知数列{an} , {bn} 是项数相同的等比数列，那么数列 {an ●bn}是等比数列吗？
典例分析
练习 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
证明：数列{an＋1}是等比数列．
1)等比数列的定义是什么？怎样判断一个数列是否是等比数列？
2)等比数列得通项公式是？其中每个字母所代表的含义是什么？
3)等比数列应注意哪些问题？
【小结】说说你的收获。
课堂小结
类比等差数列的性质，探究等比数列的性质。
课后探究