4-3-1等比数列的概念课件（第二课时） 课件（共22张PPT）
文档属性
| 名称 | 4-3-1等比数列的概念课件（第二课时） 课件（共22张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 927.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-20 07:58:37 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
（第二课时）
4.3 等比数列的概念
1.等比数列的定义
2. 通项公式
4.等比数列的判断
3. 等比中项
(an)2=an-1.an+1
a,G,b成等比数列
复习回顾
不完全归纳法、累乘法
1.若{an} 是公比为q的等比数列，c为常数，则下列数列是等比数列吗？若是，公比是什么？
2.若{an}是各项为正数的等比数列，则下面的数列是等比数列吗？
√
√
√
×
√
练习
3.已知数列{an}是等比数列.(教材P31练习5）
(1) a3, a5, a7是否成等比数列 为什么 a1, a5, a9呢
(2) 当n>1时, an-1, an, an+1是否成等比数列 为什么
当n>k>0时, an-k, an, an+k是等比数列吗
等差数列与等比数列的类比
等差数列 等比数列
定义
首项、公差（公比）取值有无限制
通项 公式
主要 性质
(2)若m+n=k+l (m,n,k,l∈N*)
则 am· an=ak· al .
(2)若m+n=k+l (m,n,k,l∈N*)
则 am+an=ak+al .
类比探究
猜想等比数列相应的性质？
例1.等比数列{an}中, 已知m+n=k+l(m, n, k, l∈N*), 则aman=asat .
证明：设等比数列{an}的公比为q，则
am=a1qm-1，an=a1qn-1,
ak=a1qk-1，al=a1ql-1,
所以 aman=(a1qm-1) (a1qn-1) = a12qm+n-2,
akal=(a1qk-1) (a1ql-1) = a12qk+l-2,
因为m+n=k+l(m, n, k, l∈N*), 所以aman=akal .
特别地，若m+n=2k (m, n, k∈N*), 则aman=ak2 .
在有穷数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,
典例分析
1.等比数列 { a n } 中， a 4 · a 7 = －512，a 3 + a 8 = 124,
公比 q 为整数，求 a 10.
法一：直接列方程组求 a 1、q。
法二：由 a 4 · a 7 = a 3 · a 8 = －512
∵ 公比 q 为整数，
巩固练习
2.已知等比数列{an} 的各项均为正数，且a5a6+a4a7=6 ，则log3a1+ log3a2 +…+ log3a10 =_______.
解:∵等比数列{an}的各项均为正数, 且a5a6+a4a7=6，
∴ a5a6=a4a7=3，
则log3a1+ log3a2 +…+ log3a10 = log3(a1 a2 a3 … a10)
=log3 (a5a6)5 =log335=5 .
分析：需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明。
典例分析
实际应用
例3. 用 10 000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息(精确到1元)？
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10-5）？
分析: 复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金,再计算下一期的利息. 所以若原始本金为a元，每期的利率为r ，则从第一期开始，各期的本利和a , a(1+r), a(1+r)2, …构成等比数列.
认真读题、审题，说出大致解题思路！
例3. 用 10 000元购买某个理财产品一年.
(2)若以季度复利计息, 存4个季度, 则当每季度利率为多少时, 按季结算的利息不少于按月结算的利息(精确到10-5)？
解: (2)设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列 {bn}，则{bn}也是一个等比数列，首项b1=104(1+r)，公比为1+r，于是
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为
b4=104(1+r)4.
所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
[104(1+r)4-104]元.
解不等式104(1+r)4-104≥491，得r ≥1.206%.
一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解.
归纳总结
例4. 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%. 从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品. 1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%, 产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
产量
不合格率
等比数列
等差数列
分析：
不合格品
产量×不合格率
实际应用
例4. 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%. 从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品. 1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
解: 设从今年1月起 , 各月的产量及不合格率分别构成数列{an}, {bn}.
由题意，知an=1050×1.05n-1,
bn=1-[90%+0.4%(n-1)]=0.104-0.004n, 其中n=1, 2,… , 24,
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
anbn=1050×1.05n-1× (0.104-0.004n)
=1.05n× (104-4n).
anbn=1.05n× (104-4n)
由计算工具计算（精确到0.1），并列表
n 1 2 3 4 5 6 7
anbn 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9
n 8 9 10 11 12 13 14
anbn 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0
观察发现，数列{anbn}先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，{anbn}递减，且a13b13<100即可.
得 n>5.
所以，当n≥6时，数列{anbn}递减.
又a13b13≈98<100.
所以, 当13≤ n ≤24时，anbn ≤ a13b13<100.
所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.
通常利用相邻项的大小比较得出数列的单调性．而数列两项大小比较可用作差法也可用作商法．
方法总结
练习1.从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应操作几次后才能使酒精的浓度低于10%
巩固练习
2.已知数列{an}的通项公式为 ，求使an取得最大值时n的值.
作商法
2.已知数列{an}的通项公式为 ，求使an取得最大值时n的值.
作差法
课堂小结
请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的哪些数学知识？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
（第二课时）
4.3 等比数列的概念
1.等比数列的定义
2. 通项公式
4.等比数列的判断
3. 等比中项
(an)2=an-1.an+1
a,G,b成等比数列
复习回顾
不完全归纳法、累乘法
1.若{an} 是公比为q的等比数列，c为常数，则下列数列是等比数列吗？若是，公比是什么？
2.若{an}是各项为正数的等比数列，则下面的数列是等比数列吗？
√
√
√
×
√
练习
3.已知数列{an}是等比数列.(教材P31练习5）
(1) a3, a5, a7是否成等比数列 为什么 a1, a5, a9呢
(2) 当n>1时, an-1, an, an+1是否成等比数列 为什么
当n>k>0时, an-k, an, an+k是等比数列吗
等差数列与等比数列的类比
等差数列 等比数列
定义
首项、公差（公比）取值有无限制
通项 公式
主要 性质
(2)若m+n=k+l (m,n,k,l∈N*)
则 am· an=ak· al .
(2)若m+n=k+l (m,n,k,l∈N*)
则 am+an=ak+al .
类比探究
猜想等比数列相应的性质？
例1.等比数列{an}中, 已知m+n=k+l(m, n, k, l∈N*), 则aman=asat .
证明：设等比数列{an}的公比为q，则
am=a1qm-1，an=a1qn-1,
ak=a1qk-1，al=a1ql-1,
所以 aman=(a1qm-1) (a1qn-1) = a12qm+n-2,
akal=(a1qk-1) (a1ql-1) = a12qk+l-2,
因为m+n=k+l(m, n, k, l∈N*), 所以aman=akal .
特别地，若m+n=2k (m, n, k∈N*), 则aman=ak2 .
在有穷数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,
典例分析
1.等比数列 { a n } 中， a 4 · a 7 = －512，a 3 + a 8 = 124,
公比 q 为整数，求 a 10.
法一：直接列方程组求 a 1、q。
法二：由 a 4 · a 7 = a 3 · a 8 = －512
∵ 公比 q 为整数，
巩固练习
2.已知等比数列{an} 的各项均为正数，且a5a6+a4a7=6 ，则log3a1+ log3a2 +…+ log3a10 =_______.
解:∵等比数列{an}的各项均为正数, 且a5a6+a4a7=6，
∴ a5a6=a4a7=3，
则log3a1+ log3a2 +…+ log3a10 = log3(a1 a2 a3 … a10)
=log3 (a5a6)5 =log335=5 .
分析：需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明。
典例分析
实际应用
例3. 用 10 000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息(精确到1元)？
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10-5）？
分析: 复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金,再计算下一期的利息. 所以若原始本金为a元，每期的利率为r ，则从第一期开始，各期的本利和a , a(1+r), a(1+r)2, …构成等比数列.
认真读题、审题，说出大致解题思路！
例3. 用 10 000元购买某个理财产品一年.
(2)若以季度复利计息, 存4个季度, 则当每季度利率为多少时, 按季结算的利息不少于按月结算的利息(精确到10-5)？
解: (2)设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列 {bn}，则{bn}也是一个等比数列，首项b1=104(1+r)，公比为1+r，于是
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为
b4=104(1+r)4.
所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
[104(1+r)4-104]元.
解不等式104(1+r)4-104≥491，得r ≥1.206%.
一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解.
归纳总结
例4. 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%. 从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品. 1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%, 产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
产量
不合格率
等比数列
等差数列
分析：
不合格品
产量×不合格率
实际应用
例4. 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%. 从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品. 1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
解: 设从今年1月起 , 各月的产量及不合格率分别构成数列{an}, {bn}.
由题意，知an=1050×1.05n-1,
bn=1-[90%+0.4%(n-1)]=0.104-0.004n, 其中n=1, 2,… , 24,
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
anbn=1050×1.05n-1× (0.104-0.004n)
=1.05n× (104-4n).
anbn=1.05n× (104-4n)
由计算工具计算（精确到0.1），并列表
n 1 2 3 4 5 6 7
anbn 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9
n 8 9 10 11 12 13 14
anbn 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0
观察发现，数列{anbn}先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，{anbn}递减，且a13b13<100即可.
得 n>5.
所以，当n≥6时，数列{anbn}递减.
又a13b13≈98<100.
所以, 当13≤ n ≤24时，anbn ≤ a13b13<100.
所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.
通常利用相邻项的大小比较得出数列的单调性．而数列两项大小比较可用作差法也可用作商法．
方法总结
练习1.从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应操作几次后才能使酒精的浓度低于10%
巩固练习
2.已知数列{an}的通项公式为 ，求使an取得最大值时n的值.
作商法
2.已知数列{an}的通项公式为 ，求使an取得最大值时n的值.
作差法
课堂小结
请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的哪些数学知识？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？