人教A版（2019）选择性必修第二册 第四章 数列数列求和的常用方法 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
数列求和的常用方法
数列求和是历来是数列中重点考查的知识之一，通常考查等差、等比数列的前n项和公式以及其他求和公式，可能与通项公式相结合，也有可能与函数、方程、不等式等相结合，综合命题.
复习回顾
1.数列前n项和Sn的定义
Sn=a1+a2+a3+…+an
2.等差数列、等比数列的前n项和的公式
3.在等差数列、等比数列的前n项和的公式推导中分别运用了什么求和方法
①(等差数列)倒序相加法 ；②(等比数列)错位相减法
等差数列
等比数列
方法探究
一、分组求和法
例1.求数列 的前n项和.
分析：
由这个数列的前五项可看出该数列是由一个首项为1、公差为2的等差数列与一个首项为 、公比为 的等比数列的和数列。所以它的前n项和可看作一个等差数列的前 n项和与一个等比数列的前n项和的和。
例1.求数列 的前n项和
解：
同类性质的数列归于一组，目的是为便于运用常见数列的求和公式.
例2 .已知数列{an}满足： a1＝1 ， a2＝4 ， an＝ an-2 +2 ，
(1)求通项公式an；(2)求数列{an}前n项之和Sn.
解：
因为 an＝ an-2 +2 ，所以 an﹣an-2 =2 ，
本题的另一技巧求解方法是先从偶数入手，求得Sn，而当n为奇数时，则n－1为偶数，利用Sn＝Sn－1＋an，求解整体意识得到充分发挥．
说明：
(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．
通常需要对项数n分奇数和偶数两种情况进行讨论，所以结果一般用分段函数来表示．
归纳提升
练习.已知{an}是递增的等差数列，a1＝2，a22＝a4＋8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解: (1)设等差数列的公差为d，d＞0.由题意得，
(2＋d)2＝2＋3d＋8，d2＋d－0＝(d＋3)(d－2)＝0，得d＝2.
故an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)·2＝2n，
得an＝2n.
(2)bn＝an＋2an＝2n＋22n.
Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n＋22n)
＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n)
巩固练习
二、并项求和法
例3.在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36.
(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(－1)n·an，求数列{bn}的前n项和Sn.
(2)由(1)，得bn＝(－1)n·an＝(－1)n·2n，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n，
并项局部重组转化为常见数列求和
练习：12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？
(1)一般地，当数列中的各项正负交替，且各项绝对值成等差数列时，可采用并项转化法求和．
(2)在利用并项转化法求和时，一般需要对项数n分奇数和偶数两种情况进行讨论，所以结果一般用分段函数来表示．
归纳提升
巩固练习
1．已知数列{an}满足anan＋1an＋2an＋3＝24，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，
则a1＋a2＋a3＋…＋a2 013＝________.
解析：由anan＋1an＋2an＋3＝24可知，
an＋1an＋2an＋3an＋4＝24，得an＋4＝an，
所以数列{an}是周期为4的数列，
再令n＝1，求得a4＝4，
每四个一组可得
(a1＋a2＋a3＋a4)＋…＋(a2 009＋a2 010＋a2 011＋a2 012)＋a2 013
＝10×503＋1＝5 031.
提升练习
说明：若数列有周期性，先求出一个周期内的和，再转化其它数列求和。
错位相减法在等比数列求前 n项和时用过；它主要用于由一个等差数列与一个等比数列的积数列。
求法步骤如下：
1、在 的两边同时乘于公比q
2、两式相减 ；左边为 ，右边q的同次式相减
3、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的
各项组成等比数列，可用公式求和。
三、错位相减法
例4 设 求数列 的前n项和
分析：
这个数列的每一项都含有a，而a等于1或不等于1，对数列求和有本质上的不同，所以解题时需讨论进行
解：
两边同乘a:
两式相减：
所以：
运算并
整理得：
归纳提升
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，常采用错位相减法．
(2)错位相减法求和时，应注意：
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式；
③在应用等比数列求和公式时要注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
巩固练习
如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.
四、倒序相加法
巩固练习
顾名思义，“裂项相消法”就是把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.
求法步骤
1、先分析数列的项的结构，把通项式“裂”成几项。
（注意：裂开后的通项式当n=k和n=k+d时有相消为0的情况出现才行）
2、解题时；对裂开后的通项式令n取1，2，3，
,n
然后相加得
3、把和式中每一对相消为0的式子除去，整理剩下的
式子即为和式。
五、裂项相消法
例6.求数列 的前n 项和。
分析：
该数列的特征是：分子都是1，分母是一个以1为首项，以3为公差的等差数列的相邻两项的乘积。只要分子变为公差3，就可以裂项了。
解：
对类似例6的求和问题，我们可以推广到一般情况：设{an}是公差为d的等差数列，则有
裂项求和常用变形
巩固练习
巩固练习
巩固练习
通项分析法就是对数列的通项公式进行分析，再根据前面学过的运用公式法、错位相减法、裂项相消法等为基础，从而决定使用那种方法求和。
求 法 步 骤
1、确定所求和数列的通项公式，必要时，注意使用由已 知数列的前几项，求这数列的一个通项公式的方法
2、分析通项公式时，在确定首项、末项、及项数的同时
还要分析清楚是那些数列的和、差、积、商数列。
六、通项分析法
例7. 求数列 的前n项和
分析：
由数列的结构来分析，该数列的第k项应该是：
通过分析可知：该数列是以 为首项，以 为末项，共有n项的数列。
从通项公式的结构来分析，该数列是一个以2为首项，以2为公比的等比数列与一个常数列的差数列。所以它的前n项和是一个等比数列的前n项和与一个常数为1的常数列的前 n项和的差。
解：
例8. 求和
分析：
这个数列是数列1，2，3. . . n与它的倒序数列的积数列，共有n项，在这里把n看成常数来分析它的通项就容易了。
(k取从1到n的自然数）
所以，该数列可以看作通项为 的三个数列的差、和数列
解：
求和方法 适用情形
1.分组求和 法
2.并项求和 法
3.错位相减法
4.倒序相加法
5.裂项相消法
6.通项分析法 数列的通项比较复杂，需要对其进行变形、整理、分析
指出下列各种方法的适用情形:
课堂小结