人教A版（2019）选择性必修第二册第四章 数列数列通项公式的常用求法 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
数列通项公式的常用求法
求数列的通项公式是考试的热点问题，等差、等比数列可直接利用其通项公式求解，但有些数列是以递推关系给出的，需要构造新数列转为等差或等比数列，再利用公式求解
例1.分别写出下列数列的一个通项公式．
一、观察法
例2.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（ ）个球．
A．12 B．20 C．55 D．110
解析 由题意知：
故选：C.
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意：
①观察数列各项符号的变化，如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或(－1)n＋1来调节．
②分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决．
③对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．
此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察
(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决．
方法总结
练习.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ）
A．22 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【提示】分奇偶项考虑.
对点练习
二、利用an与Sn的关系
解析　∵数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，
∴a1＝S1＝－1，
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－2(n－1)＝n2－4n＋3，
故an＝Sn－Sn－1＝2n－3，当n＝1时，an＝2n－3也成立，
故 n∈N*，an＝2n－3.
例3.(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，那么它的通项公式为an＝________.
已知Sn求an
已知an与Sn的关系求an
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝2，an＋1＝Sn，则a100＝(　　)
A．297 B．298 C．299 D．2100
解析：当n≥2时，由an＋1＝Sn　①，
可得an＝Sn－1　②，
两式相减得，an＋1－an＝an，所以an＋1＝2an，n≥2，
当n＝1时，a2＝S1＝a1＝2，故数列{an}是从第2项开始的，公比是2的等比数列，所以 ，所以a100＝299.
故选C.
(3)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是(　　 )
BCD
又a1＝－1不符合上式，
方法总结
拓展：设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
则an＝__________.
解析　因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，
两式相减得(2n－1)an＝2，
又由题设可得a1＝2，满足上式，
类似已知Sn求an，作差法求通项.
解析：当n＝1时，a1＝14，
对点练习
三、公式法
例4.(1)已知数列{an}满足an+1= an﹣2 ，且a1=1，求an。
(2)已知数列{an}满足an+1=2an，且a1=2，求an。
由递推式an+1=an+d (d为常数)或an+1=qan(q为常数)知相应数列为等差或等比数列，可直接利用其通项公式求解.
an=﹣2n+3
an=2n
﹣2变为n，该如何求？
﹣2变为 ，该如何求？
方法总结
∴{an}是等差数列，an=1+(n-1)=n
1. 若a1=1, 且an+am=an+m(n,m∈N*), 则an=_______.
解: n=m=1时，a2 = a1+a1=2, 得a1=1, a2=2
m=1时,由an+am=an+m 得an+1=an+1，即an+1-an=1
n
2. 若b1=2，且bmbn=bm+n，则bn=_______.
解：n=m=1时，b2=b1·b1=4 , 即b1=2，b2=4，
m=1时,由bnbm=bn+m 得bn+1=bn· b1=2bn，
故{bn}是首项为b1=2 ，公比为q=2的等比数列，
bn=2·2n-1=2n
2n
对点练习
四、累加法
例4.(1)已知数列{an}满足an+1= an﹣2 ，且a1=1，求an。
例5.已知数列{an}满足an+1= an+n ，且a1=1，求an。
解析： 因为an+1= an+n ，所以an+1- an=n,
a2－a1＝1，
a3－a2＝2，
a4－a3＝3，
……
an－an－1＝ n－1 (n≥2).
把以上各式分别相加得
an－a1＝1+2+3+…+ n－ 1 ，
因此
所以 (n≥2)，
且a1＝1也适合，
形如an＋1－an＝f(n)的数列，可构造：
把以上各式累加法，即可求数列{an}的通项公式．
即利用公式
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2).
方法总结
练习.在数列{an}中，an＋1－an＝3n－22，a1＝－2，
则a30＝(　　)
A．659 B．661 C．663 D．665
解析　因为an＋1－an＝3n－22，所以
a2－a1＝－19，
a3－a2＝－16，
…，
a30－a29＝65，
所以a30－a1＝ ＝667，故a30＝a1＋667＝665.
对点练习
五、累乘法
例4.(2)已知数列{an}满足an+1=2an，且a1=3，求an。
例6.数列{an}中， ,求数列的通项an 。
形如 的数列，可构造
再把所得的(n－1)个等式相乘，即可求数列{an}的通项公式．
即利用 (n≥2).
方法总结
数列{an}满足a1＝1，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1
(n≥2，n∈N*)，则a6＝________.
对点练习
　1.若数列 {an} 满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 (n≥2), 则数列{an} 的通项 an= .
　2.若数列 {an} 满足 a1=1, a1·a2·a3·…·an= n2 (n≥2), 则数列{an} 的通项 an= .
和式用减法
积式用除法
延伸练习
　　 此处两法与前面的累加法、累乘法，可称为逆向思维求通项．
对于一些递推关系较复杂的数列，可通过对递推关系公式的变形、整理，从中构造出一个新的等比或等差数列，从而将问题转化为前面已解决的几种情形来处理。
六、构造法
例7. (1)若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝______.
解析　设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1＋t＝2(an＋t)，
即an＋1＝2an＋t，解得t＝3.
故an＋1＋3＝2(an＋3).
令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，
所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列.
∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
例7. (2)已知数列{an} 中，
求通项公式 an 。
例7. (3)已知数列{an}中，
求通项公式 an 。
解析　
方法总结
(4)已知数列{an}中a1=1， ,求an.
解：两边取倒数得：
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
倒数法
方法总结
1.已知数列{an}满足 ,求数列通项公式 。
2.已知数列{an}满足 ,求数列通项公式 。
3.已知数列{an}满足 ，求数列 通项公式 。
4.已知数列{an}中a1=1， ,求an
对点练习
课堂小结
由递推公式求数列的通项公式：
(5)an+1=pan+q（p,q为常数）
等差数列
等比数列
累加法
累乘法
an+1+x=p(an+x)
an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y)
例8.已知数列{an}中a1=3， .
证明：数列{ln(an-1)}是等比数列，并求数列{an}的通项公式．
取对数法
课外探究
方法总结
拓展视野：1.数列 {an} 中,
求an及 Sn .
为首项,1为公差的等差数列.
a1=3不适合上式.
当n≥2时,
2.已知数列{an}的递推关系为an+2﹣2an+1+an=4 ，且a1 =1， a2 =3，求通项公式an 。
解：∵
∴
令bn = an+1 + an ,则数列{bn}是以4为公差的等差数列.
两边分别相加得：