福建省福州市六校2023-2024学年高二上学期数学期中联考试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线过点，，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：因为直线过点，，再由，得出直线的斜率为：。
故答案为.
【分析】利用两点求斜率公式得出直线的斜率。
2．已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：连接OM，在三棱锥中，点M，N分别为，的中点，且，，，所以
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合三棱锥的结构特征和中点的性质，在饥饿和空间向量基本定理，进而得出 用，，表示 。
3．已知圆心为的圆过点，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为圆心为的圆过点，所以半径，所以，则该圆的标准方程为。
故答案为：.
【分析】利用两点距离公式求出圆的半径长，再结合圆心坐标和半径长，从而求出圆的标准方程。
4．已知，，是空间直角坐标系中轴、轴、轴正方向上的单位向量，且，，则点的坐标为（ ）
A．，， B．，1， C．，， D．，1，
【答案】D
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：已知 ，，是空间直角坐标系中轴、轴、轴正方向上的单位向量，且，，
由三角形法则，得出，
则点的坐标为，1，.
故答案为：，1，.
【分析】利用已知条件结合空间向量基本定理，从而由三角形法则，用单位向量求出向量的坐标，进而得出点B的坐标。
5．在三棱柱中，，，，则这个三棱柱的高（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：设平面ABC的法向量为 而
则即有不妨令y=z=1，则x=-4，则
设三棱柱的高为h，则
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合平面法向量求解方法，从而有数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再利用数量积和三角函数的定义，进而得出三棱柱的高。
6．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：因为四面体A-BCD是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，依题意，得：
则
因为异面直线所成的角的取值范围为，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为正，则
所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，进而得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和异面直角所成的角的取值范围，进而得出异面直线BM与CD夹角的余弦值。
7．已知正方体的棱长为，球是正方体的内切球，是球的直径，点是正方体表面上的一个动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的结构特征；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：正方体的棱长为，球是正方体的内切球，是球的直径，
所以OM=ON=2，
因为
又因为点G是正方体表面上的一个动点，所以当G为正方体的顶点时，
由勾股定理，则有最大值为，
当G为内切球与正方体的切点时，则有最小值为2，
所以所以
所以，则的取值范围为。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合正方体与球的位置关系，再结合数量积定义和运算法则及三角形法则，从而由几何法和勾股定理以及二次函数求值域的方法，进而得出的取值范围。
8．在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；圆的切线方程
【解析】【解答】解：由已知条件得出下图，
将圆转化为圆的标准方程为圆
因为所以
所以
因为圆心C(-1，0)到直线的距离为，所以，
所以不妨设，则
又因为f(m)在单调递增，所以当且仅当，即，
即当且仅当直线CP垂直已知直线时，有最大值，
即
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合二倍角的正弦公式和三角函数的定义，再结合几何法和点到直线的距离公式得出的最小值，再由换元法得出二次函数模型，再根据二次函数的图象求最值的方法得出的最大值。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：已知向量，，
所以，
，
，
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件和向量的坐标运算和数量积的坐标运算以及向量的模的坐标表示，注意向量的正确表示，进而得出结论正确的选项。
10．已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：设圆心为C（a，b)，半径为r，
因为，
又因为圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径为，
所以a+b-1=0，，，
所以
则，（1）（2）联立结合得出。
故答案为：AD.
【分析】利用圆的一般方程中的D，E，F得出圆心坐标和半径长，再利用代入法和点在象限的判断方法以及半径的长，从而建立D，E的方程组，进而得出D，E的值。
11．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．向量与的夹角是60°
C．平面
D．直线与AC所成角的余弦值为
【答案】A,C,D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；空间中两点间的距离公式；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：A：在平行六面体中，
所以
=216，
所以，所以A对；
B：由四边形是的菱形，向量与的夹角是
所以向量向量与的夹角是所以B错；
C：在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以，
所以，即
因为
所以，即
因为平面，所以平面，所以C对；
D：在平行六面体中，
所以以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以
同理可得
因为
所以，所以D对。
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合平行六面体和菱形的结构特征和三角形法则以及平行四边形法则，再结合数量积的定义和运算法则、数量积为0两向量垂直的等价关系、线面垂直的判定定理、数量积求向量夹角公式，进而找出正确的选项。
12．已知直线l：和圆C：，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点
B．对于λ∈R，直线l与圆C相交
C．对于λ∈R，圆C上恒有4个点到直线的距离为1
D．若，直线l与圆C交于A，B两点，则的最大值为4
【答案】A,B,D
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A：因为直线l：，所以整理直线方程得出，
对于任意，则，解得，可知直线l过定点（1，1），所以A对；
B：将点（1，1）代入圆C的方程，得出，可知点（1，1)在圆C内，
所以，对于λ∈R，直线l与圆C相交，所以B对；
C：因为圆心C到点（1，1）的距离等于，则圆心C到直线l的距离，
当时，则圆C上有2个点到直线的距离等于1；
当时，则圆C上有3个点到直线的距离等于1；
当时，则圆C上有4个点到直线的距离等于1，所以C错；
D：因为圆C的圆心为C(0，2)，半径为2，又因为圆心C到直线l的距离为
所以
因为，所以
当且仅当即时等号成立，
所以则所以所以，
所以的最大值为4，所以D对。
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合变形的方法，从而解方程组得出直线恒过的定点坐标；利用定点与圆位置关系得出定点在圆内，所以判断出过定点的直线与圆的位置关系；利用两点距离公式和点到直线的距离公式以及分类讨论的方法得出满足要求的点的个数；根据点到直线的距离个数和弦长公式以及均值不等式求最值的方法，从而由不等式的性质得出的最大值。
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若直线与直线平行，则这两平行线间距离为 .
【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，所以m=1，再利用两平行直线距离公式，则这两平行线间距离为
故答案为：.
【分析】利用两直线平行，则两直线斜率相等，从而得出m的值，进而得出直线方程，再利用两平行直线的距离公式得出这两平行线间距离。
14．已知，，，则点A到直线BC的距离为 .
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：已知，，，
所以，
则在上的投影为，
再利用勾股定理得出点A到直线BC的距离为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示和数量积求投影的方法，从而得出在上的投影，再利用勾股定理得出点A到直线BC的距离。
15．设圆，直线经过原点且将圆分成两部分，则直线的方程为 .
【答案】或y=0
【知识点】直线的一般式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆，所以圆心C（1，1），半径为，
又因为直线经过原点且将圆分成两部分，
设直线与圆相交于A，B两点，则，
则圆心C到直线的距离为
当直线的斜率不存在时，则直线方程为：x=0，得出直线与圆相交的交点A（0，0），B（0，2），所以，再利用圆的半径和圆心C到直线的距离以及勾股定理和中点的性质，所以直线方程为：x=0，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为：，
则由圆心C到直线的距离，则解得k=0，
则直线方程为：y=0。
故答案为：x=0或y=0.
【分析】利用已知条件结合直线与圆的位置关系，从而得出的值，再利用点到直线的距离公式和分类讨论的方法，再根据圆的半径和圆心C到直线的距离以及勾股定理和中点的性质，从而得出满足要求的直线的方程。
16．已知正方体的棱长为2，点M是棱BC的中点.
（1）若点N为棱的中点，则平面AMN截正方体的截面的面积为 ；
（2）若点N是棱上的一个动点，则点到平面AMN的距离的最小值为 .
【答案】（1）
（2）
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）当N是的中点时，连接因为M是BC的中点，再利用正方体的结构特征和中位线的性质，所以，所以A，M，N，四点共面，所以截面即是平面，再根据正方体的结构特征和平行的传递性以及勾股定理可知，四边形是等腰梯形，
再由勾股定理得出，所以，，
所以等腰梯形的高为，
所以截面等腰梯形的面积为。
（2）当点N是棱上的任意一点时，建立空间直角坐标系如下图所示，
则
设则
设平面AMN的法向量为则，
故可设
所以点到平面AMN的距离为
因为所以
所以当时，点到平面AMN的距离取得最小值为。
故答案为：(1)；(2).
【分析】当N是的中点时，画出截面，再根据梯形面积公式得出截面面积；当N是棱上任意一点时，建立空间直角坐标系，利用向量法得出点到截面的距离的表达式，再利用二次函数的单调性求最值的方法得出点到平面AMN的距离的最小值。
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．菱形中，边所在直线过点
（1）求边所在直线的方程；
（2）求对角线所在直线的方程．
【答案】（1）解：kBC==2，
∵AD∥BC，∴kAD=2，
∴直线AD方程为y-7=2（x+4），
即2x-y+15=0．
（2）解：kAC==，
∵菱形对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴kBD=，
而AC中点（-1，2），也是BD的中点，
∴直线BD的方程为y-2=（x+1），
即3x-5y+13=0．
说明：其他解法参照对应步骤相应给分。
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】(1)利用两点求斜率公式结合两直线平行斜率相等的的性质，从而得出直线AD的斜率，再结合点斜式方程得出AD边所在的直线的方程。
（2）利用两点求斜率公式和菱形对角线互相垂直的性质，从而由两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线BD的斜率，再由中点坐标公式得出AC和BD的中点坐标，再结合点斜式得出直线BD的方程。
18．已知圆：，直线：，．
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）直线与圆交于，两点，求弦的中点的轨迹方程．
【答案】（1）解：直线：，即，故直线恒过点，
又，
故点在圆的内部，
所以直线与圆相交．
（2）解：设点坐标为，，
因为直线：恒过定点，由可得，即点在以为直径的圆上，
以为直径的圆的方程为，
当直线的斜率不存在时，直线为，此时中点，
由直线：可知直线的斜率存在，故点不满足题意，
所以弦的中点的轨迹方程为，
【知识点】轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合点斜式得出直线所过的定点坐标，再利用点与圆的位置关系判断出定点在圆内，从而判断出直线与圆的位置关系。
（2）利用点斜式得出直线恒过的定点坐标，由可得点在以为直径的圆上，再由中点坐标公式和两点距离公式得出圆心坐标和半径长，从而得出以为直径的圆的方程，再结合分类讨论的方法和直线与圆相交位置关系判断方法和中点坐标公式，进而得出弦的中点的轨迹方程。
19．如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成的角．
【答案】（1）解：连结EB，过点E作底面ABCD的垂线交A1D1于F，以E为坐标原点，分别以EA、EB、EF为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系
则，
则
因为，所以，
又，故平面；
（2）解：已知平面，所以
则，则
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
设平面与平面所成的角为，则，
故，
平面与平面所成的角为
【知识点】向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，从而得出向量的坐标，再由数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出线线垂直，再结合线面垂直的判定定理，从而由线线垂直证出线面垂直。
（2）由（1）结合线面垂直和平面的法向量的定义以及数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和图形判断夹角的取值范围，从而得出平面与平面所成的角。
20．如图，在长方体中，E，M，N分别是，，的中点，，.
（1）求证：∥平面；
（2）试确定直线与平面的交点F的位置，并求的长.
【答案】（1）解：如图，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以
由题意知是平面的一个法向量，
因为
所以
因为平面，所以∥平面
（2）解：由已知，得点F在直线上，
因为直线与z轴平行，可设，，
又点F在平面内，所以存在实数，，使得，
即，整理得，所以，
解得，所以，
故F是棱上靠近点B的一个三等分点，
且
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，进而得出向量的坐标，再结合平面的法向量的定义得出两向量垂直，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，进而证出线线垂直，从而证出∥平面。
（2）由已知，得点F在直线上，再利用直线与z轴平行，可设出点F的坐标，再结合点F在平面内和空间向量基本定理和向量相等的判断方法，进而得出点F的坐标，再由n等分点的定义判断出点F在棱上的位置，从而结合空间两点距离公式得出BF的长。
21．（2023高三上·贵州开学考）如图，已知平面四边形存在外接圆，且，，．
（1）求的面积；
（2）求的周长的最大值．
【答案】（1）解：因为平面四边形存在外接圆，
所以，，
又，所以，
所以的面积．
（2）解：在中，由余弦定理得
，
解得．
在中，由余弦定理得，
即
．
由此得，当且仅当时，等号成立，
所以，故的周长．
【知识点】基本不等式；三角形五心；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)根据四边形存在外接圆的几何性质可得，从而可求得值，再根据面积公式即可求解；
(2)在中，由余弦定理求解的长，再在中，利用余弦定理与基本不等式可得的最值，从而得的周长的最大值.
22．已知圆C经过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程.
（2）过点的直线与圆C交于A，B两点，问：在直线上是否存在定点N，使得（，分别为直线AN，BN的斜率）恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题可知线段EF的中点为，EF的垂直平分线的斜率为5，
的垂直平分线的方程为
EF的垂直平分线与直线l的交点即为圆心C，
由，解得，即
又，
圆C的方程为
（2）解：当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，则过点的直线AB的方程为，由，消去y整理得
设，，，（*）
设，则，
，，
，即，
将（*）式代入得，解得故点N的坐标为
当直线AB的斜率不存在时，
直线AB的方程为，，，显然点N可使成立
在直线上存在定点使得恒成立.
【知识点】直线的斜率；恒过定点的直线；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点坐标公式和两直线垂直斜率之积等于-1，进而由点斜式得出EF的垂直平分线的方程，再联立两直线方程求出圆心C的坐标，再根据两点距离公式得出圆的半径长，从而得出圆C的标准方程。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法和联立直线与圆方程求交点的方法，从而由韦达定理和两点求斜率公式，进而得出满足要求的点N的坐标。
1 / 1福建省福州市六校2023-2024学年高二上学期数学期中联考试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线过点，，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3．已知圆心为的圆过点，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，是空间直角坐标系中轴、轴、轴正方向上的单位向量，且，，则点的坐标为（ ）
A．，， B．，1， C．，， D．，1，
5．在三棱柱中，，，，则这个三棱柱的高（ ）
A．1 B． C． D．
6．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正方体的棱长为，球是正方体的内切球，是球的直径，点是正方体表面上的一个动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径为，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．向量与的夹角是60°
C．平面
D．直线与AC所成角的余弦值为
12．已知直线l：和圆C：，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点
B．对于λ∈R，直线l与圆C相交
C．对于λ∈R，圆C上恒有4个点到直线的距离为1
D．若，直线l与圆C交于A，B两点，则的最大值为4
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若直线与直线平行，则这两平行线间距离为 .
14．已知，，，则点A到直线BC的距离为 .
15．设圆，直线经过原点且将圆分成两部分，则直线的方程为 .
16．已知正方体的棱长为2，点M是棱BC的中点.
（1）若点N为棱的中点，则平面AMN截正方体的截面的面积为 ；
（2）若点N是棱上的一个动点，则点到平面AMN的距离的最小值为 .
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．菱形中，边所在直线过点
（1）求边所在直线的方程；
（2）求对角线所在直线的方程．
18．已知圆：，直线：，．
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）直线与圆交于，两点，求弦的中点的轨迹方程．
19．如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成的角．
20．如图，在长方体中，E，M，N分别是，，的中点，，.
（1）求证：∥平面；
（2）试确定直线与平面的交点F的位置，并求的长.
21．（2023高三上·贵州开学考）如图，已知平面四边形存在外接圆，且，，．
（1）求的面积；
（2）求的周长的最大值．
22．已知圆C经过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程.
（2）过点的直线与圆C交于A，B两点，问：在直线上是否存在定点N，使得（，分别为直线AN，BN的斜率）恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：因为直线过点，，再由，得出直线的斜率为：。
故答案为.
【分析】利用两点求斜率公式得出直线的斜率。
2．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：连接OM，在三棱锥中，点M，N分别为，的中点，且，，，所以
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合三棱锥的结构特征和中点的性质，在饥饿和空间向量基本定理，进而得出 用，，表示 。
3．【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为圆心为的圆过点，所以半径，所以，则该圆的标准方程为。
故答案为：.
【分析】利用两点距离公式求出圆的半径长，再结合圆心坐标和半径长，从而求出圆的标准方程。
4．【答案】D
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：已知 ，，是空间直角坐标系中轴、轴、轴正方向上的单位向量，且，，
由三角形法则，得出，
则点的坐标为，1，.
故答案为：，1，.
【分析】利用已知条件结合空间向量基本定理，从而由三角形法则，用单位向量求出向量的坐标，进而得出点B的坐标。
5．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：设平面ABC的法向量为 而
则即有不妨令y=z=1，则x=-4，则
设三棱柱的高为h，则
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合平面法向量求解方法，从而有数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再利用数量积和三角函数的定义，进而得出三棱柱的高。
6．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：因为四面体A-BCD是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，依题意，得：
则
因为异面直线所成的角的取值范围为，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为正，则
所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，进而得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和异面直角所成的角的取值范围，进而得出异面直线BM与CD夹角的余弦值。
7．【答案】A
【知识点】简单组合体的结构特征；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：正方体的棱长为，球是正方体的内切球，是球的直径，
所以OM=ON=2，
因为
又因为点G是正方体表面上的一个动点，所以当G为正方体的顶点时，
由勾股定理，则有最大值为，
当G为内切球与正方体的切点时，则有最小值为2，
所以所以
所以，则的取值范围为。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合正方体与球的位置关系，再结合数量积定义和运算法则及三角形法则，从而由几何法和勾股定理以及二次函数求值域的方法，进而得出的取值范围。
8．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；圆的切线方程
【解析】【解答】解：由已知条件得出下图，
将圆转化为圆的标准方程为圆
因为所以
所以
因为圆心C(-1，0)到直线的距离为，所以，
所以不妨设，则
又因为f(m)在单调递增，所以当且仅当，即，
即当且仅当直线CP垂直已知直线时，有最大值，
即
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合二倍角的正弦公式和三角函数的定义，再结合几何法和点到直线的距离公式得出的最小值，再由换元法得出二次函数模型，再根据二次函数的图象求最值的方法得出的最大值。
9．【答案】A,C
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：已知向量，，
所以，
，
，
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件和向量的坐标运算和数量积的坐标运算以及向量的模的坐标表示，注意向量的正确表示，进而得出结论正确的选项。
10．【答案】A,D
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：设圆心为C（a，b)，半径为r，
因为，
又因为圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径为，
所以a+b-1=0，，，
所以
则，（1）（2）联立结合得出。
故答案为：AD.
【分析】利用圆的一般方程中的D，E，F得出圆心坐标和半径长，再利用代入法和点在象限的判断方法以及半径的长，从而建立D，E的方程组，进而得出D，E的值。
11．【答案】A,C,D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；空间中两点间的距离公式；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：A：在平行六面体中，
所以
=216，
所以，所以A对；
B：由四边形是的菱形，向量与的夹角是
所以向量向量与的夹角是所以B错；
C：在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以，
所以，即
因为
所以，即
因为平面，所以平面，所以C对；
D：在平行六面体中，
所以以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以
同理可得
因为
所以，所以D对。
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合平行六面体和菱形的结构特征和三角形法则以及平行四边形法则，再结合数量积的定义和运算法则、数量积为0两向量垂直的等价关系、线面垂直的判定定理、数量积求向量夹角公式，进而找出正确的选项。
12．【答案】A,B,D
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A：因为直线l：，所以整理直线方程得出，
对于任意，则，解得，可知直线l过定点（1，1），所以A对；
B：将点（1，1）代入圆C的方程，得出，可知点（1，1)在圆C内，
所以，对于λ∈R，直线l与圆C相交，所以B对；
C：因为圆心C到点（1，1）的距离等于，则圆心C到直线l的距离，
当时，则圆C上有2个点到直线的距离等于1；
当时，则圆C上有3个点到直线的距离等于1；
当时，则圆C上有4个点到直线的距离等于1，所以C错；
D：因为圆C的圆心为C(0，2)，半径为2，又因为圆心C到直线l的距离为
所以
因为，所以
当且仅当即时等号成立，
所以则所以所以，
所以的最大值为4，所以D对。
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合变形的方法，从而解方程组得出直线恒过的定点坐标；利用定点与圆位置关系得出定点在圆内，所以判断出过定点的直线与圆的位置关系；利用两点距离公式和点到直线的距离公式以及分类讨论的方法得出满足要求的点的个数；根据点到直线的距离个数和弦长公式以及均值不等式求最值的方法，从而由不等式的性质得出的最大值。
13．【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，所以m=1，再利用两平行直线距离公式，则这两平行线间距离为
故答案为：.
【分析】利用两直线平行，则两直线斜率相等，从而得出m的值，进而得出直线方程，再利用两平行直线的距离公式得出这两平行线间距离。
14．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：已知，，，
所以，
则在上的投影为，
再利用勾股定理得出点A到直线BC的距离为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示和数量积求投影的方法，从而得出在上的投影，再利用勾股定理得出点A到直线BC的距离。
15．【答案】或y=0
【知识点】直线的一般式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆，所以圆心C（1，1），半径为，
又因为直线经过原点且将圆分成两部分，
设直线与圆相交于A，B两点，则，
则圆心C到直线的距离为
当直线的斜率不存在时，则直线方程为：x=0，得出直线与圆相交的交点A（0，0），B（0，2），所以，再利用圆的半径和圆心C到直线的距离以及勾股定理和中点的性质，所以直线方程为：x=0，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为：，
则由圆心C到直线的距离，则解得k=0，
则直线方程为：y=0。
故答案为：x=0或y=0.
【分析】利用已知条件结合直线与圆的位置关系，从而得出的值，再利用点到直线的距离公式和分类讨论的方法，再根据圆的半径和圆心C到直线的距离以及勾股定理和中点的性质，从而得出满足要求的直线的方程。
16．【答案】（1）
（2）
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）当N是的中点时，连接因为M是BC的中点，再利用正方体的结构特征和中位线的性质，所以，所以A，M，N，四点共面，所以截面即是平面，再根据正方体的结构特征和平行的传递性以及勾股定理可知，四边形是等腰梯形，
再由勾股定理得出，所以，，
所以等腰梯形的高为，
所以截面等腰梯形的面积为。
（2）当点N是棱上的任意一点时，建立空间直角坐标系如下图所示，
则
设则
设平面AMN的法向量为则，
故可设
所以点到平面AMN的距离为
因为所以
所以当时，点到平面AMN的距离取得最小值为。
故答案为：(1)；(2).
【分析】当N是的中点时，画出截面，再根据梯形面积公式得出截面面积；当N是棱上任意一点时，建立空间直角坐标系，利用向量法得出点到截面的距离的表达式，再利用二次函数的单调性求最值的方法得出点到平面AMN的距离的最小值。
17．【答案】（1）解：kBC==2，
∵AD∥BC，∴kAD=2，
∴直线AD方程为y-7=2（x+4），
即2x-y+15=0．
（2）解：kAC==，
∵菱形对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴kBD=，
而AC中点（-1，2），也是BD的中点，
∴直线BD的方程为y-2=（x+1），
即3x-5y+13=0．
说明：其他解法参照对应步骤相应给分。
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】(1)利用两点求斜率公式结合两直线平行斜率相等的的性质，从而得出直线AD的斜率，再结合点斜式方程得出AD边所在的直线的方程。
（2）利用两点求斜率公式和菱形对角线互相垂直的性质，从而由两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线BD的斜率，再由中点坐标公式得出AC和BD的中点坐标，再结合点斜式得出直线BD的方程。
18．【答案】（1）解：直线：，即，故直线恒过点，
又，
故点在圆的内部，
所以直线与圆相交．
（2）解：设点坐标为，，
因为直线：恒过定点，由可得，即点在以为直径的圆上，
以为直径的圆的方程为，
当直线的斜率不存在时，直线为，此时中点，
由直线：可知直线的斜率存在，故点不满足题意，
所以弦的中点的轨迹方程为，
【知识点】轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合点斜式得出直线所过的定点坐标，再利用点与圆的位置关系判断出定点在圆内，从而判断出直线与圆的位置关系。
（2）利用点斜式得出直线恒过的定点坐标，由可得点在以为直径的圆上，再由中点坐标公式和两点距离公式得出圆心坐标和半径长，从而得出以为直径的圆的方程，再结合分类讨论的方法和直线与圆相交位置关系判断方法和中点坐标公式，进而得出弦的中点的轨迹方程。
19．【答案】（1）解：连结EB，过点E作底面ABCD的垂线交A1D1于F，以E为坐标原点，分别以EA、EB、EF为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系
则，
则
因为，所以，
又，故平面；
（2）解：已知平面，所以
则，则
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
设平面与平面所成的角为，则，
故，
平面与平面所成的角为
【知识点】向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，从而得出向量的坐标，再由数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出线线垂直，再结合线面垂直的判定定理，从而由线线垂直证出线面垂直。
（2）由（1）结合线面垂直和平面的法向量的定义以及数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和图形判断夹角的取值范围，从而得出平面与平面所成的角。
20．【答案】（1）解：如图，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以
由题意知是平面的一个法向量，
因为
所以
因为平面，所以∥平面
（2）解：由已知，得点F在直线上，
因为直线与z轴平行，可设，，
又点F在平面内，所以存在实数，，使得，
即，整理得，所以，
解得，所以，
故F是棱上靠近点B的一个三等分点，
且
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，进而得出向量的坐标，再结合平面的法向量的定义得出两向量垂直，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，进而证出线线垂直，从而证出∥平面。
（2）由已知，得点F在直线上，再利用直线与z轴平行，可设出点F的坐标，再结合点F在平面内和空间向量基本定理和向量相等的判断方法，进而得出点F的坐标，再由n等分点的定义判断出点F在棱上的位置，从而结合空间两点距离公式得出BF的长。
21．【答案】（1）解：因为平面四边形存在外接圆，
所以，，
又，所以，
所以的面积．
（2）解：在中，由余弦定理得
，
解得．
在中，由余弦定理得，
即
．
由此得，当且仅当时，等号成立，
所以，故的周长．
【知识点】基本不等式；三角形五心；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)根据四边形存在外接圆的几何性质可得，从而可求得值，再根据面积公式即可求解；
(2)在中，由余弦定理求解的长，再在中，利用余弦定理与基本不等式可得的最值，从而得的周长的最大值.
22．【答案】（1）解：由题可知线段EF的中点为，EF的垂直平分线的斜率为5，
的垂直平分线的方程为
EF的垂直平分线与直线l的交点即为圆心C，
由，解得，即
又，
圆C的方程为
（2）解：当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，则过点的直线AB的方程为，由，消去y整理得
设，，，（*）
设，则，
，，
，即，
将（*）式代入得，解得故点N的坐标为
当直线AB的斜率不存在时，
直线AB的方程为，，，显然点N可使成立
在直线上存在定点使得恒成立.
【知识点】直线的斜率；恒过定点的直线；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点坐标公式和两直线垂直斜率之积等于-1，进而由点斜式得出EF的垂直平分线的方程，再联立两直线方程求出圆心C的坐标，再根据两点距离公式得出圆的半径长，从而得出圆C的标准方程。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法和联立直线与圆方程求交点的方法，从而由韦达定理和两点求斜率公式，进而得出满足要求的点N的坐标。
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