上海市闵行区重点中学2023-2024学年高二上学期12月测试数学试卷（含答案）

闵行区重点中学2023-2024学年高二上学期12月测试
数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.已知点，，则直线的斜率为2，则______.
2.圆的圆心坐标是______.
3.一名射击运动员在一次射击测试中射击10次，每次命中的环数如下：5 6 6 7 7 7 7 8 8 9
则其射击成绩的方差为______.
4.两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则取到这件产品是合格品的概率为______.
5.单位向量，，两两之问的夹角都是，求______.
6.已知事件A与事件B相互独立，如果，，那么______.
7.已知数列满足：，，且是严格递增数列，则实数的取值范围是______.
8.已知无穷等比数列，，，则公比______.
9.已知数列是公差为的等差数列，是其前n项和，若也是公差为d的等差数列，则的通项为______.
10.在平面直角坐标系中，已知点，对于任意不全为零的实数a、b，直线，若点P到直线的距离为d，则d的取值范围是______.
11.已知函数.若项数为8的等差数列公差为1，且使得，则写出一个符合条件的数列的通项公式为______.
12.已知实数x、y满足，则的取值范围是______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分）
13.圆与圆的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切 C.内含 D.以上均有可能
14.如图，设每个电子元件能正常工作的概率为p，各个元件能否正常工作相互独立，则电路能正常工作的概率为（ ）
A. B. C. D.
15.的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
16.将函数的图象绕点逆时针旋转，得到曲线C，对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图象，则最大时的正切值为（ ）
A. B. C.1 D.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
已知数列满足，，是其前n项和.
（1）计算，，并猜想的通项公式，用数学归纳法证明；
（2）记，求.
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知三条直线，直线，且与的距离是.
（1）求a的值；
（2）若点P同时满足下列条件：①P是第一象限的点；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P在直线上，求点P的坐标。
19.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
某市政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月均用电量标准a，用电量不超过a的部分按照平价收费，超出部分按阶价收费.为了确定一个合理的标准，从某小区抽取了100户居民进行用电量调查（单位），并绘制了如图所示的频率分布直方图：
（1）求x的值；
（2）求被调查用户的月用电量平均值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（3）若使85%居民用户的水费支出不受影响，应确定a值为多少
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知圆，圆，以及直线.
（1）求圆被直线截得的弦长；
（2）当m为何值时，圆C与圆的公共弦平行于直线；
（3）是否存在m，使得圆C被直线所截的弦中点到点距离等于弦长度的一半 若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知数列，若存在，使得为严格递减数列，则称为“B型数列”.
（1）是否存在使得有穷数列1，，2为B型数列 若是，写出B的一个值（无需证明）；否则，说明理由；
（2）已知2022项的数列中，.求使得为B型数列的实数B的取值范围；
（3）已知存在唯一的，使得无穷数列是B型数列.证明：存在递增的无穷正整数列，使得为严格递增数列，为严格递減数列.
闵行区重点中学2023-2024学年高二上学期12月测试
数学试卷（答）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 2. 3.1.2 4.0.957 5. 6.0.2.
7.. 8. 9. 10.
11.或其他符合的数列.
详解：由于函数是奇函数，因而如果满足即符合条件，。
12.
【解答】解：为圆上任意一点，
则P到直线的距离，即，
∴，
设圆与直线相切，则，解得.
∴的最小值为0°，最大值为60°，
∴，则.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分）
13.D. 14.B 15.D
16.B 【解答】解：由，得，
原函数的图象是以为圆心，以为半径的圆的部分，
如图：
设过与圆相切的直线的斜率为k，
则直线方程为，即.
由，解得.
要使对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图象，则最大角满足，
∴，可得.
∴最大时的正切值为.
故选：B.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.【解】（1），，猜想（3分）
时，，满足猜想，假设时，猜想成立，即，
则当时，
，所以时成立，
所以猜想成立，即（4分，格式不完整酌情扣1-2分）
（2）（2分），（3分），，
（2分）
18.【解】（1）直线方程为，
∴和距离为，（3分）
解得（3分）
（2）设点，若点P满足条件②，则P在与，平行的直线上，且，得或，所以或.（4分）
若满足条件③，联立方程解得，舍去，或者联立方程
解得，为所求点.（4分）
19.【解】（1）由，
解得：；（4分）
（2）
（6分）
（3），
解得：.（6分）
20.【解】（1）因为圆的圆心，半径，
所以，圆心O到直线的距离，由勾股定理可知，
圆被直线截得的弦长为（4分）
（2）圆C与圆的公共弦方程为，（2分）
因为该公共弦平行于直线，
则，（2分）
解得：
经检验时两圆内含，所以不存在符合条件的m（2分）
（3）假设这样实数m存在.
设弦AB中点为M，由已知得，即
所以点在以弦为直径的圆上.（2分）
设以弦为直径的圆方程为：，
整理得，
则圆心坐标为，即，
则（2分）
消去得：，
因为
所以方程无实数根，
所以，假设不成立，即这样的圆不存在.即m不存在.（2分）
21.【解】：（1）是.
如：取，则，，为严格递减数列.（时均可）.（4分）
（2）当时，
，（2分）
解得.（2分）
同理，当时，解得.
而此时确为B型数列，故为所求.（2分）
（3）证明下面两件事：对任意，①存在，使得；
②存在，使得.（即下标很大时，数列不可能总大于或总小于B）
用反证法证明①，②可同理得到.
若存在，使得当时，均有，则由B型数列定义，，
设.由题意，.
当时，.
而当时，，
故.
因此，也是型数列，与B的唯一性矛盾.证毕.（4分）
根据①、②可知，存在，使得，存在，使得.
由此，若，则存在，使得，
又存在，使得.
由①的证明知，如此递归选择的使得单的递增且严格递减，即为所求.（4分）