课件12张PPT。22.2 一元二次方程的解法22.2.1 直接开平方法和因式分解法第1课时 用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程1．利用________的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直接开平方法．
2．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“______”，转化为两个___________方程．
3．当p≥0时，x2＝p的解为_____________．
4．当把一元二次方程的一边化为0，而另一边易分解成两个一次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，得到两个_____________________，从而实现降次求解的目的，这种解法叫做因式分解法．平方根降次一元一次一元一次方程知识点1：用直接开平方法解方程的条件1．一元二次方程x2＝c有解的条件是( )
A．c>0 B．c<0
C．c≤0 D．c≥0DD 3．已知一元二次方程mx2＋n＝0(n≠0)，若方程有解，则必须( )
A．n＝0 B．m，n同号 C．n是m的整数倍 D．m，n异号D知识点2：用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程
4．方程x2＝9的解是( )
A．x＝±3 B．x＝3
C．x＝－3 D．x＝9A7．用直接开平方法解下列方程：
(1)x2－49＝0；
解：x1＝7，x2＝－7(2)4x2＝1；(3)3x2－36＝0；(4)6x2－3＝1.知识点3：用因式分解法解简单的一元二次方程8．一元二次方程x2＝4x的根是( )
A．x＝4 B．x＝0
C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝－4
9．(2014·舟山)方程x2－3x＝0的根为_________________．
10．一元二次方程x(x－6)＝0的两个实数根中，较大的根是_________．Cx1＝0，x2＝3x＝611．用因式分解法解方程：(1)x2＋7x＝0；
解：x1＝0，x2＝－7(2)4x2－2x＝0；(3)15x2＝3x.B A 14．下列说法错误的是( )
A．关于x的方程x2＝k必有两个互为相反数的实数根
B．关于x的方程(x＋k)2＝0必有两个相等的实数根
C．关于x的方程(x－m)2＝k2必有两个实数根
D．关于x的方程x2＝1－m2可能没有实数根A15．若x2＋3与x2－4互为相反数，则x的值为____________．
16．已知x＝1是关于x的方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根，则常数k的值为___________．0或117．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b＝a2－b2，则方程(4☆3)☆x＝13的解为x＝_________．±618．用直接开平方法解方程：(1)2x2－9＝0；(2)25－8y2＝0；(3)(t－7)(t＋2)＝0；解：t1＝7，t2＝－2(4)x(x－3)＋8x＝0.解：x1＝0，x2＝－519．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个根．20．关于x的一元二次方程(2m－4)x2＋3mx＋m2－4＝0有一根为0，求m的值．
解：将x＝0代入原方程，得m2－4＝0，解得m＝±2，∵2m－4≠0，m≠2，∴m＝－221．如图，在长和宽分别是m，n的矩形纸片和四个角上都剪去一个边长为x的正方形．(1)用m，n，x表示纸片剩余部分的面积；
解：mn－4x2(2)当m＝12，n＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．课件12张PPT。22.2 一元二次方程的解法22.2.1 直接开平方法和因式分解法第2课时 用直接开平方法和因式分解法解较复杂的一元二次方程 1．当p≥0时，(mx＋n)2＝p的解为_____________(m≠0)．
2．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①通过移项让方程的右边为____；②将方程的左边因式分解，写成含有一次式的两个因式的_____的形式；③让两个因式分别为0，通过解得到的一元一次方程即可求出一元二次方程的解．0积知识点1：用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程C x1＝4，x2＝0 3 4．解方程：(3)4(2x－1)2＝9.知识点2：用因式分解法解较复杂的一元二次方程D 6．方程x(x－2)＋x－2＝0的解是( )
A．2 B．－2，1
C．－1 D．2，－1DB 8．方程(x＋1)2＝x＋1的正确解法是( )
A．化为x＋1＝1
B．化为(x＋1)(x＋1－1)＝0
C．化为x2＋3x＋2＝0
D．化为x＋1＝0B9．解方程：(1)5(x－1)2＝1－x；(2)2(x－3)＝3x(x－3)；(3)(x－8)2＋2x(x－8)＝0.C C 12．下列方程不适合用因式分解法求解的是( )
A．3x2＝5x B．2x(3－x)＝x－3
C．x(x－2)＝－2 D．y2－(2y＋1)2＝0CA D 16．定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝ab＋b，当a(1)3(x－2)2－24＝0；(2)9(1－3x)2＝1；(3)6x(x＋1)＝6x＋6； 解：x1＝1，x2＝－1(4)2x2－3x＝2x－3；(5)3(x－5)2＝25－x2.18．观察下面方程的解法．
例：解方程x2－3x－4＝0.
分析：∵常数项－4＝－4×1，一次项系数－3＝－4＋1，∴x2－3x－4＝x2＋(－4＋1)x＋(－4)×1＝(x－4)(x＋1)．
解：原方程可化为(x－4)(x＋1)＝0，
∴x－4＝0或x＋1＝0.
∴x1＝4，x2＝－1.
请用上面的方法解答下列各题．
(1)一元二次方程x2＋7x＋12＝0的根是_________________；
(2)解方程：x2－2x－8＝0；
解：x1＝4，x2＝－2x1＝－3，x2＝－4(3)如图，已知△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝8，且a是方程x2－9x＋20＝0的根，求△ABC的面积．(提示：过点A作AD⊥BC于点D)课件13张PPT。22.2 一元二次方程的解法22.2.2 配方法1．通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的_________________，若右边是一个_______常数，则可以运用________________求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
2．用配方法解方程的一般步骤：(1)将常数项移至方程的_______；(2)把二次项系数化为1；(3)将方程左边配成一个含有未知数的______________；(4)运用______________求解．完全平方式非负直接开平方右边完全平方式直接开平方知识点1：配方1．已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k＝____；若x2－2kx＋9是完全平方式，则k＝___________．64±34 2 7 3．将代数式x2＋8x＋7化成(x＋p)2＋q的形式为( )
A．(x－4)2＋26 B．(x－4)2－26
C．(x＋4)2－9 D．(x＋4)2＋9C知识点2：用配方法解二次项系数是1的一元二次方程A 5．已知x2－8x＋15＝0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是( )
A．x2－8x＋42＝31 B．x2－8x＋42＝1
C．x2＋8x＋42＝1 D．x2－4x＋4＝－11B6．用配方法解一元二次方程x2－6x＝7时，此方程可变形为( )
A．(x＋3)2＝－2 B．(x－3)2＝－2
C．(x＋3)2＝16 D．(x－3)2＝16D7．若一元二次方程x2－6x－5＝0化成(x＋a)2＝b的形式，则b等于( )
A．－4 B．4 C．－14 D．14D8．用配方法解下列方程：
(1)x2＋4x＝0；解：x1＝0，x2＝－4(2)x2－10x－11＝0.
解：x1＝11，x2＝－1知识点3：用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程B D 11．用配方法解方程：
(1)2x2－3x－6＝0；B B 14．方程x2－6x＋q＝0可配方成(x－p)2＝7的形式，则x2－6x＋q＝2可以配方成下列的( )
A．(x－p)2＝5 B．(x－p)2＝9
C．(x－p＋2)2＝9 D．(x－p＋2)2＝5
15．若三角形两边的长分别为3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为( )
A．14 B．12
C．12或14 D．以上都不对
16．若a的值使得x2＋4x＋a＝(x＋2)2－1成立，则a的值为____．BB317．已知点P(x，y)满足x2－4x＋y2＋6y＋13＝0，且点P在函数y＝的图象上，则k的值为____．－618．用配方法解下列方程：
(1)2x2＋7x－4＝0；(2)x2－2x－6＝x－11；解：原方程无实数根 (3)x(x＋4)＝6x＋12；(4)3(x－1)(x＋2)＝x－7.解：原方程无实数根(1)上述步骤，发生第一次错误是在( )
A．第二步 B．第三步
C．第四步 D．第一步
(2)写出上述步骤中发生第一次错误的原因，并重新写出解方程6x2－x－1＝0的步骤．20．小明同学解方程6x2－x－1＝0的简要步骤如下：B21．用配方法把代数式3x－2x2－2化为a(x＋m)2＋n的形式，并说明不论x取何值时，这个代数式的值总是负数．并求出当x取何值时，这个代数式的值最大．课件15张PPT。22.2 一元二次方程的解法22.2.3 公式法b2－4ac≥0 一般形式 a，b，c b2－4ac ≥ < 符号 3．(1)在确定a，b，c的值时，一定要注意____________；
(2)当一元二次方程有两个相等的实数根时，方程的解应写成x1＝x2＝________，而不能写成x＝_______．知识点1：一元二次方程的求根公式1．将方程5x＝2x2－3化成一般形式是___________________，其中a＝____，b＝_____，c＝________，b2－4ac＝____．
2．如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)能用公式法求解，那么必须满足的条件是( )
A．b2－4ac≥0 B．b2－4ac≤0
C．b2－4ac>0 D．b2－4ac<02x2－5x－3＝02－5－349AD 知识点2：用公式法解一元二次方程D 5．一元二次方程2a2－4a－5＝0的解为_____________________．6．用公式法解方程：
(1)x2－3x＋1＝0；(2)1－x＝3x2.知识点3：用适当的方法解一元二次方程7．在下列各题的空格中填写适当的解法．
(1)解方程3x2－4x－2＝0，用_______法较适宜；
(2)解方程(5x－3)2＝7，用____________法较适宜；
(3)解方程x2＋2x＝1，用____________法较适宜；
(4)解方程3(4x－1)2＝7(1－4x)，用_____________法较适宜．公式开平方配方因式分解8．用适当的方法解一元二次方程：
(1)(x－5)(x＋7)＝1；(2)x2－4x＋3＝0；
解：x1＝1，x2＝3(3)2x2－3x－1＝0；(4)4x2－4x－1＝0.D 10．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，则m的值等于( )
A．1 B．2 C．1或2 D．0
11．用求根公式法解得某方程ax2＋bx＋c＝0的两根互为相反数，则( )
A．b＝0 B．c＝0
C．b2－4ac＝0 D．b＋c＝0BA0 13．已知三角形两边长是方程x2－2＋1＝0的两根，则三角形的第三边c的取值范围是_______________．2解：x1＝11，x2＝－9(2)x2＋5x＋2＝0；(3)x2＋3＝3(x＋1)．
解：x1＝0，x2＝318．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝3 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C以2 cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，几秒钟后P，Q两点的距离等于4 cm?课件14张PPT。22.2 一元二次方程的解法22.2.4 一元二次方程根的判别式1．_____________叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，常用符号“Δ”来表示．
2．用“Δ”可以直接判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根的情况：
(1)当Δ>0时，方程有________________实数根；
(2)当Δ＝0时，方程有_________________实数根；
(3)当Δ<0时，方程______________实数根．
上述结论反过来也成立．
3．计算判别式并用判别式判断方程根的情况时，方程必须先化为一元二次方程的________________．b2－4ac两个不相等的两个相等的没有一般形式知识点1：一元二次方程的判别式1．若有方程x(x＋10)＝－25，则b2－4ac＝____．
2．若方程x2－4x＋m＝0的根的判别式的值为4，则m＝____，方程的根为_______________．03x1＝1，x2＝3知识点2：一元二次方程根的情况3．(2014·自贡)一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是( )
A．x2＋6＝0 B．4x2－4x＋1＝0
C．x2－x＋2＝0 D．x2－2x－3＝0
5．一元二次方程x2－3x－5＝0的根的情况为________________________________________．DB有两个不相等的实数根6．不解方程，判定下列一元二次方程根的情况．
(1)9x2＋6x＋1＝0；
解：∵a＝9，b＝6，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝36－36＝0.∴此方程有两个相等的实数根
(2)16x2＋8x＝－3；
解：化为一般形式为：16x2＋8x＋3＝0.∵a＝16，b＝8，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝64－4×16×3＝－128<0.∴此方程没有实数根
(3)3(x2－1)－5x＝0.
解：化为一般形式为：3x2－5x－3＝0.∵a＝3，b＝－5，c＝－3，∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61>0.∴此方程有两个不相等的实数根知识点3：由一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值B 8．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是( )
A．4 B．－4 C．1 D．－1D9．(2014·益阳)一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m应满足的条件是( )
A．m>1 B．m＝1
C．m<1 D．m≤1
10．对于方程x2＋5x＋m＝0，其判别式Δ＝___________，当m_____时，方程有两个不相等的实数根；当m_____时，方程有两个相等的实数根；当m______时，方程没有实数根．
11．如果关于x的方程x2－x＋k＝0(k为常数)有两个实数根，那么k的取值范围是__________．D25－4m 12．(2014·宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b<0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是( )
A．b＝－1 B．b＝2
C．b＝－2 D．b＝0
13．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A．k>－1 B．k<1且k≠0
C．k≥－1且k≠0 D．k>－1且k≠0AD14．关于x的一元二次方程x2－mx＋(m－2)＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
15．若关于x的一元二次方程nx2－2x－1＝0无实数根，则一次函数y＝(n＋1)x－n的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限AC0 17．关于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是__________．
18．已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(b－c)x2＋2(a－b)x＋b－a＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形一定是______三角形．a≥1等腰21．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．22．已知一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值．解：(1)∵Δ＝b2－4ac＝(2k＋1)2－4(k2＋k)＝1>0，∴方程有两个不相等的实数根 (2)∵方程有两个不相等的实数根，∴AB＝AC不成立．∴要使△ABC是等腰三角形，则AB与AC其中一条边与BC相等，即方程必有一根为5，∴52－5(2k＋1)＋k2＋k＝0，解得k＝4或k＝5.经检验k＝4或k＝5均符合题意．即k的值为4或5课件15张PPT。22.2 一元二次方程的解法22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系－p q 一般 ≥ 知识点1：一元二次方程根与系数的关系1．(2014·昆明)已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个根，则x1·x2等于( )
A．－4 B．－1 C．1 D．4
2．下列一元二次方程两实数根的和为－4的是( )
A．x2＋2x－4＝0 B．x2－4x＋4＝0
C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝0
3．已知方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－x1·x2的值为( )
A．－7 B．－3 C．7 D．3CDD4．方程x2＝1－2x的两根的和等于________．－25．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：(2)3x2－2x－1＝0；(3)2x2＋3＝7x2＋x；(4)5x－5＝6x2－4.知识点2：一元二次方程根与系数的运用6．已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12x2＋x1x22的值为( )
A．－3 B．3 C．－6 D．6AD 8．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则这个方程的另一个根是_________．
9．已知关于x的方程x2－mx＋n＝0的两个实根是0和－3，则m＝_______，n＝____．
10．(2014·莱芜)若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝______．
11．若一元二次方程x2－(a＋2)x＋2a＝0的两个实数根分别是3，b，则a＋b＝____． －3－30－1512．已知x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，不解方程，求下列代数式的值；解：由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1x2＝－2.(2)x12＋x22；解：原式＝(x1＋x2)2－2x1x2＝9＋4＝13(4)x12－3x1x2＋x22；解：原式＝(x12＋x22)－3x1x2＝13－3×(－2)＝19(5)(x1－2)(x2－2)．解：原式＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝－2－6＋4＝－4D 14．(2014·来宾)已知一元二次方程的两根分别是2和－3，则这个一元二次方程是( )
A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋2x－3＝0
C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－6＝0D15．如果关于x的一元二次方程x2＋4x＋a＝0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2－2x1－2x2－5＝0，那么a的值为( )
A．3 B．－3 C．13 D．－13B16．(2014·呼和浩特)已知m，n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n＝____．
点拨：∵m，n是方程的两个实数根，∴mn＝－5，m＋n＝－2，∵m2＋2m－5＝0，∴m2＝5－2m，原式＝(5－2m)－mn＋3m＋n＝10＋m＋n＝10－2＝8817．在解某个二次项系数为1的方程时，甲看错了一次项系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两根为8，2.则这个方程为_____________________．x2－10x＋9＝018．若关于x的一元二次方程x2－4x＋k－3＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．19．关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数根是x1和x2.
(1)求k的取值范围；
(2)如果x1＋x2－x1x2<－1，且k为整数，求k的值．解：(1)∵b2－4ac＝4－4(k＋1)≥0，∴k≤0(2)∵x1＋x2＝－2，x1x2＝k＋1，由已知得－2－(k＋1)<－1，解得k>－2，又k≤0，且k为整数，∴k＝－1或020．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1和x2.
(1)求实数m的取值范围；
(2)当x12－x22＝0时，求m的值．21．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k使得x1·x2－x12－x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
