数学人教A版（2019）必修第一册3.1.1函数的概念 课件（共28张ppt）

(共28张PPT)
3.1.1函数的概念
回顾：初中学习的函数概念是什么？
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的任意一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
如：正方形的周长l与边长x的关系式是l=4x，
对于每一个确定的x，都有唯一的l与之对应，∴l是x的函数.
已学的函数模型：
问题1.某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t.
t和S是两个变量，且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，故S是t的函数．
思考1.1:有人说“根据对应关系S=350t,这趟列车加速到350km/h后,运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗
此说法错误。理由：没有注意t的变化范围。根据问题1的条件,
不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况.
（1）这段时间内，列车行进的路程S与运行时间t的关系是什么？
（2）变量t的取值范围是什么？变量S的取值范围是什么？试用集合表示.
（3）根据函数的定义，如何表述S与t的对应关系更为精确？
自变量的集合
对应关系
函数值的集合
对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系S=350t，
在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应．
问题2.某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资,那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资 一个工人的工资w(单位:元)是他工作天数d的函数吗
对于数集A2中的任一个工作天数d ，按照对应关系②，
在数集B2中都有唯一确定的工资w和它对应．
（1）工资w与一周工作天数d的关系是什么？这是一个函数吗？
（2）变量d的取值范围是什么？变量w的取值范围是什么？试用集合表示.
自变量的集合
对应关系
函数值的集合
（3）根据函数的定义，你认为如何表述w与d的对应关系才是更为精确的？
问题3.下图是某市某日的空气质量指数变化图..
自变量的集合
对应关系
函数值的集合
思考1：如何根据该图确定这一天内任一时刻t的空气质量指数的值I
思考2：你认为这里的I是t的函数吗？
自变量的集合
对应关系
函数值的集合
问题4.国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表是我国某城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可看出该省城镇居民生活质量越来越高.
年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 28.89 29.35 28.57
思考：你认为按上表给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗 如果是,你会用怎样的语言来刻画这个函数
上述问题的共同特征有：
①都包含两个非空数集A和B
②都有一个对应关系
③对于数集A中的任意一个数，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的与之对应
思考6：上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征 你能由此概括出函数概念的本质特征吗
一个对应关系
两个非空数集
事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系。
一般地，设A，B是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f : A→B为集合A到集合B的一个函数，记作
【函数的三要素】
定义域
值域
对应关系
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的取值范围 叫做函数的值域.
定义域
值域
解析式
图
表
C3 B3
C4 B4
f
思考：这两个函数是同一个函数吗？影响函数的要素有哪些？
自变量的集合
对应关系
函数值的集合
自变量的集合
对应关系
函数值的集合
S=350t和w=350d不是同一个函数，因为t与d的取值范围不同.
“ y=f (x), x∈A ”的理解：
例如：f (x)=x2+3x+1, x∈[0,4]
符号 x∈A y=f(x) f f(x) f(a)
含义 函数的定义域为A 函数符号,表示x在对应关系f的作用下可得对应的函数值y 对应法则，表示对x实施“对应”操作的方式 函数值y，或函数y=f(x)的简记 当x=a时函数f(x)的取值
备注 见函数先看定义域 不能理解为 “y等于f乘x” 可为解析式、图象、表格、Venn图等 f(x)=2x+1 g(x)=x3 f(a)是f(x)的一个特殊值,是一个相对确定的数.
｛｝
；
｛｝
请写出初中阶段所学习函数的定义域、对应关系、值域：
例1：函数的解析式是舍弃问题的实际背景抽象而来的，它所反映的是两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如，正比例函数可以用来刻画匀速直线运动中的路程和时间之间的规律、某个均匀物体的质量与体积之间的规律，圆的周长与直径之间的关系等.
试构建一个问题情景，使其中的变量关系可以用解析式描述：
长方形的周长为20，设一边长为，面积为，那么
的取值范围是A={}， 的取值范围是B={|}；
对应关系是把每一个长方形的边长，对应到唯一确定的面积
解: 看成二次函数，
那么它的定义域是R，值域是B={|}
对应关系把R中的任意一个实数，对应到B中唯一确定的数
如果对的取值作出限制，如，可以构建如下情景：
练习1：下列可作为函数y= f (x)的图象的（ ）
　Ａ　　　　　　Ｂ　　　　　Ｃ　　　　Ｄ
x
x
x
x
y
y
y
y
O
O
O
O
D
0
x
y
2
2
1
0
x
y
2
1
2
1
0
x
y
2
1
2
0
x
y
2
1
2
1
练习2：设A={x|0≤x≤2}, B={y|1≤y≤2}.下图表示从A到B的函数是( )
A
D
C
B
D
概念辨析和应用
研究函数时常会用区间来表示
设a,b 是两个实数，而且. 我们规定：
（1）满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为；
（2）满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为；
（3）满足不等式的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为，；
（4）这里的实数a和b都叫做区间的端点
各个区间的含义及表示方法如下表所示：
闭区间
开区间
左开右闭区间
左闭右开区间
[]
()
(]
[
a＜b
在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括区间内的端点。
实数集可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，
“”读作“负无穷大”， “”读作“正无穷大”；
满足不等式， ， ， 的实数x的集合，用区间分别表示为, , , .
[)
()
(]
()
1、区间是集合的另一种表示形式，注意与不等式的区别；
如：x≥－1与[－1，＋∞)是完全不同的.
2、写区间的端点时，一定注意书写准确；
3、含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；
4、注意区间左端点值一定要小于右端点值，否则为空集，这在许多解题中是非常重要的隐含条件，不能忽视；
5、以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号；
6、区间中的元素都是数字，并且必有无限多个；
归纳总结：
题型一 求函数的定义域．
1.分母不能为0；
2.偶次根式下的数大于等于0；
3.零次幂的底数不能为0；
例题：已知函数 的定义域
（1）求函数的定义；
（2）求的值；
（3）当时，求, 的值.
（2）将与分别代入解析式，有
.
（3）因为，所以有意义.
.
（1）
（2）
（3）
（4）
练习 求下列函数的定义域．
只需判断定义域与对应关系是否一致.
函数的三要素：(1)定义域A （2）对应关系 （3）值域{|}
推论：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系一致，那么这两个函数是同一个函数.
题型二 判断两个函数是否为同一个函数．
例如：函数和函数，
虽然表示它们的字母不同，但它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数.
补充：如果两个函数的图象相同，那么这两个函数也是同一个函数.
例题：下列函数中哪个与函数是同一个函数？
(1); (2); (3); (4)
函数序号 定义域 对应关系 是否与函数相同 不相同的原因
（1） ) 否 定义域不同
（2） 是
（3） 否 对应关系不同
（4） 否 定义域不同
解： 函数的定义域为，
拓展：求抽象函数的定义域（括号内范围相同）．
例题:
解：
解：