泉港区 2023-2024 学年度高一上数学 12 月月考试卷
考试时间：100 分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷（选择题）
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分）
1 2．集合 A x x x 6 0 ,B 2,3 ，则 A B （ ）
A． B． 2 C． 3 D． 2,3
2．已知 x R ，则“ x3 8 ”是“ x > 2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4
3．若 x 2，则 y x 的最小值为（ ）
x 2
A．4 B．5 C．6 D．8
4．若关于 x的不等式 ax2 ax 2 0的解集是R ，则 a的取值范围是（ ）
A． 0,8 B． 0,8
C． ,0 8, D． ,0 8,
5 x．函数 f x 1 lg 3 2 的零点为（ ）
A． log3 8 B．2 C． log3 7 D． log2 5
2
f x x 4x 6, x 06．已知函数 ，则不等式 f x ＞f 1 的解集是（ ）
x 6, x＜0
A． 3,1 3, B． , 1 2,3
C． 1,1 3, D． , 3 1,3
(3a 1)x 4a, x 1,
7．已知 f（x）＝
loga x, x 1
是 R 上的减函数，那么 a的取值范围是（ ）
1 1 1 1 1
A．(0，1) B． , C． 0, D． , 7 3 3 9 3
第 1页，共 4页
{#{QQABAYAEoggAAAJAARhCAQHICgMQkBCAAKoGAAAAMAABwQNABAA=}#}
1 2x 1 a
8 2
x
．若不等式 log2 x 1 log2 3,x ,1 恒成立，则实数 a的范围是（ ）3
A．[0, ) B．[1, ) C． ( , 0] D． ( ,1] .
二、多选题（每小题 5 分，共 20 分）
9．下列结论正确的是（ ）
7π
A． 6 是第二象限角
3π
B．第三象限角的集合为 | π 2kπ 2kπ, k Z
2
C ．终边在 y轴上的角的集合为 | kπ
π
,k Z
2
D．若角 为锐角，则角 2 为钝角
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 a b，则 ac2 bc2 B．若 2 a 3,1 b 2，则 4 a b 2
C．若b a 0,m 0
m m
，则 D．若 a b,c d ，则 ac bd
a b
x
11. 已知函数 f (x) e 1 x ，则（ ）e 1
A． f x 为奇函数
B． f x 在 ,0 U 0, 上单调递减
C． f x 值域为 , 1 1,
D． f f x 的定义域为 x x 0
12．已知函数 y f x 1 图象关于 y轴对称，且 x1, x2 1, ， x1 x2 都有
f x2 f x1 0．若不等式 f 5 a 2 x f 2x 2 x 1 ，对 x log2 3, 恒成立，则 ax2 x1
的取值可以为（ ）
A． 25 B． 20
C． 4 D． 3
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．已知幂函数 f (x) (m 2 2m 2)x m 1 在区间 (0, )上单调递减，则m ．
第 2页，共 4页
{#{QQABAYAEoggAAAJAARhCAQHICgMQkBCAAKoGAAAAMAABwQNABAA=}#}
2x 1
14．函数 f x ln 5 x 的定义域是 .
x 3
15 x m．已知定义在 R 上的函数 f x 2 1 （m为实数）为偶函数，记
a f (log0.5 3),b f log2 5 ,c f 2m ，则 a,b,c 的大小关系为 ．
2
16．已知函数 f x loga 1 1（a 0且 a 1），若定义域上的区间 m,n ，使得 f x
x 1
在 m,n 上的值域为 loga 2n, loga 2m ，则实数 a的取值范围为 .
四、解答题（第 17 题 10 分,18-22 每题 12 分，共 70 分）
1 1
2 2 1
17．(1)计算： 81 4 1 log log 3 log 4 1 7 7 16 4 2 3
2 .
3
(2)已知角 的终边在直线 y 3x上，求 sin ， cos ， tan 的值．
18．已知函数 f（x）是定义在 R上的奇函数，且当 x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．
(1)求函数 f（x）在 R上的解析式；
(2)解关于 x的不等式 f（x）＜3．
19．函数 f x loga 3 x loga x 3 a 0且a 1 ．
(1)求函数 f x 的定义域；
(2)当 x 1, 5 时，求 f x 的值域．
20．已知函数 f x 对任意的实数m， n，都有 f m n f m f n 1，且当 x 0时，
有 f x 1 .
（1）求 f 0 的值；
（2）求证： f x 在 R上为增函数；
（3）若 f 2 3，且关于 x的不等式 f ax 2 f x x2 3对任意 x 1, 恒成立，求
实数 a的取值范围.
第 3页，共 4页
{#{QQABAYAEoggAAAJAARhCAQHICgMQkBCAAKoGAAAAMAABwQNABAA=}#}
21．近年我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区 2019年底新能源汽车保有量为 1500
辆，2020年底新能源汽车保有量为 2250辆，2021年底新能源汽车保有量为 3375辆．
(1)根据以上数据，设从 2019年底起经过 x年后新能源汽车保有量为 y辆，试从
① y a b x ( a 0,b 0且b 1)；② y ax b(a 0)两种函数模型中选择一个最恰当的模型
来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），求出新能源汽车保有量 y关于 x的
函数关系式；
(2)2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，预计每年传统能源汽车保有量下降2%，
假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车
保有量将超过传统能源汽车保有量．
（参考数据: lg 2 0.30， lg 3 0.48， lg 7 0.85）
22 x．已知函数 f x 1 log2 x ， g x 2 .
(1)若F x f g x g f x ，求函数 F x 在 x 1,4 的值域；
g x
(2)若H x ，求证H x H 1 x
1 .求
g x 2
H 1 H 2 H 3 H
2021 的值；
2022 2022 2022 2022
(3)令 h x f x 1，则G x h2 x 4 k f x ，已知函数G x 在区间 1,4 有零点，求
实数 k的取值范围.
第 4页，共 4页
{#{QQABAYAEoggAAAJAARhCAQHICgMQkBCAAKoGAAAAMAABwQNABAA=}#}2023-2024 学年度高中数学 12 月月考卷
试卷
考试时间：100 分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷（选择题）
一、单选题（共 40 分）
1 2．（本题 5分）集合 A x x x 6 0 ,B 2,3 ，则 A B （ ）
A． B． 2 C． 3 D． 2,3
【答案】B
【分析】求出 A 3,2 ，根据交集概念求出答案.
2
【详解】 A x x x 6 0 3, 2 ，故 A B 2 .
故选：B
2．（本题 5分）已知 x R ，则“ x3 8 ”是“ x > 2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分别求得 x3 8与 x > 2的等价条件，从而利用充分必要条件的定义即可得解.
【详解】 x3 8 x 2， x 2 x 2或 x< 2，
所以前者可以推得后者，后者不能推得前者，
则“ x3 8 ”是“ x > 2 ”的充分不必要条件.
故选：A.
4
3．（本题 5分）若 x 2，则 y x 的最小值为（ ）
x 2
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据基本不等式即可求解.
4 4
【详解】 y x x 2 2，
x 2 x 2
4 4
因为 x 2，所以 x 2 0，所以 y x 2 2 2 x 2 2 4 2 6 ，
x 2 x 2
4
当且仅当 x 2 ，即 x 4时等号成立，
x 2
试卷第 1页，共 14页
{#{QQABAYAEoggAAAJAARhCAQHICgMQkBCAAKoGAAAAMAABwQNABAA=}#}
故最小值为 6，
故选：C
4．（本题 5分）若关于 x的不等式 ax2 ax 2 0的解集是R ，则 a的取值范围是（ ）
A． 0,8 B． 0,8
C． ,0 8, D． ,0 8,
【答案】B
【分析】对 a分类讨论,利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可得出.
【详解】当 a 0时， 2 0恒成立，则 a 0符合题意；
a 0
当 a 0时，由题意可得 2
a 8a 0
，解得0 a 8
综上， a的取值范围是 0,8 .
故选：B
5 x．（本题 5分）函数 f x 1 lg 3 2 的零点为（ ）
A． log3 8 B．2 C． log3 7 D． log2 5
【答案】A
【分析】根据零点的定义即可求解.
x
【详解】令 f x 1 lg 3 2 0，得3x 2 10，则 x log3 8．
故选：A
x2 4x 6, x 0
6．（本题 5分）已知函数 f x ，则不等式 f x ＞f 1 的解集是（ ）
x 6, x＜0
A． 3,1 3, B． , 1 2,3
C． 1,1 3, D． , 3 1,3
【答案】A
【分析】利用分段函数，将不等式化为具体不等式，即可得出结论．
【详解】解： f 1 1 4 6 3，
当 x 0时， x2 4x 6 3，所以0 x 1或 x 3；
当 x 0时， x 6 3，所以 3 x 0，
所以不等式 f (x) f (1)的解集是 3，1 3， )，
故选：A．
试卷第 2页，共 14页
{#{QQABAYAEoggAAAJAARhCAQHICgMQkBCAAKoGAAAAMAABwQNABAA=}#}
(3a 1)x 4a, x 1,
7．（本题 5分）已知 f（x）＝
loga x, x 1
是 R 上的减函数，那么 a的取值范围
是（ ）
1 1
A．(0，1) B． , 7 3
C． 0,
1 1 1
D． ,
3 9 3
【答案】B
【分析】要使函数 f (x)在 ( , )上为减函数，则要求①当 x 1， f (x) (3a 1)x 4a
在区间 ( ,1)为减函数，②当 x 1时，f (x) loga x在区间[1, )为减函数，③当 x 1
时， (3a 1) 1 4a log a1，综上①②③解不等式组即可.
【详解】令 g(x) (3a 1)x 4， h(x) log a x .
要使函数 f (x)在 ( , )上为减函数，
则有 g(x) (3a 1)x 4在区间 ( ,1)上为减函数，
h(x) loga x在区间[1, )上为减函数且 g(1) h(1) ,
3a 1 0
∴ 0 a 1 , 1解得 a 17 3 .
g(1) (3a 1) 1 4a loga1 h(1)
故选：B．
【点睛】考查根据分段函数的单调性求参数的问题，根据单调性的定义，注意在分段点
处的函数值的关系，属于中档题.
1 2x 1 a 2x8．（本题 5分）若不等式 log2 x 1 log2 3,x ,1 恒成立，则实数 a3
的范围是（ ）
A．[0, ) B．[1, ) C． ( , 0] D． ( ,1] .
【答案】D
【分析】先将不等式化简，进而参变分离转化为求函数最值问题，最后解得答案.
log 1 2
x (1 a)3x x x
【详解】题设不等式化为 2 log 3
x 1 1 2 (1 a)3，即 3x 1，
3 2 3
1 x x
1 2x a 3x a
2
， 3
，
3
y 1
x x
2
易知 是减函数， x 1时， y
1 2
1，
3 3 3 3
试卷第 3页，共 14页
{#{QQABAYAEoggAAAJAARhCAQHICgMQkBCAAKoGAAAAMAABwQNABAA=}#}
1 x 2 x
所以由不等式 a 上恒成立得 a 1 .
3 3
故选：D.
二、多选题（共 20 分）
9．（本题 5分）下列结论正确的是（ ）
7π
A． 6 是第二象限角
3π
B．第三象限角的集合为 | π 2kπ 2kπ, k Z2
C．终边在 y 轴上的角的集合为 | kπ
π
,k Z
2
D．若角 为锐角，则角 2 为钝角
【答案】AC
【分析】根据终边相同角的表示，可以判断 A错误，C正确；根据象限角的表示可以判
断 B错误；举特例可以判断 D错误.
7π 5π 5π
【详解】对于选项 A：因为 2π，且 为第二象限角，
6 6 6
7π
所以 6 是第二象限角，故 A正确；
对于选项 B：第三象限角的集合为 | π 2kπ
3π
2kπ, k Z ，故 B错误；
2
π
对于选项 C ：终边在 y轴上的角的集合为 | kπ ,k Z2 ，故 C正确；
π
对于选项 D：若角 为锐角，即0 ，则0 2 π，所以角 2 不一定为钝角，
2
π π例如 ，则 2 为直角，故 D错误；
4 2
故选：AC.
10．（本题 5分）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 a b，则 ac2 bc2 B．若 2 a 3,1 b 2，则 4 a b 2
C．若b a 0,m 0
m m
，则 D．若 a b,c d ，则 ac bd
a b
【答案】BC
【分析】由不等式的性质对合选项一一进行判断可得答案.
【详解】解：A项，若 a b，取 c = 0，可得 ac2 bc2，故 A不正确；
B项, 若 2 a 3,1 b 2 ,可得： 2 b 1，故 4 a b 2，故 B正确；
C项，若b a 0,可得0
1 1
，由m 0
m m
可得： ，故 C正确；
b a a b
试卷第 4页，共 14页
{#{QQABAYAEoggAAAJAARhCAQHICgMQkBCAAKoGAAAAMAABwQNABAA=}#}
C项，举反例，虽然5 2, 1 2，但是 5 4，故 D不正确；
故选：BC.
【点睛】本题主要考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题型.
x
11 e 1．（本题 5分）已知 f (x)
ex
，则（ ）
1
A． f x 为奇函数
B． f x 在 ,0 U 0, 上单调递减
C． f x 值域为 , 1 1,
D． f f x 的定义域为 x x 0
【答案】ACD
【分析】对于A ,利用奇函数的定义即可判断；对于B,可以利用减函数的定义进行判断；
对于C,可利用分离常数法进行求解；对于D,可利用定义域的性质进行求解.
【详解】对于A ,由 ex 1 0，得 x 0,所以函数的定义域为 x x 0 ，
1 ex
f ( x) e
x 1 x 1 ex
又 e x x x f (x),所以 f x 1 e 为奇函数，故e 1 1 e A正确；
ex
对于B,设 x1 x2 ,x1 ,x2 ,0 U 0, ，
ex1 1 ex2 1 (ex1 1)(ex2 x2f (x 1) (e 1)(e
x1 1) 2(ex2 ex1 )
则 1) f (x2 ) x ，e 1 1 ex2 1 (ex1 1)(ex2 1) (ex1 1)(ex2 1)
因为 x1 x2 ,x1 ,x2 ,0 U 0, ，所以当 x1 0, x2 0时，
x2 x1
ex2 ex1 0, ex2 1 0,ex1 1 0, 所以 f (x1) f (x )
2(e e )
2 x 0,(e 1 1)(ex2 1)
则 f (x1) f (x2)，不符合单调递减函数的定义，故B错误；
exC, f (x) 1 2对于 因为 x 1 ，e 1 ex 1
x x 1又 e 1 1且 e 1 0，所以 x ( , 1) (0, )，e 1
则 f (x) 1
2
x ( , 1) (1, )，故C正确；e 1
对于D,由以上项分析函数 f (x)的定义域为 x x 0 且 f (x) 0,，故 f f x 的定义域
为 x x 0 ,故D正确；
故选：ACD.
12．（本题 5分）已知函数 y f x 1 图象关于 y轴对称，且 x1, x2 1, ，x1 x2 都
试卷第 5页，共 14页
{#{QQABAYAEoggAAAJAARhCAQHICgMQkBCAAKoGAAAAMAABwQNABAA=}#}
f x2 f x1 0 f 5 a 2 x f 2x有 ．若不等式 2 x 1 ，对 x log2 3, 恒成x2 x1
立，则 a的取值可以为（ ）
A． 25 B． 20
C． 4 D． 3
【答案】BC
【分析】由题可得 y f x 的图象关于 x 1对称，且在 1, 上单调递增，进而将不
等式转化为 5 a 2 x 1 2 x 2 x 1 1 ，对 x log2 3, 恒成立，然后利用换元法
结合二次函数的性质可得 a的取值范围，即得.
【详解】因为函数 y f x 1 图象关于 y轴对称，
f x2 f x1
所以 y f x 的图象关于 x 1对称，又 x1, x2 1, ，x1 x2 都有 0，x2 x1
所以函数 y f x 在 1, 上单调递增，
x x x
因为不等式 f 5 a 2 f 2 2 1 ，对 x log2 3, 恒成立，
所以 5 a 2 x 1 2 x 2 x 1 1 ，对 x log2 3, 恒成立，
x t 3, 4 a t 1令 t 2 ，则 ，则 ，t t
所以 t 2 4t 1 a t 2 4t 1，对 t 3, 恒成立，
因为 t 3, ， t2 4t 1 t 2 2 5 20， t2 4t 1 t 2 2 5 4，
故 20 a 4，所以 BC正确，AD错误.
故选；BC.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若 f (x)在区间D上有最值，则
（1）恒成立： x D, f x 0 f x 0； x D, f x 0 fmin x 0max ；
（2）能成立： x D, f x 0 f x 0； x D, fmax x 0 f x 0min .
若能分离常数，即将问题转化为： a f x （或 a f x ），则
（1）恒成立： a f x a f x ； a f x a f xmax min；
（2）能成立： a f x a f x min； a f x a f x max .
试卷第 6页，共 14页
{#{QQABAYAEoggAAAJAARhCAQHICgMQkBCAAKoGAAAAMAABwQNABAA=}#}
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（共 20 分）
13．（本题 5分）已知幂函数 f (x) (m 2 2m 2)x m 1 在区间 (0, )上单调递减，则
m ．
【答案】 1
【分析】利用幂函数的定义及单调性求解即得.
【详解】由幂函数的定义知，m2 2m 2 1，即m2 2m 3 0，解得m 3或m 1，
当m 3时， f (x) x2在区间 (0, )上单调递增，不符合题意，
当m 1时， f (x) x 2在区间 (0, )上单调递减，符合题意，所以m 1 .
故答案为： 1
2x 1
14．（本题 5分）函数 f x ln 5 x 的定义域是 .
x 3
【答案】 3,5
【分析】根据题意，列出不等式，即可得到结果.
5 x 0
【详解】由题意可得 ，解得3 x 5，即函数 f x 的定义域是 3,5 .
x 3 0
故答案为： 3,5
15 x m．（本题 5分）已知定义在 R 上的函数 f x 2 1 （m为实数）为偶函数，记
a f (log0.5 3),b f log2 5 ,c f 2m ，则 a,b,c 的大小关系为 ．
【答案】 c
【详解】因为函数 f x 2 x m 1 x为偶函数，所以m 0，即 f x 2 1，所以
1 log 12a f (log 3) f 3 log 30.5 log2 2 1 2 2 1 3 1 2,
3
b f log 5 2log2 52 1 4,c f 2m f (0) 20 1 0
所以 c【考点定位】1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，先由函数奇偶性知
识求出m的值，计算出相应的 a,b,c的值比较大小即可，是中档题. 其中计算 a的值时易
错.
2
16．（本题 5分）已知函数 f x loga 1 x 1 1（a 0且 a 1），若定义域上的区间
试卷第 7页，共 14页
{#{QQABAYAEoggAAAJAARhCAQHICgMQkBCAAKoGAAAAMAABwQNABAA=}#}
m,n ，使得 f x 在 m,n 上的值域为 loga 2n, loga 2m ，则实数 a的取值范围为 .
3 2 2
【答案】 0,
2
【分析】根据对数函数定义域要求可求得 f x 定义域，根据定义域和值域的区间端点
值大小关系可确定 0 a 1，从而确定m,n是方程 f x loga 2x的两根，由此将问题转
化为方程 2ax2 2a 1 x 1 0 在 1, 有两个不等实根的问题，由此构造不等式求得结
果.
x 1
【详解】 f x loga 1 \ f (x)定义域为 , 1 U 1, x 1
m n且 loga 2n loga 2m 0 a 1
y 2 1 在 , 1 , 1, 上单调递增 \ f (x)在 , 1 , 1, 上单调递减x 1
f m loga 2m， f n loga 2n
n m 1且m,n是方程 f x loga 2x
x 1
的两根 loga 2x loga 1x 1
x 1 2x x 1
即 loga 2x loga loga 1x 1 x 1
2ax x 1 x 1在 1, 上有两个不等实根
即 2ax2 2a 1 x 1 0 在 1, 上有两个不等实根
2a 1 2 8a 0
2a 1 1 0 a 3 2 2
3 2 2
，解得： a的取值范围为 0,
4a 2
2
2a 2a 1
1 0
3 2 2
故答案为： 0,
2
【点睛】本题考查根据函数定义域和值域求解参数范围的问题，涉及到函数单调性的应
用、对数方程的求解、一元二次方程在区间内有实根的问题；关键是能够根据函数定义
域和值域确定函数的单调性，利用单调性确定m,n是方程 f x loga 2x的两根，将问
题转化为一元二次方程在区间内有实根问题的求解.
四、解答题（共 70 分）
试卷第 8页，共 14页
{#{QQABAYAEoggAAAJAARhCAQHICgMQkBCAAKoGAAAAMAABwQNABAA=}#}
1 1
81 1 1 217 10 1 4
2 log 1
．（本题 分）（ ）计算： log 3 log 4
7
7 2 .3
16 4 2 3
5
【答案】
2
【分析】根据指数幂，对数的运算法则计算得到答案.
1 1
81
4 1 1
2
2 log 1【详解】 log 2 3 log 34 7
7 2 2 1 1 log 23 log 32
16 4 3 3 3 2
2 1 1 1 5 .
3 3 2 2
（2）已知角 的终边在直线 y 3x上，求 sin ， cos ， tan 的值．
【答案】答案见解析
【分析】分类讨论，取特殊点的坐标，由三角函数定义计算可得．
【详解】解：因为角 的终边在直线 y 3x上,
当角 的终边在第一象限时，在 的终边上取点 1,3 ，
则 sin
3 3 10
， cos
1 10
， tan 3；
12 32 10 12 32 10
当角 的终边在第三象限时，在 的终边上取点 1, 3 ，
3 3 10 1 10
则 sin ，cos ， tan 3 .
12 32 10 12 32 10
18．（本题 12分）已知函数 f（x）是定义在 R上的奇函数，且当 x＞0时，f（x）＝﹣
x2+2x．
(1)求函数 f（x）在 R上的解析式；
(2)解关于 x的不等式 f（x）＜3．
x2 2x, x 0
【答案】(1) f x 0, x 0
x
2 2x, x 0
(2) 3,
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
（2）利用分段函数的表达式分别进行求解即可．
2
【详解】（1）当 x 0时， x 0，则 f x x 2 x x 2 2x ，
由 f x 是定义在 R 上的奇函数，得 f x f x x2 2x，且 f 0 0，
试卷第 9页，共 14页
{#{QQABAYAEoggAAAJAARhCAQHICgMQkBCAAKoGAAAAMAABwQNABAA=}#}
x2 2x，x 0
故 f x 0，x 0 ．
x
2 2x，x 0
（2）当 x 0时， x2 2x 3恒成立；
当 x 0时， 0 3显然成立；
当 x 0时， x2 2x 3解得 3 x 1，即 3 x 0 .
综上所述：不等式的解集为 3, ．
19．（本题 12分）函数 f x loga 3 x loga x 3 a 0且a 1 ．
(1)求函数 f x 的定义域；
(2)当 x 1, 5 时，求 f x 的值域．
【答案】(1) 3,3
(2)答案见解析
【分析】（1）由对数真数大于零可构造方程组求得定义域；
（2）将函数解析式化为 f x loga 9 x 2 ，由二次函数值域求法可求得9 x2的范围，
结合对数函数单调性可求得结果.
3 x 0
【详解】（1）由 得： 3 x 3，\ f (x)的定义域为 3,3 .
x 3 0
（2） f x loga 3 x loga x 3 loga 9 x2 ，
当 x 1, 5 时， 4 9 x2 9，
则当 0 a 1时， loga 9 f x loga 4；当 a 1时， loga 4 f x loga 9；
综上所述：当 0 a 1时， f x 的值域为 loga 9, loga 4 ；当 a 1时， f x 的值域为
loga 4, loga 9 .
20．（本题 12分）已知函数 f x 对任意的实数m，n，都有 f m n f m f n 1，
且当 x 0时，有 f x 1 .
（1）求 f 0 的值；
（2）求证： f x 在 R上为增函数；
试卷第 10页，共 14页
{#{QQABAYAEoggAAAJAARhCAQHICgMQkBCAAKoGAAAAMAABwQNABAA=}#}
（3）若 f 2 3 2，且关于 x的不等式 f ax 2 f x x 3对任意 x 1, 恒成立，
求实数 a的取值范围.
【答案】（1） f 0 1；（2）证明见解析；（3） 5,2 3 1 .
【解析】（1）利用赋值法，m＝n＝0求 f（0）；
（2）设 x1，x2是 R上任意两个实数，且 x1＜x2，令 m＝x2﹣x1，n＝x1，通过函数的单调
性的定义直接证明 f（x）在 R上为增函数；
（3）由原不等式可化为 f（ax﹣2+x﹣x2）+1＜3，化为 f[﹣x2+（a+1）x﹣2]＜f（1），对
任意的 x∈[﹣1，+∞）恒成立，然后构造函数 g（x）＝x2﹣（a+1）x+3，即 g（x）min
＞0成立即可，利用二次函数的性质，通过分类讨论求解实数 a的取值范围．
【详解】（1）由 f m n f m f n 1，故此令m n 0，则 f 0 2 f 0 1，则
f 0 1；
（2）设 x1，x2是 R上任意两个实数，且 x1＜x2，则令 m＝x2﹣x1，n＝x1，
则 f（x2）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1，所以 f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣1，
由 x1＜x2得 x2﹣x1＞0，所以 f（x2﹣x1）＞1，故 f（x2）﹣f（x1）＞0，即 f（x1）＜f（x2），
故此，函数 f x 为 R上增函数；
（3）由已知条件得： f ax 2 f x x2 f 2 ax 2 x x 1 3，
2
故此 f x a 1 x 2 2，∵ f 2 3 2 f 1 1，∴ f 1 2，
f x2∴ a 1 x 2 f 1 ，由（2）可知 f（x）在 R上为增函数，
x2∴ a 1 x 2 1 x2，即 a 1 x 3 0 2，令 g x x a 1 x 3，即 g x 0min
成立即可.
a 1
①当 1时，即a 3，g x 在 x 1, 单调递增，∴ g x g 1 a 5 0
2 min
，
∴ a 5∴ 5 a 3
a 1
②当 1时，即 a 3， g x 在 x 1, 先递减后递增，
2
∴ g(x)min g(
a 1) (a 1)2 a 1 (a 1) 3 0，
2 2 2
a 1 2a 1
∴ g 3 0 ，解得 2 3 1 a 2 3 1，∴ 3 a 2 3 1 .
2 4
综上，∴ a 5, 2 3 1 .
试卷第 11页，共 14页
{#{QQABAYAEoggAAAJAARhCAQHICgMQkBCAAKoGAAAAMAABwQNABAA=}#}
2
【点睛】关键点点睛：在（3）转化为 x a 1 x 3 0在 x 1, 恒成立，构造函
数 g x x 2 a 1 x 3，利用二次函数的性质，通过分类讨论求解最小值.
21．（本题 12分）近年我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区 2019年底新能源汽
车保有量为 1500辆，2020年底新能源汽车保有量为 2250辆，2021年底新能源汽车保
有量为 3375辆．
(1)根据以上数据，设从 2019年底起经过 x年后新能源汽车保有量为 y辆，试从
① y a b x ( a 0,b 0且b 1)；② y ax b(a 0)两种函数模型中选择一个最恰当的
模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），求出新能源汽车保有量 y
关于 x的函数关系式；
(2)2019年底该地区传统能源汽车保有量为 50000辆，预计每年传统能源汽车保有量下
降 2%，假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底
新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．
（参考数据: lg 2 0.30， lg 3 0.48， lg 7 0.85）
x
【答案】(1)应选函数模型是 y a b x ( a 0,b 0且b 1)； y 1500 3 2
(2)2028年底
【分析】（1）由于增长趋势知，增长快，应选函数模型是 y a b x ( a 0,b 0且b 1)，
由待定系数法即可求得函数关系式；
（2）设从 2019年底起经过 x年后传统能源汽车保有量为 y辆，得出关系式，再得出新
能源超过传统能源汽车的不等式，化简求解即可得到结果．
【详解】（1）根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选函数模型是
y a b x (a 0,b 0且b 1)，
a b0 1500 a 1500 x 3
由题意得 1 ，得 3 ，所以 y 1500 ，
a b 2250 b 2
2
（2）设从 2019年底起经过 x年后传统能源汽车保有量为 y辆，
则有 y x 50000 1 2% ，
设从 2019年底起经过 x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，
x
3
则有1500 50000 1 2%
x
，
2
试卷第 12页，共 14页
{#{QQABAYAEoggAAAJAARhCAQHICgMQkBCAAKoGAAAAMAABwQNABAA=}#}
化简得 lg3 x lg3 lg 2 2 x 2lg7 lg 2 2 ，
x 2 lg3解得 8.442 lg3 2lg 2 2lg7 ，
故从 2019年底起经过 9年后，即 2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车．
22．（本题 12分）已知函数 f x 1 log x g x 2x2 ， .
(1)若F x f g x g f x ，求函数 F x 在 x 1,4 的值域；
g x (2)若H x H x H 1 x 1
g x ，求证 .求 2
H 1 H 2 H 3 H 2021
的值；
2022 2022 2022 2022
(3)令 h x f x 1，则G x h2 x 4 k f x ，已知函数G x 在区间 1,4 有零点，
求实数 k的取值范围.
【答案】(1) 4,40
2021
(2)证明见解析，
2
(3) 4 k
16
3
2
【分析】（1）化简可得 F(x) f g(x) g f (x) 2 1 1 x
，利用二次函数单调性，
2 2
即得解；
（2）由已知可得H (x)的解析式，根据指数函数的运算即可求证H x H 1 x 1，
利用倒序相加即可求值；
（3 2）由已知可得G(x) log 2 x (4 k ) log 2 x 4 k ，令 t log2 x，函数等价为
y h(t) t2 (4 k)t 4 k在 t 0,2 上有零点，参变分离即得解
【详解】（1）解：若 F x f g x g f x 1 log 2x 21 log2 x2
2
1 x 2 2 log2 x 2x 1 x 2x 2 2x 2 x 1 1 2
，
2
当 x 1,4 上函数 F x 为增函数，
则函数的最大值为 F 4 40，函数的最小值为 F 1 4，则函数的值域为 4,40 .
试卷第 13页，共 14页
{#{QQABAYAEoggAAAJAARhCAQHICgMQkBCAAKoGAAAAMAABwQNABAA=}#}
g x g x x
（2）解：若H x
2
，则
H x
g x 2 g x 2 2 x 2 ，
x 1 x x x
则H x H 1 x 2 2 2 2 2 2 1，
2x 2 21 x 2 2x 2 2 2 2x 2x 2 2 2x
H 1 H 2 H 3 H 2021设
S
2022 2022 2022 2022
H 2021 H 2020 H 2019 H 1则
2022
S
2022 2022 2022
2021 H 2021 H 1 两式相加得 2S
2021
，即 2S 2021，则 S
2022 2022 2
H 2021 H 2020 H 2019 H 1 2021故 .
2022 2022 2022 2022 2
（3）G x log 22 x 4 k log2 x 4 k，
设 t log2 x，当 x 1,4 ，则 t 0,2 ，
则函数等价为 y p t t 2 4 k t 4 k，
若函数G x 在区间 1,4 有零点，
则等价为 y p t t 2 4 k t 4 k在 t 0,2 上有零点，
即 p t t 2 4 k t 4 k 0在 t 0,2 上有解，
2
即 t 4t 4 k 1 t 0在 t 0,2 上有解，
k t
2 4t 4 t 1 2 2 t 1 1即 t 1 1 2，
1 t t 1 t 1
设m t 1，则m 1,3 ，则 k m 1 2，
m
则 k
1
m 2在m 1,3 上递增，
m
1 16
则当m 1时， k 1 1 2 4，当m 3时， k 3 2 ，
3 3
∴ 4
1 16 16
m 2 ，即 4 k ，
m 3 3
16
即实数 k的取值范围是 4 k .
3
试卷第 14页，共 14页
{#{QQABAYAEoggAAAJAARhCAQHICgMQkBCAAKoGAAAAMAABwQNABAA=}#}