天津市蓟州区名校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）

天津市蓟州区名校2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试卷
一．选择题（共9小题，每题5分，共45分）
1．抛物线y＝4x2的准线方程是（　　）
A．y＝1 B．y＝﹣1 C．y＝ D．y＝﹣
2．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列{an}满足a1＝0，，则a4+a5＝（　　）
A．12 B．20 C．28 D．30
3．在等差数列{an}中，若a5+a6+a7+a8+a9＝5，则S13的值等于（　　）
A．8 B．10 C．13 D．26
4．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝x D．y＝±x
5．已知双曲线方程为x2﹣y2＝4，过点A（3，1）作直线l与该双曲线交于M，N两点，若点A恰好为MN中点，则直线l的方程为（　　）
A．y＝3x﹣8 B．y＝﹣3x+8 C．y＝3x﹣10 D．y＝﹣3x+10
6．若等差数列{an}的前n项和为Sn，S13＜0，S14＞0，则当Sn取得最小值时，n的值为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
7．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点到抛物线y2＝2px（p＞0）的准线的距离为4，点（2，2）是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
8．已知F1，F2是椭圆C1：＝1和双曲线C2：（a＞0，b＞0）的公共焦点，且A，B两点为C1，C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率为（　　）
A． B． C． D．
9．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，如满足y1+y2+2＝|AB|，则∠AFB的最大值（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，每题5分，共30分）
10．在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7＝25，则a2+a8＝　
11．已知等差数列{an}中，a1＝10，当且仅当n＝5时，前n项和Sn取得最大值，则公差d的取值范围是　 　．
12.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且，则＝　 　．
13．设抛物线y2＝2px（p＞0）焦点为F，准线为l，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足C，D．若|AF|＝2|BF|，且三角形CDF的面积为，则p的值为 　 　．
14.已知双曲线C：﹣y2＝1（a＞0）的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x﹣3y+7＝0和l2：x＝﹣2距离之和的最小值为　 　．
15．椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1的斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA2斜率的取值范围是　
三．解答题（共6小题，共75分）
16．已知在非零数列{an}中，a1＝1，an﹣an﹣1＝﹣anan﹣1（n≥2，n∈N*），数列{bn}的前n项和Sn＝3n2+8n．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）若数列{cn}满足，求数列{cn}的前n项和Tn．
17．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA＝2，四边形ABCD是直角梯形，且AB⊥AD，BC∥AD，AD＝AB＝2，BC＝4，M为PC中点，E在线段BC上，且BE＝1．
（1）求证：DM∥平面PAB；
（2）求直线PB与平面PDE所成角的正弦值；
（3）求点E到PD的距离．
18.．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点，且MN⊥PQ，求直线l的方程．
19.（1）在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an+2﹣2an+1+an＝0（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
（2）在数列{an}中，a1＝2，＝，求数列{an}的通项公式；
（3）若数列{an}是正项数列，且++…+＝n2+3n（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
20．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，两焦点与短轴两端点围成的四边形面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆有唯一的公共点M（M在第一象限），此直线l与y轴的正半轴交于点N，直线NF与直OM线交于点P且，求直线l的斜率．
天津市蓟州区名校2023-2024学年高二上学期12月月考
数学答案
DBCAA CDDB
二．10.10； 11.（，-2）； 12. ；13. ； 14. 3 ； 15.
三．16.（1）证明：在非零数列{an}中，a1＝1，an﹣an﹣1＝﹣anan﹣1（n≥2，n∈N*），则，可得（n≥2），又a1＝1，∴，数列是以1为首项，以为公差的等差数列；------5分
（2）解：∵数列{bn}的前n项和Sn＝3n2+8n，∴b1＝11，
当n≥2时，＝6n+5．
b1＝11适合上式，∴bn＝6n+5；--------------------------------------10分
（3）解：由（1）可知，，
又由（2）知，bn＝6n+5，∴＝n+1+6n+5＝7n+6，
可知数列{cn}是等差数列，
则．------------------------------15分
17．证明：（1）如图，取BC中点F，连接MF，DF，
因为F为BC中点，BC∥AD，AD＝AB＝2，BC＝4，所以BF＝AD，BF∥AD，
所以四边形ABFD为平行四边形，所以AB∥DF，
又DF 平面PAB，AB 平面PAB，所以DF∥平面PAB，
因为F为BC中点，M为PC中点，则MF∥PB，
又MF 平面PAB，PB 平面PAB，所以MF∥平面PAB，
因为MF∩DF＝F，MF，DF 平面MDF，所以平面MDF∥平面PAB，又DM 平面MDF，故DM∥平面PAB；-----------------5分
解：（2）根据题意，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，由条件可得，A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0），E（2，1，0），
则，
设平面PDE的法问量为＝（x，y，z），则，解得，取y＝2，则x＝1，z＝2，所以平面PDE的一个法向量为＝（1，2，2），设直线PB与平面PDE所成角为θ，则，
所以直线PB与平面PDE所成角的正弦值为；-------------10分
（3）由（2）可知，，
故点E到PD的距离为．---15分
18．解：（1）由e＝，得a＝2c，因为|AF1|＝2，|AF2|＝2a﹣2，
由余弦定理得|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1| |AF2|cosA＝|F1F2|2，得c＝1，
a＝2，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆C的方程为+＝1．--6分
（2）因为直线PQ的斜率存在，设直线方程为y＝k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，由韦达定理知x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k＝，
此时N（，﹣），又，则kMN＝＝﹣，∵MN⊥PQ，∴kMN＝﹣，得到k＝或．
则kMN＝﹣2或kMN＝﹣，MN的直线方程为x-2y-1=0或3x-2y-3=0．---------------------------------------------------------15分
19．解：（1）∵an+2﹣2an+1+an＝0，（n∈N*），
∴an+2﹣an+1＝an+1﹣an，（n∈N*），∴数列{an}为等差数列，
d＝，a1＝8，
∴an＝8+（n﹣1）×（﹣2）＝10﹣2n-------------------------------5分
（2）∵＝，∴﹣＝，又，
∴{}是以首项为，公差为的等差数列，
∴＝∴--------------------------------------------10分
（3）∵++…+＝n2+3n，
∴++…+＝（n﹣1）2+3（n﹣1），（n≥2），两式相减可得：，（n≥2），又n＝1时，也满足上式，
∴，（n∈N*），∴----------------------------------------------15分
20．解：（Ⅰ）由题意可得，解得，
因此，椭圆C的标准方程为：------------------------------------------6分
（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为y＝kx+m，且m≠0，联立，消去y并整理，得
（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
Δ＝64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）＝0，可得m2＝3+4k2，
由韦达定理可得，，
，则点，因为点M在第一象限，则，则，直线OM的方程为，在直线l的方程中，令x＝0可得y＝m，即点N（0，m），易知点F（1，0），
，则直线NF的方程为y＝﹣m（x﹣1），
联立可得，即点，
因为，即，即，可得km＝﹣1，则，将代入m2＝4k2+3可得（4k2﹣1）（k2+1）＝0，则，
∵k＜0，解得．-----------------------------------------------------15分