(共32张PPT)
植树问题（两端都种）
人教版五年级上册
教学目标
1.利用熟悉的生活情境，通过动手操作等实践活动，理解并掌握“两端都要种”的“植树问题”中间隔数、植树棵树之间的规律。
2.培养学生通过“化繁为简”从简单问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。
3.初步培养学生的模型思想和化归思想。
新知导入
猜
一
猜
哥儿十个分两家，
干起活来要请它。
开机器，种庄稼，
越干越巧劲越大。
（打一人体器官）
新知导入
请大家伸出左手，你发现了哪个数
5是指5根手指，我却看到4，你知道在哪吗
1
2
3
4
5
1
2
3
4
是手指缝。
新知导入
在数学上我们把这些空格叫做间隔。像手指缝一样，一共有4个间隔，我们可以说成间隔数是4。
新知讲解
同学们在长100 m的小路一边植树，每隔5 m栽一棵（两端都要栽），一共要栽多少棵树？
已知
小路长100m，每隔5 m栽一棵（两端都要栽）。
新知讲解
同学们在长100 m的小路一边植树，每隔5 m栽一棵（两端都要栽），一共要栽多少棵树？
就是说在小路的一侧植树，左边或右边。
就是路的两头都要种树。
新知讲解
同学们在长100 m的小路一边植树，每隔5 m栽一棵（两端都要栽），一共要栽多少棵树？
就是两棵树之间的距离都是5米。
每两棵树之间的距离也叫间隔长度，也可以说成“两棵树之间的间隔是5米”。
新知讲解
同学们在长100 m的小路一边植树，每隔5 m栽一棵（两端都要栽），一共要栽多少棵树？
要解决的问题是一共要栽多少棵树。
100÷5=20（棵），一共要栽20棵树。
新知讲解
同学们在长100 m的小路一边植树，每隔5 m栽一棵（两端都要栽），一共要栽多少棵树？
100÷5=20（棵）
思考：
这样算对吗？画图检验一下，想想怎样画图？
新知讲解
同学们在长100 m的小路一边植树，每隔5 m栽一棵（两端都要栽），一共要栽多少棵树？
用一条线段表示小路。
5
5
5
5
5
5
5
两端都种， 先在头上栽一棵，再一棵一棵的栽……
新知讲解
5
5
5
5
5
5
5
这样栽下去，你有什么感受？
100m太长了，画不完。
新知讲解
5
5
5
5
5
5
5
在数学上中，可以将复杂问题简单化，在这里 100 米太长了，可以先在短距离的路上种种看。
新知讲解
我知道了，可以用20m来检验，20÷5=4（棵）。
应该栽5棵，直接用除法计算不对。
自己选一些长度试一试，看看有什么规律？
新知讲解
如果这条路长30米、35米……又应栽几棵树呢？请在练习本上画图，填写表格。
路长 间隔长 间隔数 棵数
30米 5米
35米 5米
40米 5米
50米 5米
…… …… …… ……
6个
7棵
7个
8棵
8个
9棵
10个
11棵
新知讲解
看看有什么规律？
我发现栽树的棵数比间隔数多1。
新知讲解
在一条路上植树，如果两端都要栽的话，栽树的棵数比间隔数多1，即间隔数+1=棵数。
新知讲解
同学们在长100 m的小路一边植树，每隔5 m栽一棵（两端都要栽），一共要栽多少棵树？
100÷5=20
20+1=21（棵）
答：一共要栽20棵树。
100 m共有20个间隔，两端都要栽，栽树的棵数比间隔数多1。
新知讲解
在以后的学习中，当我们遇到一个不能直接解决的难题，像100米不好直接画图怎么办 可以先猜想，再化繁为简，用简单的例子验证，并发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。
课堂练习
基础题：
1.幸福村有一长80米的公路，计划在路的一侧每隔20米栽一棵树，两端都要栽，共需多少棵树？有四位同学用画图的方法表示出这个题目的意思，中正确的是（ ）。
D
课堂练习
基础题：
2.有一段路长720米，在道路两边栽树（两端都植树），每隔3米种一棵，一共可种多少棵树？
720÷3＝240
240＋1＝241（棵）
241×2＝482（棵）
答：一共可种482棵树。
课堂练习
提高题：
3.在一条路上植树（两端都植），每隔4米植1棵，一共植了6棵，求这条路一共有多少米？
间隔数+1=棵数，所以间隔数=棵数－1。
6－1=5
4×5=20（m）
答：这条路一共有20米。
课堂练习
拓展题：
4.一条公路长480米，在两旁植树，两端都植，每隔12米栽一棵杉树，两棵杉树中间又等距离地栽了3棵柳树，杉树和柳树各栽了多棵？
间隔数是：480÷12=40（个）
那么，杉树的棵数是：（40+1）×2=82（棵）
柳树的棵数是：40×3×2=240（棵）
答：杉树栽了82棵，柳树栽了240棵。
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我知道了两端都要植树，栽树的棵数比间隔数多1。
我还知道两端都植树，间隔数+1=棵数。
板书设计
植树问题（两端都种）
两端都植树：间隔数+1=棵数
100÷5=20
20+1=21（棵）
答：一共要栽20棵树。
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
1. 在一条长为180米的小路两旁植树（两端都植），每20米栽一棵．一共需要栽多少棵树？
（180÷20+1）×2
=10×2
=20（棵）
答：一共要种20棵。
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
2.王老师带学生在马路长500米的两边每隔5米植一棵树，两端都植树，一共要植多少棵？
500÷5=100（个）
（100+1）×2
=101×2
=202（棵）
答：一共要植202棵树。
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
1.从公园通往湖心的小岛有一条长1020米的小路，在这条小路的两侧，从头到尾每隔15米栽一棵桃树，一共需要栽多少棵桃树？
路一侧栽的棵数是：1020÷15+1=69（棵）
小路的两侧共需要栽的棵数是：69×2=138（棵）
答：一共需要栽138棵桃树。
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
2.园艺工人在一条街道的两旁每隔3.5米植一棵树（两端都植），一共植树120棵，这条街道长多少米？
3.5×(120÷2-1)
=3.5×59
=206.5(米)
答：街道长206.5米。
作业布置
在日常生活中，我们周围有许多类似于植树问题（两端都种）的现象，你能找找吗？
【综合实践类作业】
谢谢
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《数学广角——植树问题》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《数学广角——植树问题》单元是综合与实践领域第三学段中的重要内容。《课程标准》在“内容要求”中指出：“能运用常见的数量关系解决实际问题，能合理解释结果的实际意义，逐步形成模型意识和几何直观，提高解决问题的能力。尝试在真实的情境中发现和提出问题，探索运用基本的数量关系，以及几何直观、逻辑推理和其他学科的知识、方法分析与解决问题，形成模型意识和初步的应用意识、创新意识。体会数学知识之间、数学与生活之间的联系，在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题。”
单元教材内容分析
本单元主要探讨的是关于在一条直线上（包括两端都栽、两端都不栽和只栽一端）和封闭图形上植树的问题，教材通过3个例题渗透有关植树问题的一些思想方法。教材在编排上以学生比较熟识的植树活动为线索,让同学通过画图的方法来探究栽树的棵数和间隔数之间的关系，引导学生透过现象发觉其中的规律，再利用规律解决生活实际问题。本章主要在探究问题的过程中渗透化繁为简的思想，重点培养学生借助线段图建立数学模型的能力。
（三）学生认知情况
五年级的学生仍以形象思维为主，在抽象逻辑思维方面也具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的数学活动经验。由于学生初次接触“植树问题”，学生兴趣会比较高，但不清楚植树问题的三种情况，不知道植树棵数与间隔数之间的关系。所以在教学中，应从实际的问题入手，以画图的方式引导学生通过分析、思考逐步发现规律，帮助学生建立数学模型。
二、单元目标拟定
1.借助画图的方式，让学生经历抽象出数学模型的过程，掌握棵数与间隔数之间的关系,并能利用发现的规律解决简单的实际问题。
2.让学生通过“化繁为简”“一一对应”从简单问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。
3.感受数学在日常生活中的广泛应用，体会数学的价值。
三、关键内容确定
（一）教学重点
让学生探究发现一条线和封闭图形上植树问题的规律，经历数学建模的过程。
（二）教学难点
让学生体验“化繁为简”的解题策略和数学思想方法，理解植树问题中“棵树”与“间隔数”之间的关系。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内容。本单元的核心素养是渗透数学思想方法，让学生从中发现规律，抽象出数学模型，培养学生从实际问题中探索解决问题有效方法的能力。
本单元教科书编写的基本特点主要体现在：
教材编排特点：
（1）为了探究植树问题中“棵树”与“间隔数”之间的关系，教材在编排上借助几何直观帮助学生理解“植树问题”的数学模型。
（2）本单元注重让学生经历观察、猜测、验证、推理与交流等活动，让学生体验“化繁为简”的解题策略和数学思想方法。
（3）关注学生已有的知识经验，放手让学生独立探究，让学生得到不同的发展。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 □数与代数 □图形与几何 统计与概率 综合与实践
单元数量 4
单元主题 单元名称 主要内容 课时
综合与实践 数学广角——植树问题 植树问题（两端不栽） 1
植树问题（两端都种） 1
植树问题（封闭图形上植树） 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
7.1《植树问题（两端都种）》 目标： 通过动手操作等实践活动，理解并掌握“两端都要种”的“植树问题”中间隔数、植树棵树之间的规律。 任务一：理解信息 → 任务二：探究两端都种树的解题方法 → 1.说出知道的数学信息和要解决的问题，并理解题意。 2. 经历“猜想——验证——得出结论”的过程来探究两端都种树的规律，进而解决实际问题。
7.2《植树问题（两端不栽）》 目标： 理解在一条线段上植树（两端不栽）的情况下，“棵树=间隔数－1” 的关系。会通过线段图来分析理解两端不栽的植树问题。 任务一：理解信息 → 任务二：探究两端都不植树的解题方法 → 1.说出知道的数学信息和要解决的问题，并理解题意。 2.想一想、 画一画、 说一说找到棵数与间隔数之间的关系，进而解决实际问题。
7.3《植树问题（封闭图形上植树）》 目标： 了解封闭图形的特征；结合具体情境，掌握解决沿封闭图形植树问题的方法。 任务一：理解信息 → 任务二：探究在封闭图形上植树的解题方法 → 1.说出知道的数学信息和要解决的问题，并理解题意。 2.说出通过画图探究在封闭图上种树的规律，进而解决实际问题。
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7.1 植树问题（两端都种） 教学设计
一、教学目标
1.学习目标描述：利用熟悉的生活情境，通过动手操作等实践活动，理解并掌握“两端都要种”的“植树问题”中间隔数、植树棵树之间的规律。
2.学习内容分析：例1是关于一条线段上的植树问题并且两端都要栽树的情况，让学生在解决这个问题的过程中发现规律，找到解决问题的有效方法经历解决问题的过程。通过学生的话“100m太长了，我先用20m来检验”渗透化繁为简的解决问题的方法，接下来的编排渗透了“猜测——探索——归纳——应用”的解决问题的策略。
3.学科核心素养分析：培养学生通过“化繁为简”从简单问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，初步培养学生的模型思想和化归思想。
二、教学重难点
1.重点：让学生探究发现一条线上植树问题（两端都种）的规律，经历数学建模的过程。
2.难点：让学生体验“化繁为简”的解题策略和数学思想方法。
三、教学过程
教学目标 教学活动 设计意图 效果评价
导入新课 师：猜猜它是什么？课件出示：哥儿十个分两家，干起活来要请它。开机器，种庄稼，越干越巧劲越大。（打一人体器官）学生独自猜一猜：是手。师：请大家伸出左手，你发现了哪个数 学生：5。师：5是指5根手指，可老师却看到4，你知道在哪吗 学生独自观察，然后回答：是手指缝。师：是手指缝，在数学上我们把这些空格叫做间隔。像手指缝一样，一共有4个间隔，我们可以说成间隔数是4。其实在植树中，树与树之间也有间隔，这节课我们就一起来研究与植树有关的数学问题。板书课题：植树问题（两端都种） 借助手指缝引导学生观察，引入间隔，不仅为后面的学习做准备，还激发学生探究新知的欲望和积极性。 教师观察学生的参与程度，给予及时的鼓励与表扬。
探究新知 任务一：理解信息师：春天到了，为了美化校园，我们学校也要植树，具体怎么植树呢？我们一起来看看具体要求。课件出示：同学们在长100 m的小路一边植树，每隔5 m栽一棵（两端都要栽），一共要栽多少棵树？师：读一读，说说已知什么？学生自由读一读，然后回答：已知小路长100m，每隔5 m栽一棵（两端都要栽）。师：什么是“一边植树”？学生：也就是说在小路的一侧植树，左边或右边。师：那么你能解释一下“两端要种”吗？学生：就是路的两头都要种树。师：那么“每隔5 m”又是什么意思呢？学生根据自己的理解自由说说：就是两棵树之间的距离都是5米。师：每两棵树之间的距离也叫间隔长度，也可以说成“两棵树之间的间隔是5米”。那么要解决的问题是什么？学生：要解决的问题是一共要栽多少棵树。 让学生说说知道的数学信息和要解决的问题，并通过进一步的交流，帮助学生理解题意，为后面解决问题提供帮助。 老师通过提问了解学生情况，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。
任务二：探究两端都种树的解题方法师：一共要栽多少棵树？你能列式算算吗？学生：100÷5=20（棵），一共要栽20棵树。师：这样算对吗？画图检验一下，想想怎样画图？学生：用一条线段表示小路，两端都种， 先在头上栽一棵，再一棵一棵的栽……。师：大家听懂了吗？在练习本上画一画。学生尝试画图，师巡视指导，发现问题及时提问：这样栽下去，你有什么感受？学生：100m太长了，画不完。师：老师也有同感，其实像这种比较复杂的问题，在数学上还有一种更好的研究方法， 想知道吗？学生：想。师：我们可以将复杂问题简单化，在这里 100 米太长了，可以先在短距离的路上种种看。学生：我知道了，可以用20m来检验，20÷5=4（棵）。师：大家画一画，看看你有什么发现？学生继续画图，然后展示反馈：应该栽5棵，直接用除法计算不对。师：自己选一些长度试一试，看看有什么规律？课件出示：如果这条路长30米、35米……又应栽几棵树呢？请在练习本上画图，填写表格。学生再尝试选取一定的长度画图，并与同伴说说自己的发现，师巡视指导。师：看看有什么规律？学生自由说说：我发现栽树的棵数比间隔数多 1。根据学生的回答，师小结：在一条路上植树，如果两端都要栽的话，栽树的棵数比间隔数多1，即间隔数+1=棵数。师：根据刚才发现的规律，你能列式算算一共要栽多少棵树吗？学生独自列式，然后反馈：100÷5=20，100 m共有20个间隔，两端都要栽，栽树的棵数比间隔数多1，所以20+1=21（棵），一共要栽20棵树。师：在以后的学习中，当我们遇到一个不能直接解决的难题，像100米不好直接画图怎么办 可以先猜想，再化繁为简，用简单的例子验证，并发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。 让学生经历“猜想——验证——得出结论”的过程来探究两端都种树的规律，将学习的主动权完全交给学生，让学生在自主探究中感悟，极大的调动了学生探究新知的积极性。 通过此环节的学习，培养学生通过“化繁为简”从简单问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。 教师观察学生的活动参与程度和提取已有知识经验的能力，给予及时的鼓励与表扬。
迁移运用 任务三：课堂练习基础题：1.幸福村有一长80米的公路，计划在路的一侧每隔20米栽一棵树，两端都要栽，共需多少棵树？有四位同学用画图的方法表示出这个题目的意思，中正确的是（ ）。2.有一段路长720米，在道路两边栽树（两端都植树），每隔3米种一棵，一共可种多少棵树？ 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 分层挑选学生的作答，及时了解不同层次学生的课堂效果，收集本节课学生知识吸收的反馈信息。
提高题：3.在一条路上植树（两端都植），每隔4米植1棵，一共植了6棵，求这条路一共有多少米？
拓展题 4.一条公路长480米，在两旁植树，两端都植，每隔12米栽一棵杉树，两棵杉树中间又等距离地栽了3棵柳树，杉树和柳树各栽了多棵？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.在一条长为180米的小路两旁植树（两端都植），每20米栽一棵．一共需要栽多少棵树？2.王老师带学生在马路长500米的两边每隔5米植一棵树，两端都植树，一共要植多少棵？选做题：1.从公园通往湖心的小岛有一条长1020米的小路，在这条小路的两侧，从头到尾每隔15米栽一棵桃树，一共需要栽多少棵桃树？2.园艺工人在一条街道的两旁每隔3.5米植一棵树（两端都植），一共植树120棵，这条街道长多少米？【综合实践类作业】在日常生活中，我们周围有许多类似于植树问题（两端都种）的现象，你能找找吗？
板书设计 植树问题（两端都种） 两端都植树：间隔数+1=棵数 100÷5=20 20+1=21（棵）答：一共要栽20棵树。
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