(共26张PPT)
植树问题（封闭图形上植树）
人教版五年级上册
教学目标
1.了解封闭图形的特征。
2.结合具体情境，掌握解决沿封闭图形植树问题的方法。
3.在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，以及抽取数学模型的能力。
新知导入
植树问题”有几种类型 每种类型中棵数和间隔数有什么关系
两端植树
棵数=间隔数+1
两端不栽
棵数=间隔数－1
一端植树
棵数=间隔数
新知导入
生活中，还有把树、花沿着各种闭图形种植。
新知讲解
张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵树？
已知池塘的周长是120 m，如果每隔10 m栽一棵。
要解决的问题是一共要栽多少棵树。
新知讲解
张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵树？
思考：
这道题与前面学习的植树问题相比，有什么不同的地方？
新知讲解
张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵树？
前面学习是在一条直线上植树。
今天学习的是在一个圆形周长上植树。
新知讲解
张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵树？
圆的周长是一条首尾相接的封闭曲线。
也就是说在池塘周围栽树，栽树的路线是封闭的。
新知讲解
张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵树？
你打算用什么方法？
先画图试试看。
120 m的长度太长了，可以假设周长是40m。
新知讲解
张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵树？
能栽4棵树。
新知讲解
如果把圆拉直成线段，你能发现什么
我发现间隔数与棵数相等。
相当于在直线上一端栽，一端不栽。
新知讲解
我们将封闭图形“化曲为直”后，发现封闭图形和在不封闭图形“一端栽，一端不栽”中棵数和间隔数样的，都是棵数等于间隔数，即棵数=间隔数。
新知讲解
张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵树？
120÷10=12（棵）
答：一共要栽12棵树。
根据刚才发现的规律，你能列式算算吗？
课堂练习
基础题：
1.填一填。
同学们在正六边形的池塘边植树（如图），每隔相等的一段植一棵，池塘边被分成了（ ）段，共栽（ ）棵，植树的棵树同段数（ ）。
12
12
相等
课堂练习
基础题：
2.有一块三角形地，3条边分别为120m、150m、80m，每10m种一棵树，3条边一共种多少棵树？
（120+150+80）÷10
=350÷10
=35（棵）
答：3条边一共种35棵树。
课堂练习
提高题：
3.要在一个水池周围栽树，已知这个水池周长为245m，计划要栽49棵树，相邻两树之间距离相等，相邻两树之间的距离是多少米？
在封闭图形上植树，棵数=间隔数。
245÷49=5（米）
答：相邻两树之间的距离是5米。
课堂练习
拓展题：
4.在正方形的池塘边植树，四个顶点都要植一棵，这样每边都种有22棵树，四周共植树多少棵？
22×4=88（棵）
88﹣4=84（棵）
答：四周共种了84棵。
由于四个顶点都种有1棵，所以4个顶点重复计算了一次。
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我知道了在封闭图上植树，植树的棵数等于间隔数。
我还知道在封闭图上植树相当于在直线上一端栽，一端不栽。
板书设计
植树问题（封闭图形上植树）
封闭图形上植树：棵数=间隔数
120÷10=12（棵）
答：一共要栽12棵树。
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
1. 沿着圆形池塘边，种着64棵柳树，现在要在每两棵柳树的中间种一棵荼花，一共要种多少棵茶花？
种茶花的棵数等于种柳树的棵数，因此共种茶花64棵。
答：因此共种茶花64棵。
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
2.一个长方形池塘，长100米，宽50米，每隔5米栽种一棵柳树，需要树苗多少株
（100+50）×2÷5
=300÷5
=60（株）
答：需要树苗60株。
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
1.在圆形池塘边摆花，每隔6m摆一盆，一共摆了20盆，池塘的周长是多少米？
20×6=120（m）
答：池塘的周长是120m。
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
2.公园绿化队沿着一个正方形的湖周围均匀地植了32棵杏树，后来又在每相邻的两棵杏树中间均匀地植上2棵桃树，这样，每相邻两棵树之间的距离是4米．这个湖的周长是多少米？
一共种树：32+32×2=96（棵）
湖的周长是：96×4=384（米）
答：这个湖的周长是384米。
作业布置
在日常生活中，我们周围有许多类似于植树问题（封闭图形上植树）的现象，你能找找吗？
【综合实践类作业】
谢谢
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《数学广角——植树问题》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《数学广角——植树问题》单元是综合与实践领域第三学段中的重要内容。《课程标准》在“内容要求”中指出：“能运用常见的数量关系解决实际问题，能合理解释结果的实际意义，逐步形成模型意识和几何直观，提高解决问题的能力。尝试在真实的情境中发现和提出问题，探索运用基本的数量关系，以及几何直观、逻辑推理和其他学科的知识、方法分析与解决问题，形成模型意识和初步的应用意识、创新意识。体会数学知识之间、数学与生活之间的联系，在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题。”
单元教材内容分析
本单元主要探讨的是关于在一条直线上（包括两端都栽、两端都不栽和只栽一端）和封闭图形上植树的问题，教材通过3个例题渗透有关植树问题的一些思想方法。教材在编排上以学生比较熟识的植树活动为线索,让同学通过画图的方法来探究栽树的棵数和间隔数之间的关系，引导学生透过现象发觉其中的规律，再利用规律解决生活实际问题。本章主要在探究问题的过程中渗透化繁为简的思想，重点培养学生借助线段图建立数学模型的能力。
（三）学生认知情况
五年级的学生仍以形象思维为主，在抽象逻辑思维方面也具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的数学活动经验。由于学生初次接触“植树问题”，学生兴趣会比较高，但不清楚植树问题的三种情况，不知道植树棵数与间隔数之间的关系。所以在教学中，应从实际的问题入手，以画图的方式引导学生通过分析、思考逐步发现规律，帮助学生建立数学模型。
二、单元目标拟定
1.借助画图的方式，让学生经历抽象出数学模型的过程，掌握棵数与间隔数之间的关系,并能利用发现的规律解决简单的实际问题。
2.让学生通过“化繁为简”“一一对应”从简单问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。
3.感受数学在日常生活中的广泛应用，体会数学的价值。
三、关键内容确定
（一）教学重点
让学生探究发现一条线和封闭图形上植树问题的规律，经历数学建模的过程。
（二）教学难点
让学生体验“化繁为简”的解题策略和数学思想方法，理解植树问题中“棵树”与“间隔数”之间的关系。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内容。本单元的核心素养是渗透数学思想方法，让学生从中发现规律，抽象出数学模型，培养学生从实际问题中探索解决问题有效方法的能力。
本单元教科书编写的基本特点主要体现在：
教材编排特点：
（1）为了探究植树问题中“棵树”与“间隔数”之间的关系，教材在编排上借助几何直观帮助学生理解“植树问题”的数学模型。
（2）本单元注重让学生经历观察、猜测、验证、推理与交流等活动，让学生体验“化繁为简”的解题策略和数学思想方法。
（3）关注学生已有的知识经验，放手让学生独立探究，让学生得到不同的发展。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 □数与代数 □图形与几何 统计与概率 综合与实践
单元数量 4
单元主题 单元名称 主要内容 课时
综合与实践 数学广角——植树问题 植树问题（两端不栽） 1
植树问题（两端都种） 1
植树问题（封闭图形上植树） 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
7.1《植树问题（两端都种）》 目标： 通过动手操作等实践活动，理解并掌握“两端都要种”的“植树问题”中间隔数、植树棵树之间的规律。 任务一：理解信息 → 任务二：探究两端都种树的解题方法 → 1.说出知道的数学信息和要解决的问题，并理解题意。 2. 经历“猜想——验证——得出结论”的过程来探究两端都种树的规律，进而解决实际问题。
7.2《植树问题（两端不栽）》 目标： 理解在一条线段上植树（两端不栽）的情况下，“棵树=间隔数－1” 的关系。会通过线段图来分析理解两端不栽的植树问题。 任务一：理解信息 → 任务二：探究两端都不植树的解题方法 → 1.说出知道的数学信息和要解决的问题，并理解题意。 2.想一想、 画一画、 说一说找到棵数与间隔数之间的关系，进而解决实际问题。
7.3《植树问题（封闭图形上植树）》 目标： 了解封闭图形的特征；结合具体情境，掌握解决沿封闭图形植树问题的方法。 任务一：理解信息 → 任务二：探究在封闭图形上植树的解题方法 → 1.说出知道的数学信息和要解决的问题，并理解题意。 2.说出通过画图探究在封闭图上种树的规律，进而解决实际问题。
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7.3 植树问题（封闭图形上植树） 教学设计
一、教学目标
1.学习目标描述：了解封闭图形的特征；结合具体情境，掌握解决沿封闭图形植树问题的方法。
2.学习内容分析：例3是在一条首尾封闭的曲线上植树的问题。编排思路和例1相同，继续渗透化繁为简的思想和画图的策略，借助图示探索规律建立模型。通过机器人的问题“如果把圆拉直成线段，你能发现什么 ”启发学生联系已有的知识找出这种植树问题的规律，即栽树的棵数正好等于间隔数，也就相当于一条线段上植树的一端栽另一端不栽的情况，渗透转化的数学思想。
3.学科核心素养分析：在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，以及抽取数学模型的能力。在解决问题中，培养独立思考、合作探究的能力，体会数学在生活中的广泛应用。
二、教学重难点
1.重点：理解在一条首尾相接的封闭曲线上植树的基本数学模型。
2.难点：沟通封闭图形中的数学问题与“植树问题”之间的关系。
三、教学过程
教学目标 教学活动 设计意图 效果评价
导入新课 1.复习旧知植树问题”有几种类型 每种类型中棵数和间隔数有什么关系 2.导入新课课件出示：师：生活中，还有把树、花沿着各种闭图形种植，这节课我们就来研究封闭路线上的植树问题。板书课题：植树问题（封闭图形上植树） 通过复习旧知，不仅检查学生掌握知识的情况，还为后面学习新的知识奠定基础。 通过交流，不仅感受到数学与生活的紧密联系，还激发了学生探究新知的欲望和积极性。 教师观察学生的参与程度，给予及时的鼓励与表扬。
探究新知 任务一：理解信息课件出示：张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵树？师：读一读，说说已知什么？学生自由读一读，然后回答：已知池塘的周长是120 m，如果每隔10 m栽一棵。师：要解决的问题是什么？学生：要解决的问题是一共要栽多少棵树。师：这道题与前面学习的植树问题相比，有什么不同的地方？学生：前面学习是在一条直线上植树，今天学习的是在一个圆形周长上植树。师：圆的周长是什么样的？引导学生得出：是一条首尾相接的封闭曲线。师：也就是说在池塘周围栽树，栽树的路线是封闭的。 让学生说说知道的数学信息和要解决的问题，并通过进一步的交流，帮助学生理解题意，为后面解决问题提供帮助。 老师通过提问了解学生情况，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。
任务二：探究在封闭图形上植树的解题方法师：你打算用什么方法来研究这个问题？学生1：先画图试试看。学生2：120 m的长度太长了，可以假设周长是40m。 师：接下来以周长为40m的圆为例画一画。学生尝试画图，师巡视指导，然后展示反馈：能栽4棵树。师：如果把圆拉直成线段，你能发现什么 课件出示：学生1：我发现间隔数与棵数相等。学生2：相当于在直线上一端栽，一端不栽。根据学生的回答，师小结：我们将封闭图形“化曲为直”后，发现封闭图形和在不封闭图形“一端栽，一端不栽”中棵数和间隔数样的，都是棵数等于间隔数，即棵数=间隔数。师：根据刚才发现的规律，你能列式算算一共要栽多少棵树吗？学生独自列式，然后反馈：120÷10=12（棵），一共要栽12棵树。 让学生通过画图探究在封闭图上种树的规律，进而解决实际问题，让学生经历了探究知识的全过程，获得成功的体验，提高学生学习的积极性。 教师观察学生的活动参与程度和提取已有知识经验的能力，给予及时的鼓励与表扬。
迁移运用 任务三：课堂练习基础题：1.填一填。同学们在正六边形的池塘边植树（如图），每隔相等的一段植一棵，池塘边被分成了（ ）段，共栽（ ）棵，植树的棵数同段数（ ）。2.有一块三角形地，3条边分别为120m、150m、80m，每10m种一棵树，3条边一共种多少棵树？ 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 分层挑选学生的作答，及时了解不同层次学生的课堂效果，收集本节课学生知识吸收的反馈信息。
提高题：3.要在一个水池周围栽树，已知这个水池周长为245m，计划要栽49棵树，相邻两树之间距离相等，相邻两树之间的距离是多少米？
拓展题 4.在正方形的池塘边植树，四个顶点都要植一棵，这样每边都种有22棵树，四周共植树多少棵？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.沿着圆形池塘边，种着64棵柳树，现在要在每两棵柳树的中间种一棵茶花，一共要种多少棵茶花？2.一个长方形池塘，长100米，宽50米，每隔5米栽种一棵柳树，需要树苗多少株 选做题：1.在圆形池塘边摆花，每隔6m摆一盆，一共摆了20盆，池塘的周长是多少米？2.公园绿化队沿着一个正方形的湖周围均匀地植了32棵杏树，后来又在每相邻的两棵杏树中间均匀地植上2棵桃树，这样，每相邻两棵树之间的距离是4米．这个湖的周长是多少米？【综合实践类作业】在日常生活中，我们周围有许多类似于植树问题（封闭图形上植树）的现象，你能找找吗？
板书设计 植树问题（封闭图形上植树） 封闭图形上植树：棵数=间隔数 120÷10=12（棵） 答：一共要栽12棵树。
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