黑龙江省哈尔滨市通河县2022-2023学年八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市通河县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）的值是（　　）
A．±4 B．﹣4
C．4 D．以上答案都不对
2．（3分）下列各线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．3，4，5 D．4，5，6
3．（3分）下列计算中，结果错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）在下列函数中是正比例函数的是（　　）
A．y＝3x﹣4 B．y＝﹣2x+1 C．y＝3x D．y＝4
5．（3分）直线y＝﹣5x向上平移2个单位长度，得到的直线的解析式为（　　）
A．y＝5x+2 B．y＝﹣5x+2 C．y＝5x﹣2 D．y＝﹣5x﹣2
6．（3分）直线y＝2x+1不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）在下面的一组数据：2，3，2，2，2，5，4中众数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（3分）下列性质中，矩形具有而一般的平行四边形不具有的是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对边平行
9．（3分）下列各点中在函数y＝4x的图象上的点是（　　）
A．（1，2） B．（1，3） C．（1，4） D．（1，5）
10．（3分）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（　　）
A．20kg B．25kg C．28kg D．30kg
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是 　 　．
12．（3分）函数y＝xk﹣1+2是一次函数，则常数k的值为 　 　．
13．（3分）在平面直角坐标系中，点M（5，﹣12）到原点的距离是 　 　．
14．（3分）已知x，y为实数，且y＝﹣+4，则+＝　 　．
15．（3分）若点A（2，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝﹣3x+4上，则y1与y2的大小关系是 　 　．
16．（3分）已知y与x+1成正比例，当x＝1时，y＝4，则当x＝2时，y的值是 　 　．
17．（3分）如图，已知△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，EF⊥BC于F，交AC于D，作FH⊥AB于点H，AE＝CF＝2，则FH＝　 　．
18．（3分）已知菱形的两条对角线长分别是5和6，则这个菱形的面积为　 　．
19．（3分）在△ABC中，∠A＝45°，，，则AC＝　 　．
20．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为△ABC外一点，连接AD、CD，∠ADC＝90°，CD＝2AD＝1，连接BD，则BD＝　 　．
三、解答题（共60分，21、22题每小题7分；23、24题每小题7分，25、26、27题每小题7分）
21．（7分）先化简，再求值：，其中x＝+1．
22．（7分）如图，图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．
（1）如图1，当点E为AB的中点时，请在AD上找到一点P（点P在小正方形的顶点上且不同于点F），连接EP，CP，使得△EPC为Rt△，且∠EPC＝90°；
（2）请在图2中以EG为一边画矩形EGMQ（非正方形），使点M、Q均在小正方形的顶点上并直接写出矩形EGMQ的面积．
23．（8分）如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在A处观测到在它的东北方向（北偏东45°）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点B处，突然收到渔船的求救信号，此时观测到渔船C位于点B的北偏东15°方向上．
（1）求∠ACB的度数；
（2）轮船收到求救信号后，立即沿BC以每小时海里的速度赶往C处救援，那么轮船需多少小时赶到C处？
24．（8分）在菱形ABCD中，点O是对角线的交点，E点是边CD的中点，点F在BC延长线上，且CF＝BC．
（1）求证：四边形OCEF是平行四边形；
（2）连接DF，如果DF⊥CF，请你写出图中所有的等边三角形．
25．（10分）我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展，明年春季，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元．
（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式；
（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？请写出具体的方案．
26．（10分）在正方形ABCD中，点E在AB边上，点F在线段CE上，∠DFC＝∠CEB．
（1）如图1，求证：DF＝CD；
（2）如图2，连接AF，求∠AFE的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长AF，交BC边于点G，若AF＝FG，AE＝1，求AG的长．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，直线BC与x轴负半轴交于点C，且CO＝2AO．
（1）求线段AC的长；
（2）动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动，连接BP，设点P的运动时间为t（秒），△BPO的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点D，连接DP，使得△BDP是以BP为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市通河县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）的值是（　　）
A．±4 B．﹣4
C．4 D．以上答案都不对
【解答】解：＝4．
故选：C．
2．（3分）下列各线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．3，4，5 D．4，5，6
【解答】解：∵22+32≠42，
∴A不能构成直角三角形，
∵32+42≠62，
∴B不能构成直角三角形，
∵32+42＝52，
∴C能构成直角三角形，
∵42+52≠62，
∴D不能构成直角三角形，
故选：C．
3．（3分）下列计算中，结果错误的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A符合题意；
B、5﹣2＝3，故B不符合题意；
C、÷＝，故C不符合题意；
D、（﹣）2＝2，故D不符合题意；
故选：A．
4．（3分）在下列函数中是正比例函数的是（　　）
A．y＝3x﹣4 B．y＝﹣2x+1 C．y＝3x D．y＝4
【解答】解：A．y＝3x﹣4为一次函数，但不是正比例函数，所以A选项不符合题意；
B．y＝﹣2x+1为一次函数，但不是正比例函数，所以B选项不符合题意；
C．y＝3x是正比例函数，所以C选项符合题意；
D．y＝4为常函数，所以D选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）直线y＝﹣5x向上平移2个单位长度，得到的直线的解析式为（　　）
A．y＝5x+2 B．y＝﹣5x+2 C．y＝5x﹣2 D．y＝﹣5x﹣2
【解答】解：将直线y＝﹣5x向上平移2个单位长度，得到的直线的解析式为：y＝﹣5x+2．
故选：B．
6．（3分）直线y＝2x+1不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵y＝2x﹣1，k＝2＞0，b＝1，
∴该函数经过第一、三、二象限，不经过第四象限，
故选：D．
7．（3分）在下面的一组数据：2，3，2，2，2，5，4中众数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：这组数据的众数为2，
故选：D．
8．（3分）下列性质中，矩形具有而一般的平行四边形不具有的是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对边平行
【解答】解：矩形的特性是：四个角都是直角，对角线相等．
故选：C．
9．（3分）下列各点中在函数y＝4x的图象上的点是（　　）
A．（1，2） B．（1，3） C．（1，4） D．（1，5）
【解答】解：当x＝1时，y＝4×1＝4，4≠2，
∴点（1，4）在函数y＝4x的图象上．
故选：C．
10．（3分）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（　　）
A．20kg B．25kg C．28kg D．30kg
【解答】解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
由题意可知，
解得，
所以函数关系式为y＝30x﹣600，
当y＝0时，即30x﹣600＝0，所以x＝20．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是 　x≤2　．
【解答】解：由题意，得
2﹣x≥0，解得x≤2，
故答案为：x≤2．
12．（3分）函数y＝xk﹣1+2是一次函数，则常数k的值为 　2　．
【解答】解：∵函数y＝xk﹣1+2是一次函数，
∴k﹣1＝1，
∴k＝2，
故答案为：2．
13．（3分）在平面直角坐标系中，点M（5，﹣12）到原点的距离是 　13　．
【解答】解：由勾股定理得，点M（5，﹣12）到原点的距离为，
故答案为：13．
14．（3分）已知x，y为实数，且y＝﹣+4，则+＝　5　．
【解答】解：依题意得：，
解得x＝9，
所以y＝4
故+＝3+2＝5．
故答案为：5．
15．（3分）若点A（2，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝﹣3x+4上，则y1与y2的大小关系是 　y1＜y2　．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（2，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝﹣3x+4上，且2＞﹣1，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．
16．（3分）已知y与x+1成正比例，当x＝1时，y＝4，则当x＝2时，y的值是 　6　．
【解答】解：设y＝k（x+1）（k≠0），
把x＝1，y＝4代入，得k（1+1）＝4．
解得k＝2．
所以当x＝2时，y＝2（2+1）＝6．
故答案为：6．
17．（3分）如图，已知△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，EF⊥BC于F，交AC于D，作FH⊥AB于点H，AE＝CF＝2，则FH＝　3　．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠C＝∠B＝∠CAB＝60°，
∵EF⊥BC，
∴∠DFC＝90°，
∵CF＝4，
∴CD＝2CF＝8，∠CDF＝30°，
∴∠ADE＝30°，
∴∠E＝∠CAB﹣∠ADE＝30°，
∴EA＝AD＝2，
∴AC＝10，
∴BF＝6，
∴BH＝3，
∴FH＝＝3，
故答案为：3．
18．（3分）已知菱形的两条对角线长分别是5和6，则这个菱形的面积为　15　．
【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别是5和6，
∴这个菱形的面积为5×6÷2＝15．
故答案为：15．
19．（3分）在△ABC中，∠A＝45°，，，则AC＝　5或3　．
【解答】解：过B作BH⊥AC于H，
①当H在边AC上时，如图：
∵∠A＝45°，BH⊥AC，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH＝BH＝＝4，
在Rt△BHC中，
CH＝＝＝1，
∴AC＝AH+CH＝4+1＝5；
②当H在边AC延长线上时，如图：
同理可得AH＝BH＝4，CH＝1，
∴AC＝AH﹣CH＝3；
综上所述，AC的长为5或3；
故答案为：5或3．
20．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为△ABC外一点，连接AD、CD，∠ADC＝90°，CD＝2AD＝1，连接BD，则BD＝　　．
【解答】解：延长AD交BC的延长线于E，过点D作DF⊥CE于点F，
∵CD＝2AD＝1，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝，
设DE＝a，
∴，
解得a＝2，
∴DE＝2，
∴CE＝＝，
∵DE，
∴，
∴CF＝＝，
∵CB＝AC＝，
∴BF＝BC+CF＝，
∴BD＝＝．
故答案为：．
三、解答题（共60分，21、22题每小题7分；23、24题每小题7分，25、26、27题每小题7分）
21．（7分）先化简，再求值：，其中x＝+1．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
当x＝+1时，原式＝．
22．（7分）如图，图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．
（1）如图1，当点E为AB的中点时，请在AD上找到一点P（点P在小正方形的顶点上且不同于点F），连接EP，CP，使得△EPC为Rt△，且∠EPC＝90°；
（2）请在图2中以EG为一边画矩形EGMQ（非正方形），使点M、Q均在小正方形的顶点上并直接写出矩形EGMQ的面积．
【解答】解：（1）如图1，△EPC即为所求；
（2）如图2，矩形EGMQ即为所求；
矩形EGMQ面积＝EG EQ＝×＝10．
23．（8分）如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在A处观测到在它的东北方向（北偏东45°）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点B处，突然收到渔船的求救信号，此时观测到渔船C位于点B的北偏东15°方向上．
（1）求∠ACB的度数；
（2）轮船收到求救信号后，立即沿BC以每小时海里的速度赶往C处救援，那么轮船需多少小时赶到C处？
【解答】解：（1）∵∠DAC＝45°，∠DAB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵∠EBC＝15°，∠ABE＝90°，
∴∠ABC＝105°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠CAB＝180°﹣105°﹣45°＝30°；
（2）过B作BF⊥AC于F，
∴∠FAB＝∠FBA＝45°，
∴AF＝BF，
∵AB＝35×2＝70（海里），AB2＝AF2+BF2，
∴（海里），
∵∠ACB＝30°，
∴（海里），
∵，
∴轮船需小时赶到C处．
24．（8分）在菱形ABCD中，点O是对角线的交点，E点是边CD的中点，点F在BC延长线上，且CF＝BC．
（1）求证：四边形OCEF是平行四边形；
（2）连接DF，如果DF⊥CF，请你写出图中所有的等边三角形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，
∵E点是边CD的中点，
∴OE是△BDC的中位线，
∴OE∥BC且OE＝BC，
∵CF＝BC，
∴OE＝CF，
∵OE∥CF，
∴四边形OCFE是平行四边形；
（2）解：∵DF⊥CF，E点是边CD的中点，
∴EF＝，
∵CE＝，
CF＝＝CD，
∴△ECF为等边三角形；
∵四边形OCFE是平行四边形，
∴OC＝EF＝CE＝CF＝OE，
∴△OCE为等边三角形；
∵△ECF为等边三角形，
∴∠ECF＝60°，
∴∠ABC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△ABC为等边三角形；
同理得△ADC为等边三角形；
∴图中的等边三角形有：△OCE，△ECF，△ABC，△ADC
25．（10分）我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展，明年春季，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元．
（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式；
（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？请写出具体的方案．
【解答】解：（1）由题意y＝x+1.5×2x+2（100﹣3x）＝﹣2x+200，
所以总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式为y＝x+1.5×2x+2（100﹣3x）＝﹣2x+200．
（2）由题意﹣2x+200≥180，
解得x≤10，
∵x≥8，
∴8≤x≤10．
∵x为整数，
∴x＝8，9，10．
∴有3种种植方案，
方案一：种植西红柿8公顷、马铃薯76公顷、青椒16公顷．
方案二：种植西红柿9公顷、马铃薯73公顷、青椒18公顷．
方案三：种植西红柿10公顷、马铃薯70公顷、青椒20公顷．
26．（10分）在正方形ABCD中，点E在AB边上，点F在线段CE上，∠DFC＝∠CEB．
（1）如图1，求证：DF＝CD；
（2）如图2，连接AF，求∠AFE的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长AF，交BC边于点G，若AF＝FG，AE＝1，求AG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠CEB+∠BCE＝90°，∠BCE+∠DCF＝90°，
∴∠CEB＝∠DCF，
∵∠DFC＝∠CEB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝CD；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
由（1）得DF＝CD，
∴AD＝DF＝CD，
∴∠DAF＝∠DFA，∠DFC＝∠DCF，
在四边形ADCF中，∠DAF+∠AFC+∠DCF＝360°﹣∠ADC＝360°﹣90°＝270°，
∴∠DAF+∠DFA+∠DFC+∠DCF＝270°，
∴2∠DFA+2∠DFC＝2∠AFC＝270°，
∴∠AFC＝135°，
∴∠AFE＝180°﹣∠AFC＝180°﹣135°＝45°；
（3）解：如图3，延长CE交DA延长线于点H，过G作GK⊥CF于点K，
则∠CKG＝∠FKG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AD∥BC，
∴∠H＝∠FCG，∠HAF＝∠CGF，
∵AF＝FG，
∴△AFH≌△GFC（AAS），
∴AH＝CG，FH＝CF，
∵∠ADC＝90°，
∴DF＝CF，
由（1）得：DF＝CD，
∴DF＝CF＝CD，
∴△DCF是等边三角形，
∴∠DCH＝60°，
∴∠H＝∠HCG＝90°﹣60°＝30°，
∠HAE＝180°﹣90°＝90°，
在Rt△AHE中，EH＝2AE＝2，
由勾股定理得：AH＝＝＝，
∴CG＝AH＝，
在Rt△CGK中，KG＝CG＝×＝，
在Rt△FKG中，∠KFG＝∠AFE＝45°，
∴△FKG是等腰直角三角形，
∴FK＝KG＝，
由勾股定理得：FG＝＝＝，
∴AG＝2FG＝2×＝．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，直线BC与x轴负半轴交于点C，且CO＝2AO．
（1）求线段AC的长；
（2）动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动，连接BP，设点P的运动时间为t（秒），△BPO的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点D，连接DP，使得△BDP是以BP为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+3，y＝3，
∴B（0，3），
把y＝0代入y＝﹣x+3，x＝3，
∴A（3，0），
∴AO＝3，
∵CO＝2AO，
∴CO＝6，
∴C（﹣6，0）；
∴AC＝6+3＝9；
（2）∵C（﹣6，0），动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动，
∴CP＝t，
∴P（﹣6+t，0），
∴OP＝|6﹣t|，
∴S＝×3×|6﹣t|＝|6﹣t|，t＞0且t≠6；
（3）存在点D，使得△BDP是以BP为直角边的等腰直角三角形，理由如下：
如图1，当∠PBD＝90°时，过点B作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH交于G点，过点P作PH⊥GH交于H点，
∵∠PBD＝90°，
∴∠DBG+∠PBH＝90°，
∵∠GBD+∠BDG＝90°，
∴∠PBH＝∠BDG，
∵BD＝BP，
∴△BDG≌△PGH（AAS），
∴GB＝PH＝3，GD＝BH＝t﹣6，
∴D（﹣3，9﹣t），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
∴﹣6k+3＝0，
解得k＝，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
∴9﹣t＝﹣+3，
解得t＝；
如图2，当∠PBD＝90°时，过点D作DM⊥x轴交于M点，同理可得△PDM≌△BPO（AAS），
∴DM＝OP＝6﹣t，MP＝OB＝3，
∴D（t﹣9，6﹣t），
∴6﹣t＝（t﹣9）+3，
解得t＝5；
综上所述：t的值为或5．
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