黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学2023-2024学年九年级（上）开学数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学九年级（上）开学数学试卷（五四学制）
一、选择题：（每小题3分，共计36分）
1．（3分）﹣3的倒数是（　　）
A．3 B． C．﹣ D．﹣3
2．（3分）下列四个汽车标志图中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x3 x2＝x6 B．x6÷x2＝x3 C．x3+x3＝2x3 D．（x2）3＝x5
4．（3分）一组数据﹣1，5，5，1，3，4，5的众数、中位数分别为（　　）
A．5、4 B．5、5 C．5、3 D．5、1
5．（3分）如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A的仰角为37°，同时测得BC＝20米，则树的高AB（单位：米）为（　　）
A．20tan37° B． C． D．20sin37°
6．（3分）方程＝0的解是（　　）
A．﹣1 B．2 C．5 D．无解
7．（3分）某果园2012年水果产量为100吨，2014年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）
A．144（1﹣x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝144
C．144（1+x）2＝100 D．100（1+x）2＝144
8．（3分）如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（　　）
A．（﹣4，﹣1） B．（4，﹣2） C．（4，1） D．（2，1）
9．（3分）在平行四边形ABCD中，已知∠A：∠B＝1：2，则∠B的度数是（　　）
A．45° B．90° C．120° D．135°
10．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，则下列结论中一定正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
11．（3分）受国际金融危机影响，市自来水公司号召全市市民节约用水．决定采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水21吨，则应交水费（　　）
A．52.5元 B．45元 C．42元 D．37.8元
12．（3分）如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的 KLMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且 KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（　　）
A．24 B．25 C．26 D．27
二、填空题：（每小题3分，共24分）
13．（3分）我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量．把130 000 000kg用科学记数法可表示为 　 　kg．
14．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
15．（3分）把2a2﹣4a因式分解的结果是 　 　．
16．（3分）计算：﹣的结果是 　 　．
17．（3分）不等式组的解集是　 　．
18．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，则tanB的值为 　 　．
19．（3分）已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是　 　．
20．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED＝2∠CED，点G是DF的中点，若BE＝1，AG＝4，则AB的长为　 　．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求值的值，其中x＝4sin45°﹣2cos60°．
22．（7分）如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画一个以线段AB为一边的平行四边形ABCD，点C、D均在小正方形的顶点上，且平行四边形ABCD的面积为10；
（2）在图2中画一个钝角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且三角形ABE的面积为4，tan∠AEB＝．请直接写出BE的长．
23．（8分）“中秋节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“月饼”的习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的五仁月饼（A）、豆沙馅月饼（B）、红枣馅月饼（C）、蛋黄馅月饼（D）四种不同口味月饼的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民人数是多少人？
（2）将两幅统计图补充完整；
（3）若该居民区有8000人，请估计爱吃D月饼的是多少人？
24．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，
（1）如图（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图（2）若EG平分∠HEF，在不添加辅助线的条件下，直接写出长度等于EH的线段（不包括EH）
25．（10分）“六一”儿童节前夕，某时装店老板到厂家选购A、B两种品牌的儿童时装，若购进A品牌的时装5套，B品牌的时装6套，需要950元；若购进A品牌的时装3套，B品牌的时装2套，需要450元．
（1）求A、B两种品牌的时装每套进价分别为多少元？
（2）若1套A品牌的时装售价130元，1套B品牌的时装售价102元，时装店将购进的A、B两种服装共50套全部售出，所获利润要不少于1460元，问A品牌服装至少购进多少套？
26．（10分）在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD，点E在射线AB上，现将矩形折叠，折痕为DE，点A的对应点记为点F．
（1）操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形ABCD的边BC上，直接写出一个与△BEF相似的三角形；
（2）深入探究：如图2，若点F落在矩形ABCD的边BC的下方时，EF、DF分别交BC于点M、N，过点F作FG⊥BC，FH⊥DC，垂足分别为点G、H，当点G是BC的中点时，试判断△DEF与△DFH是否相似，并证明你的结论；
（3）问题解决：在（2）的条件下，若AD＝3，BE＝，求CH的长．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+6与y轴交于点C、与x轴交于点B，直线AD与y轴交于点A（0，），与直线BC交于点D（1，a）．
（1）如图（1）求直线AD的解析式；
（2）如图（2）点P是直线BC上的一点，点P的横坐标是t，求△OCP的面积S与t的函数关系式；
（3）如图（3）在（2）的条件下，将射线CB绕着点C顺时针旋转45°与射线DA交于点Q，当点P在线段DB上，连接PQ，若∠CQP＝∠OCB，求点P的坐标．
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学九年级（上）开学数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共计36分）
1．（3分）﹣3的倒数是（　　）
A．3 B． C．﹣ D．﹣3
【解答】解：∵﹣3×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：C．
2．（3分）下列四个汽车标志图中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；
B、不是轴对称图形，故正确；
C、是轴对称图形，故错误；
D、是轴对称图形，故错误．
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x3 x2＝x6 B．x6÷x2＝x3 C．x3+x3＝2x3 D．（x2）3＝x5
【解答】解：A、x3 x2＝x5，选项A不正确，不符合题意；
B、x6÷x2＝x4，选项B不正确，不符合题意；
C、x3+x3＝2x3，选项C正确，符合题意；
D、（x2）3＝x6，选项D不正确，不符合题意．
故选：C．
4．（3分）一组数据﹣1，5，5，1，3，4，5的众数、中位数分别为（　　）
A．5、4 B．5、5 C．5、3 D．5、1
【解答】解：数据从小到大排列为：﹣1，1，3，4，5，5，5，
所以中位数为4，
数据5出现了3次，最多，
所以这组数据的众数为5．
故选：A．
5．（3分）如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A的仰角为37°，同时测得BC＝20米，则树的高AB（单位：米）为（　　）
A．20tan37° B． C． D．20sin37°
【解答】解：如图，在直角△ABC中，∠B＝90°，∠C＝37°，BC＝20m，
∴tanC＝，
则AB＝BC tanC＝20tan37°．
故选：A．
6．（3分）方程＝0的解是（　　）
A．﹣1 B．2 C．5 D．无解
【解答】解：分式方程+＝0，
去分母得：x﹣2+3＝0，
解得：x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的解．
故选：A．
7．（3分）某果园2012年水果产量为100吨，2014年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）
A．144（1﹣x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝144
C．144（1+x）2＝100 D．100（1+x）2＝144
【解答】解：设该果园水果产量的年平均增长率为x，则2013年的产量为100（1+x）吨，2014年的产量为100（1+x）（1+x）＝100（1+x）2吨，
根据题意，得100（1+x）2＝144，
故选：D．
8．（3分）如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（　　）
A．（﹣4，﹣1） B．（4，﹣2） C．（4，1） D．（2，1）
【解答】解：∵平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），
∴AD＝BC＝2﹣（﹣2）＝4，
∵BC∥x轴，AD∥BC，
∴AD∥x轴，
∴D（4，1），
故选：C．
9．（3分）在平行四边形ABCD中，已知∠A：∠B＝1：2，则∠B的度数是（　　）
A．45° B．90° C．120° D．135°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A：∠B＝1：2，
∴∠B＝180°×＝120°．
故选：C．
10．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，则下列结论中一定正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，故A错误；
，故C错误；
，故D正确．
故选：D．
11．（3分）受国际金融危机影响，市自来水公司号召全市市民节约用水．决定采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水21吨，则应交水费（　　）
A．52.5元 B．45元 C．42元 D．37.8元
【解答】解：设直线AB解析式为y＝kx+b，把（15，27）（20，39.5）代入得：，
解之得：即y＝2.5x﹣10.5，当x＝21时，y＝42．
故选：C．
12．（3分）如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的 KLMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且 KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（　　）
A．24 B．25 C．26 D．27
【解答】解：如图，设PM＝PL＝NR＝KR＝a，正方形ORQP的边长为b．
由题意：a2+b2+（a+b）（a﹣b）＝50，
∴a2＝25，
∴正方形EFGH的面积＝a2＝25，
故选：B．
二、填空题：（每小题3分，共24分）
13．（3分）我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量．把130 000 000kg用科学记数法可表示为 　1.3×108　kg．
【解答】解：130 000 000＝1.3×108，
故答案为：1.3×108．
14．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥﹣3　．
【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
15．（3分）把2a2﹣4a因式分解的结果是 　2a（a﹣2）　．
【解答】解：原式＝2a（a﹣2），
故答案为：2a（a﹣2）．
16．（3分）计算：﹣的结果是 　　．
【解答】解：＝2﹣＝．
故答案为：．
17．（3分）不等式组的解集是　1＜x＜2　．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为1＜x＜2，
故答案为：1＜x＜2；
18．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，则tanB的值为 　　．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tanB＝＝．
故答案为．
故答案为：．
19．（3分）已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是　2或　．
【解答】解：分两种情况：
（1）点E在线段AD上时，△AEM∽△CBM，∴＝2；
（2）点E在线段AD的延长线上时，△AME∽△CMB，∴＝．
20．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED＝2∠CED，点G是DF的中点，若BE＝1，AG＝4，则AB的长为　　．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点，
∴AG＝DG，
∴∠ADG＝∠DAG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG＝∠CED，
∴∠AGE＝∠ADG+∠DAG＝2∠CED，
∵∠AED＝2∠CED，
∴∠AED＝∠AGE，
∴AE＝AG＝4，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝．
故答案为：．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求值的值，其中x＝4sin45°﹣2cos60°．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
x＝4sin45°﹣2cos60°
＝4×﹣2×
＝，
∴当x＝时，原式＝＝＝＝．
22．（7分）如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画一个以线段AB为一边的平行四边形ABCD，点C、D均在小正方形的顶点上，且平行四边形ABCD的面积为10；
（2）在图2中画一个钝角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且三角形ABE的面积为4，tan∠AEB＝．请直接写出BE的长．
【解答】解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示；
BE＝＝2．
23．（8分）“中秋节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“月饼”的习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的五仁月饼（A）、豆沙馅月饼（B）、红枣馅月饼（C）、蛋黄馅月饼（D）四种不同口味月饼的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民人数是多少人？
（2）将两幅统计图补充完整；
（3）若该居民区有8000人，请估计爱吃D月饼的是多少人？
【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民的人数是：60÷10%＝600（人）；
（2）C类的人数是：600﹣180﹣60﹣240＝120（人），所占的百分比是：×100%＝20%，
A类所占的百分比是：×100%＝30%．
A 类所占的百分比是：1﹣10%﹣20%﹣40%＝30%．补图
（3））8000×40%＝3200（人）．
答：估计爱吃D 月饼的人数为3200人．
24．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，
（1）如图（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图（2）若EG平分∠HEF，在不添加辅助线的条件下，直接写出长度等于EH的线段（不包括EH）
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，且AE＝CG，AH＝CF
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH＝GF，
同理EF＝GH
∴四边形EFGH是平行四边形
（2）∵四边形EFGH是平行四边形
∴EH∥FG
∴∠HEG＝∠EGF
∵EG平分∠HEF
∴∠HEG＝∠FEG
∴∠EGF＝∠FEG
∴EF＝FG，且四边形EFGH是平行四边形
∴四边形EFGH是菱形
∴EH＝EF＝FG＝GH
25．（10分）“六一”儿童节前夕，某时装店老板到厂家选购A、B两种品牌的儿童时装，若购进A品牌的时装5套，B品牌的时装6套，需要950元；若购进A品牌的时装3套，B品牌的时装2套，需要450元．
（1）求A、B两种品牌的时装每套进价分别为多少元？
（2）若1套A品牌的时装售价130元，1套B品牌的时装售价102元，时装店将购进的A、B两种服装共50套全部售出，所获利润要不少于1460元，问A品牌服装至少购进多少套？
【解答】解：（1）设A种品牌的时装每套进价为x元，B种品牌的时装每套进价为y元，依题意有
，
解得．
故A种品牌的时装每套进价为100元，B种品牌的时装每套进价为75元；
（2）设A种品牌的时装购进m套，则B种品牌的时装购进（50﹣m）套，依题意有
（130﹣100）m+（102﹣75）（50﹣m）≥1460，
解得m≥36，
∵m为正整数，
∴A品牌服装至少购进37套．
26．（10分）在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD，点E在射线AB上，现将矩形折叠，折痕为DE，点A的对应点记为点F．
（1）操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形ABCD的边BC上，直接写出一个与△BEF相似的三角形；
（2）深入探究：如图2，若点F落在矩形ABCD的边BC的下方时，EF、DF分别交BC于点M、N，过点F作FG⊥BC，FH⊥DC，垂足分别为点G、H，当点G是BC的中点时，试判断△DEF与△DFH是否相似，并证明你的结论；
（3）问题解决：在（2）的条件下，若AD＝3，BE＝，求CH的长．
【解答】解：（1）△CFD与△BEF相似的三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠A＝90°，
∴∠BFE+∠BEF＝90°，
由折叠的性质可知，∠DFE＝∠A＝90°，
∴∠BFE+∠CFD＝90°，
∴∠BEF＝∠CFD，
∴△BEF∽△CFD；
（2）△DEF∽△DFH，
理由：如解图，分别延长HF，AB交于点P，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵FH⊥CD，
∴∠DHF＝90°，
∴四边形 BPFG、四边形GFHC、四边形APHD都是矩形，
∴∠P＝∠H＝∠A＝90°，
∴∠PFE+∠PEF＝90°，
由折叠的性质可知，∠DFE＝∠A＝90°，
∴∠PFE+∠HFD＝90°，
∴∠PEF＝∠HFD，
∴△PEF∽△HFD，
∴，
∵BG＝MP，CG＝FH，点G是BG的中点，
∴BG＝CG，
∴PF＝FH，
∴，
∵∠DFE＝∠H＝90°，
∴△DEF∽△DFH；
（3）∵由（2）可知，△DEF∽△DFH，
∴∠EDF＝∠FDH，
由折叠的性质可知，∠EDF＝∠ADE，DF＝AD＝3，
∴∠ADE＝∠EDF＝∠FDH＝30°，
DH＝DF cos30°＝，
①当点E在AB上时，如解图，
AE＝AD＝×3＝，
∴AB＝AE+BE＝+＝，
∴CH＝DH﹣CD＝DH﹣AB＝﹣＝，
②当点E在AB的延长线上时，如解图，
AE＝AD＝×3＝，
∴AB＝AE﹣BE＝﹣＝，
∴CH＝DH﹣CD＝DH﹣AB＝﹣＝，
综上所述，CH的长为：或．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+6与y轴交于点C、与x轴交于点B，直线AD与y轴交于点A（0，），与直线BC交于点D（1，a）．
（1）如图（1）求直线AD的解析式；
（2）如图（2）点P是直线BC上的一点，点P的横坐标是t，求△OCP的面积S与t的函数关系式；
（3）如图（3）在（2）的条件下，将射线CB绕着点C顺时针旋转45°与射线DA交于点Q，当点P在线段DB上，连接PQ，若∠CQP＝∠OCB，求点P的坐标．
【解答】解：（1）把点D（1，a）代入y＝﹣2x+6，得：
∴a＝﹣2×1+6＝4，
∴点D的坐标为（1，4），
设直线AD解析式为y＝kx+b，把点D（1，4）、A（0，）代入y＝kx+b，
得：，
∴，
∴直线AD解析式为y＝x+，
（2）过P点作PH⊥y轴，
y＝﹣2x+6 当x＝0 时，y＝6，
∴C（0，6），
∴OC＝6，
当P点在y轴右侧时，
当t＞0，
∴△OCP的面积S＝OC PH＝×6×t＝3t，
当P点在y轴左侧时，当t＜0时，
∴△OCP的面积S＝OC PH＝×6×（﹣t）＝﹣3t，
即S与t的函数关系式为：S＝3t（t＞0）或S＝﹣3t（t＜0）；
（3）如图，过点B作BE⊥BC，交直线CQ于E，过E作EF⊥x轴于F，
在△OBC和△FEB中，
，
∴△OBC≌△FEB（ASA），
∴E（﹣3，﹣3），C（0，6），
∴直线CQ解析式可求为：y＝3x+6，
，
解得，
∴Q（﹣3，﹣3），
∴点 Q与点E重合，
过点Q作QM⊥y轴，过P作PH⊥x轴，
PH＝﹣2t+6，QM＝3，
∵∠CQP＝∠OCB，
∴△POH为等腰直角三角形，
∴﹣2t+6＝t．
∴t＝2．
∴P（2，2）．
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