黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校2023-2024学年九年级（上）开学数学试卷（五四学制）（含解析）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校2023-2024学年九年级（上）开学数学试卷（五四学制）（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-20 09:56:47 | ||
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文档简介
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校九年级（上）开学数学试卷（五四学制）
一.选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）在直角三角形中，各边的长度都扩大10倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．也扩大10倍 B．缩小为原来的
C．都不变 D．有的扩大，有的缩小
2．（3分）点（2，﹣3）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（2，3） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣6，﹣1）
3．（3分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则AC等于（ ）
A．6 B． C．10 D．12
5．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB＝3：4，AE＝6，则AC等于（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．（3分）如图．在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5cosa B． C．5sina D．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，BC＝3，则AC的长为（ ）
A． B． C．1 D．
8．（3分）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度a得到△A'B'C，∠A＝30°，∠1＝50°，则旋转角a等于（ ）
A．110° B．70° C．40° D．20°
9．（3分）下列说法中，正确的个数有（ ）
①长度相等的弧是等弧；
②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
③如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等；
④反比例函数的图象经过一三象限；
⑤中心对称的两个图形是全等的．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，△ABC中，DF∥BE，AD、BE相交于点G，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
二.填空题（每题3分，共30分）
11．点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为 ．
12．如图，已知直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、C、D、E、F，AB＝5cm，AC＝15cm，DE＝3cm，则EF的长为 cm．
13．如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠BOD＝130°，则∠DCE＝ °．
14．在反比例函数的图象上有两点（x1，y1）和（x2，y2），若x1＜0＜x2时，则y1 y2（填“＞”、“＝”、“＜”）．
15．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，∠AED＝30°，OB＝10，则弦AB＝ ．
16．如图，若点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为3，则k＝ ．
17．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，EF：AF＝2：5，若△DEF的面积是4，则四边形BCEF的面积是 ．
18．在半径为25cm的⊙O中，弦AB＝40cm，求此弦所对的弧的中点到这条弦之间的距离是 ．
19．如图，四边形ABCD中，AC＝AD，2∠ABD+∠CBD＝180°，BC＝4，tanACB＝，△ABD的面积为20，则AD长为 ．
20．计算：．
21．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均落在格点上．
（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；
（2）∠BCC1的正切值为 ．
22．如图，在两栋楼房之间的草坪中有一棵树，已知楼房AB的高度为10米，楼房CD的高度为15米，从A处看楼顶C处正好通过树顶E，而从D处看楼顶B处也正好通过树顶E．求这棵树的高度．
23．如图，在某海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）
24．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．
25．在⊙O中，弦AB、CD交于点E，连接AD、AC、BC，∠ACB﹣∠ABC＝2∠DAB，DH⊥AB于点H．
（1）求证：∠BAC＝2∠EDH；
（2）M为弦BC中点，过点M作MF⊥DC，连接HF，并延长HF交AC于G，3AG＝2BH，求证：FH＝FG；
（3）在（2）的条件下，若BC＝2CE，EF＝2，求⊙O的直径．
26．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB交x轴的正半轴于点A（6，0），交y轴的负半轴于点B，且tan∠．
（1）如图1，求直线AB的解析式；
（2）如图2，P为线段AB上一点，点C的坐标为，连接CP，设点P的横坐标为t，△BCP的面积为S，求S与t的函数关系式；（不需要写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点D的坐标为，点E、F都在y轴的负半轴上，且点E在点F的上方，连接DE、AC、AE、AF，且∠EDO＝∠ACO，若AE平分∠BAF，AF＝2AP，连接FP交AE于点G，求点G的坐标．
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校九年级（上）开学数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一.选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）在直角三角形中，各边的长度都扩大10倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．也扩大10倍 B．缩小为原来的
C．都不变 D．有的扩大，有的缩小
【解答】解：设原来直角三角形的两条直角边为a，b，斜边为c，则扩大后的直角三角形的两条直角边为10a，10b，斜边为10c，
原来的直角三角形的sinA＝，cosA＝，tanA＝，
扩大后的直角三角形的sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
由上可得，在直角三角形中，各边的长度都扩大10倍，则锐角A的三角函数值都不变，
故选：C．
2．（3分）点（2，﹣3）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（2，3） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣6，﹣1）
【解答】解：∵点（2，﹣3）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×（﹣3）＝6．
A、∵2×3＝6≠﹣6，∴此点不在函数图象上；
B、∵3×（﹣2）＝﹣6，∴此点，在函数图象上；
C、∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，此点不在函数图象上；
D、∵（﹣1）×（﹣6）＝6≠﹣6，此点不在函数图象上．
故选：B．
3．（3分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A选项中的图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
B选项中的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意；
C选项选项中的图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；
D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
4．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则AC等于（ ）
A．6 B． C．10 D．12
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，
∴tanA＝，AC＝＝6．
故选：A．
5．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB＝3：4，AE＝6，则AC等于（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB＝AE：AC，
而AD：AB＝3：4，AE＝6，
∴3：4＝6：AC，
∴AC＝8．
故选：D．
6．（3分）如图．在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5cosa B． C．5sina D．
【解答】解：由于相邻两树之间的水平距离为5米，坡角为α，
则两树在坡面上的距离AB＝．
故选：B．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，BC＝3，则AC的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝30°，
∵tanB＝＝tan30°＝，BC＝3，
∴AC＝．
故选：A．
8．（3分）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度a得到△A'B'C，∠A＝30°，∠1＝50°，则旋转角a等于（ ）
A．110° B．70° C．40° D．20°
【解答】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转某个角度α得到△A′B′C，
∴∠A＝∠A′＝30°，
又∵∠1＝∠A′+∠ACA′＝50°，
∴∠BCB′＝∠ACA′＝20°，
故选：D．
9．（3分）下列说法中，正确的个数有（ ）
①长度相等的弧是等弧；
②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
③如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等；
④反比例函数的图象经过一三象限；
⑤中心对称的两个图形是全等的．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故①错误，不符合题意；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故②错误，不符合题意；
在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，故③错误，不符合题意；
反比例函数的图象经过二、四象限，故④错误，不符合题意；
中心对称的两个图形是全等的，故⑤正确，符合题意；
故选：A．
10．（3分）如图，△ABC中，DF∥BE，AD、BE相交于点G，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵DF∥BE，
∴△AGE∽△ADF，△CDF∽△CBE，
∴＝，＝，＝，
无法得到＝，
故结论正确的是A、B、D，结论错误的是C．
故选：C．
二.填空题（每题3分，共30分）
11．点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为 （﹣3，2） ．
【解答】解：点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
12．如图，已知直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、C、D、E、F，AB＝5cm，AC＝15cm，DE＝3cm，则EF的长为 6 cm．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，即，
∴EF＝6，
故答案为：6．
13．如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠BOD＝130°，则∠DCE＝ 65 °．
【解答】解：∵∠BOD＝130°，
∴∠A＝∠BOD＝65°，
∵∠A+∠BCD＝180°，∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠DCE＝∠A＝65°．
故答案为：65．
14．在反比例函数的图象上有两点（x1，y1）和（x2，y2），若x1＜0＜x2时，则y1 ＜ y2（填“＞”、“＝”、“＜”）．
【解答】解：反比例函数，
∴该函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，第一象限内的y都大于0，第三象限内的y都小于0，
∵x1＜0＜x2，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
15．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，∠AED＝30°，OB＝10，则弦AB＝ 10 ．
【解答】解：∵OD⊥AB，
∴AC＝BC，＝，
∵∠AED＝30°，
∴∠BOD＝2∠AED＝60°，
在RT△OBC中，sin∠COB＝，
∴OB＝10，
∴＝，
∴AB＝2BC＝10．
故答案为10．
16．如图，若点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为3，则k＝ ﹣6 ．
【解答】解：因为△AOM的面积是3，
所以|k|＝2×3＝6．
又因为图象在二，四象限，k＜0，
所以k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
17．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，EF：AF＝2：5，若△DEF的面积是4，则四边形BCEF的面积是 31 ．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB．
∴△DEF∽△BAF．
∴＝＝．
∴＝＝，＝＝．
设S△DEF＝S，则S△ABF＝S，S△ADF＝S．
∴S△ABD＝S△ADF+S△ABF＝S+＝S＝S．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S△ABD＝S△DBC＝S．
∴S四边形EFBC＝S△BDC﹣S△DEF＝S﹣S＝S．
又S＝4，
∴S四边形EFBC＝×4＝31．
故答案为：31．
18．在半径为25cm的⊙O中，弦AB＝40cm，求此弦所对的弧的中点到这条弦之间的距离是 10cm或40cm． ．
【解答】解：点C和D为弦AB所对弧的中点，连接CD交AB于E，连接OA，如图，
∵点C和D为弦AB所对弧的中点，
∴CD为直径，CD⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝20，
在Rt△OAE中，∵OA＝25cm，AE＝20cm，
∴OE＝＝15（cm），
∴DE＝OD+OE＝40（cm），CE＝OC﹣OE＝10（cm），
即弦AB和弦AB所对的劣弧的中点的距离为10cm，弦AB和弦AB所对的优弧的中点的距离为40cm．
故答案为：10cm或40cm．
19．如图，四边形ABCD中，AC＝AD，2∠ABD+∠CBD＝180°，BC＝4，tanACB＝，△ABD的面积为20，则AD长为 ．
【解答】解：如图作AE⊥CB于E，AF⊥BD于F．
∵2∠ABD+∠CBD＝180°，∠CBD+∠ABD+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠ABF，
∴AE＝AF，
在Rt△ACE和Rt△ADF中，
，
∴△ACE≌△ADF，
∴CE＝DF，∠ACE＝∠ADF，设AE＝AF＝4x，
∵∠tan∠ACE＝tan∠ADF＝，
∴＝＝，
∴CE＝DF＝7x，BE＝BF＝7x﹣4，
∵S△ABD＝20，
∴（7x+7x﹣4） 4x＝20，
∴x＝1或﹣（舍弃），
∴AD＝＝＝，
故答案为．
20．计算：．
【解答】解：原式＝+
＝+
＝2+3﹣
＝5﹣．
21．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均落在格点上．
（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；
（2）∠BCC1的正切值为 ．
【解答】解：（1）如图：△A1B1C1即为所求；
（2）∠BCC1的正切值为：＝，
故答案为：．
22．如图，在两栋楼房之间的草坪中有一棵树，已知楼房AB的高度为10米，楼房CD的高度为15米，从A处看楼顶C处正好通过树顶E，而从D处看楼顶B处也正好通过树顶E．求这棵树的高度．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∵EF∥AB，
∴△FDE∽△ADB，
∴，
∵AB＝10，
∴EF＝6．
答：这棵树的高度为6米．
23．如图，在某海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）
【解答】解：过点B作BD⊥AC于D．
由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°+15°＝105°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°，
在Rt△ABD中，BD＝AB sin∠BAD＝20×＝10（海里），
在Rt△BCD中，BC＝（海里）．
答：此时船C与船B的距离是20海里．
24．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，1）在反比例函数的图象上，
∴m＝﹣2，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣；
∵点B（1，n）在y＝﹣图象上，
∴n＝﹣2，
∴B（1，﹣2），
∵A（﹣2，1），B（1，﹣2）在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，解得：
，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣1．
（2）设直线y＝﹣x﹣1与y轴的交点为C，则C（0，﹣1），即OC＝1，
S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×2+×1×1＝；
（3）根据图像，一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为：x＜﹣2或0＜x＜1．
25．在⊙O中，弦AB、CD交于点E，连接AD、AC、BC，∠ACB﹣∠ABC＝2∠DAB，DH⊥AB于点H．
（1）求证：∠BAC＝2∠EDH；
（2）M为弦BC中点，过点M作MF⊥DC，连接HF，并延长HF交AC于G，3AG＝2BH，求证：FH＝FG；
（3）在（2）的条件下，若BC＝2CE，EF＝2，求⊙O的直径．
【解答】（1）证明：∵∠ACB﹣∠ABC＝2∠DAB，∠DAB＝∠DCB，
∴∠ACB﹣∠ABC＝2∠DCB，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠ABC+∠DCB＝∠AEC，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠EAC+∠ACE+∠AEC＝180°，
∴∠EAC+2∠AEC＝180°，
∵DH⊥AB，
∴∠DHE＝90°，
∴∠DEH+∠EDH＝90°，
∴2∠DEH+2∠EDH＝180°，
∵∠AEC＝∠DEH，
∴2∠AEC+2∠EDH＝180°，
∴∠EAC＝2∠EDH，即∠BAC＝2∠EDH；
（2）证明：如图2，过点B作BK⊥DC于点K，连接KM、HK、BD，
∵BK⊥CD，
∴∠BKC＝90°，
∵M为BC的中点，
∴MK＝BC＝BM＝MC，
∵∠DBA＝∠DCA，∠DEB＝∠AEC＝∠ACE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴BD＝DE，
∵DH⊥AB，
∴BH＝EH，
在Rt△BEK中，HK＝BE＝HB＝EH，
∴∠HKE＝∠HEK，
∴∠HKF＝∠GCF，
∵MF⊥DC，MK＝MC，
∴FK＝CF，
在△HFK和△GFC中，
，
∴△HFK≌△GFC（ASA），
∴FH＝FG；
（3）解：如图3，过点G作GP∥AB交DC于点P，连接EM，
∵GP∥AB，
∴∠EHF＝∠PGF，
∵FH＝FG，∠EFH＝∠PFG，
∴△FHE≌△FGP（ASA），
∴EF＝PF＝EP，
∵△HFK≌△GFC，
∴HK＝CG，
∵HK＝HB＝HE，
∴CG＝HB＝HE，
∵3AG＝2BH，
∴＝，
∵GP∥AE，
∴＝＝，
∵EF＝PF，
∴EF＝EC，
∵EF＝2，
∴EC＝10，
∵BC＝2CE，MB＝MC，
∴MC＝MB＝CE＝10，
∴∠CEM＝∠CME，
过点E作EQ⊥BC于点Q，
∵EQ⊥BC，
∴∠EQC＝∠EQB＝∠MFE＝90°，
∵EM＝ME，
∴△EFM≌△MQE（AAS），
∴MQ＝EF＝2，
∴CF＝CQ＝10﹣2＝8，
在Rt△MFC中，由勾股定理得：FM2+FC2＝MC2，
即FM2+82＝102，
解得：FM＝6（负值已舍去），
∴EQ＝6，
∴tan∠ECQ＝＝＝，
∵BQ＝BM+MQ＝10+2＝12，
∴tan∠EBQ＝＝＝，
∴BE＝＝＝6，
取EC的中点T，连接AT，过点C作CR⊥AB于点R，
∵∠AEC＝∠ACE，
∴AE＝AC，
∵TE＝TC，
∴AT⊥DC，∠EAT＝∠CAT，
∵tan∠CBR＝，BC＝20，
∴BR＝2CR，
由勾股定理得：CR＝＝，
解得：CR＝4，
∴BR＝8，
∴ER＝BR﹣BE＝8﹣6＝2，
∴tan∠REC＝＝＝2，
∴tan∠EAT＝tan∠CAT＝，
∵tan∠ADC＝tan∠ABC＝＝，
∴tan∠CAT＝tan∠ADC＝，
设AT＝2k，
∴DT＝2AT＝4k，TC＝k，
∴DC＝5k，
∵tan∠CAT＝tan∠ADC，
∴∠CAT＝∠ADC，
∵∠CAT+∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝90°，
∴DC为直径，
∵EC＝10，
∴ET＝CT＝5，
∵DC＝5TC，
∴DC＝25，
∴⊙O的直径为25．
26．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB交x轴的正半轴于点A（6，0），交y轴的负半轴于点B，且tan∠．
（1）如图1，求直线AB的解析式；
（2）如图2，P为线段AB上一点，点C的坐标为，连接CP，设点P的横坐标为t，△BCP的面积为S，求S与t的函数关系式；（不需要写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点D的坐标为，点E、F都在y轴的负半轴上，且点E在点F的上方，连接DE、AC、AE、AF，且∠EDO＝∠ACO，若AE平分∠BAF，AF＝2AP，连接FP交AE于点G，求点G的坐标．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴tan∠OAB＝，
∵A（6，0），
∴OA＝6，
∴OB＝，
∴B（0，﹣），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣；
（2）∵C，B（0，﹣），
∴BC＝，
∴S△BCP＝BC xP＝，
∴S＝；
（3）如图，
作PQ⊥OA于Q，
∵∠AOC＝∠DOE，∠EDO＝∠ACO，
∴△AOC∽△EOD，
∴，
∴，
∴OE＝2，
∴BE＝OE﹣OB＝，
∵AE平分∠BAF，
∴，
∴，
∴，
设EF＝m，则AF＝m，
在Rt△AOF中，OA＝6，OF＝OE+EF＝m+2，AF＝m，
∴62+（m+2）2＝（m）2，
m1＝，m2＝﹣（舍去），
∴AF＝，
∴AP＝AF＝，
∵PQ∥OB，
∴△APQ∽△ABO，
∴，
∴＝，
∴AQ＝4，PQ＝，
∴OQ＝2，
∴P（2，﹣），
∵F（0，﹣），
∴直线PF的解析式为：y＝x﹣，
∵A（6，0），E（0，﹣2），
∴y＝x﹣2，
由得，
x＝，
当x＝时，y＝＝﹣，
∴G（，﹣）．
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一.选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）在直角三角形中，各边的长度都扩大10倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．也扩大10倍 B．缩小为原来的
C．都不变 D．有的扩大，有的缩小
2．（3分）点（2，﹣3）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（2，3） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣6，﹣1）
3．（3分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则AC等于（ ）
A．6 B． C．10 D．12
5．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB＝3：4，AE＝6，则AC等于（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．（3分）如图．在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5cosa B． C．5sina D．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，BC＝3，则AC的长为（ ）
A． B． C．1 D．
8．（3分）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度a得到△A'B'C，∠A＝30°，∠1＝50°，则旋转角a等于（ ）
A．110° B．70° C．40° D．20°
9．（3分）下列说法中，正确的个数有（ ）
①长度相等的弧是等弧；
②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
③如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等；
④反比例函数的图象经过一三象限；
⑤中心对称的两个图形是全等的．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，△ABC中，DF∥BE，AD、BE相交于点G，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
二.填空题（每题3分，共30分）
11．点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为 ．
12．如图，已知直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、C、D、E、F，AB＝5cm，AC＝15cm，DE＝3cm，则EF的长为 cm．
13．如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠BOD＝130°，则∠DCE＝ °．
14．在反比例函数的图象上有两点（x1，y1）和（x2，y2），若x1＜0＜x2时，则y1 y2（填“＞”、“＝”、“＜”）．
15．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，∠AED＝30°，OB＝10，则弦AB＝ ．
16．如图，若点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为3，则k＝ ．
17．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，EF：AF＝2：5，若△DEF的面积是4，则四边形BCEF的面积是 ．
18．在半径为25cm的⊙O中，弦AB＝40cm，求此弦所对的弧的中点到这条弦之间的距离是 ．
19．如图，四边形ABCD中，AC＝AD，2∠ABD+∠CBD＝180°，BC＝4，tanACB＝，△ABD的面积为20，则AD长为 ．
20．计算：．
21．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均落在格点上．
（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；
（2）∠BCC1的正切值为 ．
22．如图，在两栋楼房之间的草坪中有一棵树，已知楼房AB的高度为10米，楼房CD的高度为15米，从A处看楼顶C处正好通过树顶E，而从D处看楼顶B处也正好通过树顶E．求这棵树的高度．
23．如图，在某海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）
24．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．
25．在⊙O中，弦AB、CD交于点E，连接AD、AC、BC，∠ACB﹣∠ABC＝2∠DAB，DH⊥AB于点H．
（1）求证：∠BAC＝2∠EDH；
（2）M为弦BC中点，过点M作MF⊥DC，连接HF，并延长HF交AC于G，3AG＝2BH，求证：FH＝FG；
（3）在（2）的条件下，若BC＝2CE，EF＝2，求⊙O的直径．
26．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB交x轴的正半轴于点A（6，0），交y轴的负半轴于点B，且tan∠．
（1）如图1，求直线AB的解析式；
（2）如图2，P为线段AB上一点，点C的坐标为，连接CP，设点P的横坐标为t，△BCP的面积为S，求S与t的函数关系式；（不需要写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点D的坐标为，点E、F都在y轴的负半轴上，且点E在点F的上方，连接DE、AC、AE、AF，且∠EDO＝∠ACO，若AE平分∠BAF，AF＝2AP，连接FP交AE于点G，求点G的坐标．
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校九年级（上）开学数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一.选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）在直角三角形中，各边的长度都扩大10倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．也扩大10倍 B．缩小为原来的
C．都不变 D．有的扩大，有的缩小
【解答】解：设原来直角三角形的两条直角边为a，b，斜边为c，则扩大后的直角三角形的两条直角边为10a，10b，斜边为10c，
原来的直角三角形的sinA＝，cosA＝，tanA＝，
扩大后的直角三角形的sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
由上可得，在直角三角形中，各边的长度都扩大10倍，则锐角A的三角函数值都不变，
故选：C．
2．（3分）点（2，﹣3）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（2，3） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣6，﹣1）
【解答】解：∵点（2，﹣3）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×（﹣3）＝6．
A、∵2×3＝6≠﹣6，∴此点不在函数图象上；
B、∵3×（﹣2）＝﹣6，∴此点，在函数图象上；
C、∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，此点不在函数图象上；
D、∵（﹣1）×（﹣6）＝6≠﹣6，此点不在函数图象上．
故选：B．
3．（3分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A选项中的图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
B选项中的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意；
C选项选项中的图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；
D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
4．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则AC等于（ ）
A．6 B． C．10 D．12
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，
∴tanA＝，AC＝＝6．
故选：A．
5．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB＝3：4，AE＝6，则AC等于（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB＝AE：AC，
而AD：AB＝3：4，AE＝6，
∴3：4＝6：AC，
∴AC＝8．
故选：D．
6．（3分）如图．在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5cosa B． C．5sina D．
【解答】解：由于相邻两树之间的水平距离为5米，坡角为α，
则两树在坡面上的距离AB＝．
故选：B．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，BC＝3，则AC的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝30°，
∵tanB＝＝tan30°＝，BC＝3，
∴AC＝．
故选：A．
8．（3分）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度a得到△A'B'C，∠A＝30°，∠1＝50°，则旋转角a等于（ ）
A．110° B．70° C．40° D．20°
【解答】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转某个角度α得到△A′B′C，
∴∠A＝∠A′＝30°，
又∵∠1＝∠A′+∠ACA′＝50°，
∴∠BCB′＝∠ACA′＝20°，
故选：D．
9．（3分）下列说法中，正确的个数有（ ）
①长度相等的弧是等弧；
②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
③如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等；
④反比例函数的图象经过一三象限；
⑤中心对称的两个图形是全等的．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故①错误，不符合题意；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故②错误，不符合题意；
在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，故③错误，不符合题意；
反比例函数的图象经过二、四象限，故④错误，不符合题意；
中心对称的两个图形是全等的，故⑤正确，符合题意；
故选：A．
10．（3分）如图，△ABC中，DF∥BE，AD、BE相交于点G，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵DF∥BE，
∴△AGE∽△ADF，△CDF∽△CBE，
∴＝，＝，＝，
无法得到＝，
故结论正确的是A、B、D，结论错误的是C．
故选：C．
二.填空题（每题3分，共30分）
11．点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为 （﹣3，2） ．
【解答】解：点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
12．如图，已知直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、C、D、E、F，AB＝5cm，AC＝15cm，DE＝3cm，则EF的长为 6 cm．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，即，
∴EF＝6，
故答案为：6．
13．如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠BOD＝130°，则∠DCE＝ 65 °．
【解答】解：∵∠BOD＝130°，
∴∠A＝∠BOD＝65°，
∵∠A+∠BCD＝180°，∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠DCE＝∠A＝65°．
故答案为：65．
14．在反比例函数的图象上有两点（x1，y1）和（x2，y2），若x1＜0＜x2时，则y1 ＜ y2（填“＞”、“＝”、“＜”）．
【解答】解：反比例函数，
∴该函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，第一象限内的y都大于0，第三象限内的y都小于0，
∵x1＜0＜x2，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
15．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，∠AED＝30°，OB＝10，则弦AB＝ 10 ．
【解答】解：∵OD⊥AB，
∴AC＝BC，＝，
∵∠AED＝30°，
∴∠BOD＝2∠AED＝60°，
在RT△OBC中，sin∠COB＝，
∴OB＝10，
∴＝，
∴AB＝2BC＝10．
故答案为10．
16．如图，若点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为3，则k＝ ﹣6 ．
【解答】解：因为△AOM的面积是3，
所以|k|＝2×3＝6．
又因为图象在二，四象限，k＜0，
所以k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
17．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，EF：AF＝2：5，若△DEF的面积是4，则四边形BCEF的面积是 31 ．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB．
∴△DEF∽△BAF．
∴＝＝．
∴＝＝，＝＝．
设S△DEF＝S，则S△ABF＝S，S△ADF＝S．
∴S△ABD＝S△ADF+S△ABF＝S+＝S＝S．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S△ABD＝S△DBC＝S．
∴S四边形EFBC＝S△BDC﹣S△DEF＝S﹣S＝S．
又S＝4，
∴S四边形EFBC＝×4＝31．
故答案为：31．
18．在半径为25cm的⊙O中，弦AB＝40cm，求此弦所对的弧的中点到这条弦之间的距离是 10cm或40cm． ．
【解答】解：点C和D为弦AB所对弧的中点，连接CD交AB于E，连接OA，如图，
∵点C和D为弦AB所对弧的中点，
∴CD为直径，CD⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝20，
在Rt△OAE中，∵OA＝25cm，AE＝20cm，
∴OE＝＝15（cm），
∴DE＝OD+OE＝40（cm），CE＝OC﹣OE＝10（cm），
即弦AB和弦AB所对的劣弧的中点的距离为10cm，弦AB和弦AB所对的优弧的中点的距离为40cm．
故答案为：10cm或40cm．
19．如图，四边形ABCD中，AC＝AD，2∠ABD+∠CBD＝180°，BC＝4，tanACB＝，△ABD的面积为20，则AD长为 ．
【解答】解：如图作AE⊥CB于E，AF⊥BD于F．
∵2∠ABD+∠CBD＝180°，∠CBD+∠ABD+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠ABF，
∴AE＝AF，
在Rt△ACE和Rt△ADF中，
，
∴△ACE≌△ADF，
∴CE＝DF，∠ACE＝∠ADF，设AE＝AF＝4x，
∵∠tan∠ACE＝tan∠ADF＝，
∴＝＝，
∴CE＝DF＝7x，BE＝BF＝7x﹣4，
∵S△ABD＝20，
∴（7x+7x﹣4） 4x＝20，
∴x＝1或﹣（舍弃），
∴AD＝＝＝，
故答案为．
20．计算：．
【解答】解：原式＝+
＝+
＝2+3﹣
＝5﹣．
21．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均落在格点上．
（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；
（2）∠BCC1的正切值为 ．
【解答】解：（1）如图：△A1B1C1即为所求；
（2）∠BCC1的正切值为：＝，
故答案为：．
22．如图，在两栋楼房之间的草坪中有一棵树，已知楼房AB的高度为10米，楼房CD的高度为15米，从A处看楼顶C处正好通过树顶E，而从D处看楼顶B处也正好通过树顶E．求这棵树的高度．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∵EF∥AB，
∴△FDE∽△ADB，
∴，
∵AB＝10，
∴EF＝6．
答：这棵树的高度为6米．
23．如图，在某海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）
【解答】解：过点B作BD⊥AC于D．
由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°+15°＝105°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°，
在Rt△ABD中，BD＝AB sin∠BAD＝20×＝10（海里），
在Rt△BCD中，BC＝（海里）．
答：此时船C与船B的距离是20海里．
24．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，1）在反比例函数的图象上，
∴m＝﹣2，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣；
∵点B（1，n）在y＝﹣图象上，
∴n＝﹣2，
∴B（1，﹣2），
∵A（﹣2，1），B（1，﹣2）在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，解得：
，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣1．
（2）设直线y＝﹣x﹣1与y轴的交点为C，则C（0，﹣1），即OC＝1，
S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×2+×1×1＝；
（3）根据图像，一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为：x＜﹣2或0＜x＜1．
25．在⊙O中，弦AB、CD交于点E，连接AD、AC、BC，∠ACB﹣∠ABC＝2∠DAB，DH⊥AB于点H．
（1）求证：∠BAC＝2∠EDH；
（2）M为弦BC中点，过点M作MF⊥DC，连接HF，并延长HF交AC于G，3AG＝2BH，求证：FH＝FG；
（3）在（2）的条件下，若BC＝2CE，EF＝2，求⊙O的直径．
【解答】（1）证明：∵∠ACB﹣∠ABC＝2∠DAB，∠DAB＝∠DCB，
∴∠ACB﹣∠ABC＝2∠DCB，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠ABC+∠DCB＝∠AEC，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠EAC+∠ACE+∠AEC＝180°，
∴∠EAC+2∠AEC＝180°，
∵DH⊥AB，
∴∠DHE＝90°，
∴∠DEH+∠EDH＝90°，
∴2∠DEH+2∠EDH＝180°，
∵∠AEC＝∠DEH，
∴2∠AEC+2∠EDH＝180°，
∴∠EAC＝2∠EDH，即∠BAC＝2∠EDH；
（2）证明：如图2，过点B作BK⊥DC于点K，连接KM、HK、BD，
∵BK⊥CD，
∴∠BKC＝90°，
∵M为BC的中点，
∴MK＝BC＝BM＝MC，
∵∠DBA＝∠DCA，∠DEB＝∠AEC＝∠ACE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴BD＝DE，
∵DH⊥AB，
∴BH＝EH，
在Rt△BEK中，HK＝BE＝HB＝EH，
∴∠HKE＝∠HEK，
∴∠HKF＝∠GCF，
∵MF⊥DC，MK＝MC，
∴FK＝CF，
在△HFK和△GFC中，
，
∴△HFK≌△GFC（ASA），
∴FH＝FG；
（3）解：如图3，过点G作GP∥AB交DC于点P，连接EM，
∵GP∥AB，
∴∠EHF＝∠PGF，
∵FH＝FG，∠EFH＝∠PFG，
∴△FHE≌△FGP（ASA），
∴EF＝PF＝EP，
∵△HFK≌△GFC，
∴HK＝CG，
∵HK＝HB＝HE，
∴CG＝HB＝HE，
∵3AG＝2BH，
∴＝，
∵GP∥AE，
∴＝＝，
∵EF＝PF，
∴EF＝EC，
∵EF＝2，
∴EC＝10，
∵BC＝2CE，MB＝MC，
∴MC＝MB＝CE＝10，
∴∠CEM＝∠CME，
过点E作EQ⊥BC于点Q，
∵EQ⊥BC，
∴∠EQC＝∠EQB＝∠MFE＝90°，
∵EM＝ME，
∴△EFM≌△MQE（AAS），
∴MQ＝EF＝2，
∴CF＝CQ＝10﹣2＝8，
在Rt△MFC中，由勾股定理得：FM2+FC2＝MC2，
即FM2+82＝102，
解得：FM＝6（负值已舍去），
∴EQ＝6，
∴tan∠ECQ＝＝＝，
∵BQ＝BM+MQ＝10+2＝12，
∴tan∠EBQ＝＝＝，
∴BE＝＝＝6，
取EC的中点T，连接AT，过点C作CR⊥AB于点R，
∵∠AEC＝∠ACE，
∴AE＝AC，
∵TE＝TC，
∴AT⊥DC，∠EAT＝∠CAT，
∵tan∠CBR＝，BC＝20，
∴BR＝2CR，
由勾股定理得：CR＝＝，
解得：CR＝4，
∴BR＝8，
∴ER＝BR﹣BE＝8﹣6＝2，
∴tan∠REC＝＝＝2，
∴tan∠EAT＝tan∠CAT＝，
∵tan∠ADC＝tan∠ABC＝＝，
∴tan∠CAT＝tan∠ADC＝，
设AT＝2k，
∴DT＝2AT＝4k，TC＝k，
∴DC＝5k，
∵tan∠CAT＝tan∠ADC，
∴∠CAT＝∠ADC，
∵∠CAT+∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝90°，
∴DC为直径，
∵EC＝10，
∴ET＝CT＝5，
∵DC＝5TC，
∴DC＝25，
∴⊙O的直径为25．
26．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB交x轴的正半轴于点A（6，0），交y轴的负半轴于点B，且tan∠．
（1）如图1，求直线AB的解析式；
（2）如图2，P为线段AB上一点，点C的坐标为，连接CP，设点P的横坐标为t，△BCP的面积为S，求S与t的函数关系式；（不需要写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点D的坐标为，点E、F都在y轴的负半轴上，且点E在点F的上方，连接DE、AC、AE、AF，且∠EDO＝∠ACO，若AE平分∠BAF，AF＝2AP，连接FP交AE于点G，求点G的坐标．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴tan∠OAB＝，
∵A（6，0），
∴OA＝6，
∴OB＝，
∴B（0，﹣），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣；
（2）∵C，B（0，﹣），
∴BC＝，
∴S△BCP＝BC xP＝，
∴S＝；
（3）如图，
作PQ⊥OA于Q，
∵∠AOC＝∠DOE，∠EDO＝∠ACO，
∴△AOC∽△EOD，
∴，
∴，
∴OE＝2，
∴BE＝OE﹣OB＝，
∵AE平分∠BAF，
∴，
∴，
∴，
设EF＝m，则AF＝m，
在Rt△AOF中，OA＝6，OF＝OE+EF＝m+2，AF＝m，
∴62+（m+2）2＝（m）2，
m1＝，m2＝﹣（舍去），
∴AF＝，
∴AP＝AF＝，
∵PQ∥OB，
∴△APQ∽△ABO，
∴，
∴＝，
∴AQ＝4，PQ＝，
∴OQ＝2，
∴P（2，﹣），
∵F（0，﹣），
∴直线PF的解析式为：y＝x﹣，
∵A（6，0），E（0，﹣2），
∴y＝x﹣2，
由得，
x＝，
当x＝时，y＝＝﹣，
∴G（，﹣）．
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