黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学2023-2024学年九年级（上）开学数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学九年级（上）开学数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B．x2﹣4＝4
C．5x2+3x﹣2y＝0 D．x﹣5＝0
2．（3分）下列三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三条边长之比为
B．三条边长之比为
C．三条边长之比为5：12：13
D．三个角度数之比为1：3：4
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sinA的值是（　　）
A． B．2 C． D．
4．（3分）能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，CB＝CD
5．（3分）如图，身高1.6m的小亮站在某路灯下，发现自己的影长恰好是3m，经测量，此时小亮离路灯底部的距离是9m，则路灯离地面的高度AB是（　　）
A．4.8m B．6m C．6.4m D．9m
6．（3分）如图，河岸AD、BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A、B，夹角∠BCA＝50°，测得BC＝60m，则桥长AB＝（　　）m．
A． B．60 cos50° C． D．60 tan50°
7．（3分）点A（3，y1）和点B（﹣2，y2）都在直线y＝﹣2x+3上，则y1和y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
8．（3分）如图，AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20个，店里每星期衬衫的利润要达到2800元．若设每件衬衫售价降低x元，则可列方程为（　　）
A．（30+x）（100﹣20x）＝2800
B．（30+x）（100﹣4x）＝2800
C．（30﹣x）（100+20x）＝2800
D．（30﹣x）（100+4x）＝2800
10．（3分）周末小晨、小亮相约进行长跑比赛，两人同时起跑，刚跑出350米，小亮发现重要物品落在出发地，立刻原速返回，取回后以更快的速度投入比赛，若他们距离出发地y（m）与比赛时间x（min）的关系如图，下列说法正确的个数有（　　）
（1）小亮共跑了5200m；
（2）小晨全程的平均速度为250m/min；
（3）两人起跑以后第一次相遇时间为；
（4）小亮再次投入比赛后在距离终点750m时追上了小晨．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
12．（3分）函数y＝kx+2的图象经过点（1，3），则k＝　 　．
13．（3分）如图，图中所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5cm，则正方形A、B、C、D的面积和是 　 　cm2．
14．（3分）关于x的一元二次方程：（a﹣1）x2+2x+a2﹣1＝0的一个解是0，则a的值为 　 　．
15．（3分）若平行四边形中两个内角的度数比为2：3，则其中较小的内角是　 　°．
16．（3分）如图，在平行四边形ADBC中，点E是边AD的中点，EC交对角线AB于点F，则的值为 　 　．
17．（3分）某种茶叶的价格两次下降，每次下降的百分率相同，原来每袋125元，现在每袋80元，则每次下降的百分率是 　 　．
18．（3分）如图，正方形ABCD，∠EAF＝45°，∠EAF的两边分别交边BC，DC于点E、F，若BE＝2，DF＝3，则AF的长为 　 　．
19．（3分）已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F为直线BC上一点，EF＝BC，∠EFC＝50°，则∠EDF＝　 　度．
20．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，点D为BC上一点，过点B作AD的垂线交AD的延长线于点E，若∠ABD+∠CDA＝90°，4AD＝5DE，，则线段BD的长为 　 　．
三、解答题：（21、22题每题7分；23、24题每题8分；25、26、27题每题10分）
21．（7分）先化简，再求的值，其中a＝4cos30°﹣2tan45°．
22．（7分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在小正方形的顶点上，每个小正方形边长均为1．
（1）以原点O为位似中心，在第三象限画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为1：2；
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；连接A2B，B2B，并直接写出∠A2BB2的正切值．
23．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，点E为AB的中点，连接DE、CE，∠DEC＝90°．
（1）求证：BE2＝AD BC；
（2）若，AD＝2，求DC的长．
24．（8分）如图1，在矩形ABCD中，连接AC，作AC的垂直平分线分别交AD、BC于点F、E，EF与AC的交点为G，连接AE和CF．
（1）试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
（2）如图2，过点E作AD的垂线，分别交AC、AD于点K、H，直接写出与△FCG相似但不全等的三角形．
25．（10分）2023年哈尔滨马拉松比赛召开期间，某体育用品商店迎合市场热度，计划购进A、B种两种品牌的跑步鞋，若购进4双A品牌跑步鞋和3双B品牌跑步鞋，需要3200元，若购进3双A品牌跑步鞋和2双B品牌跑步鞋，需要2300元．
（1）求该商店购进A、B两种品牌跑步鞋的单价分别是多少？
（2）若商店共购进两种跑步鞋60双，且A品牌跑鞋的数量不多于B品牌跑步鞋的，如果这两种跑步鞋每双均加价20%出售，当购进A品牌跑步鞋多少双时，商店获得的总利润W最大，总利润W最大是多少？
26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D在线段CB的延长线上，连接AD，过点B作BE⊥BC交线段AD于点E，2∠BED+∠BAC＝120°．
（1）如图1，求∠CAD的度数；
（2）如图2，若，求的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接EC，EC交线段AB于点F，若BD＝3，求AF的长．
27．（10分）在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，C，过点C作CD∥OA交AB于点D，连接OD．
（1）如图1，求∠ADO的度数；
（2）如图2，点P在射线AO上（点P不与点A重合），过点P作PQ⊥AB，垂足为点Q，若AP＝m，DQ＝n，求出n与m的函数关系式，并直接写出m的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，当DQ＝3时，连接OQ，在射线QA上是否存在点K，连接OK，使△OQK为等腰三角形，若存在，求出AK的长．
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学九年级（上）开学数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B．x2﹣4＝4
C．5x2+3x﹣2y＝0 D．x﹣5＝0
【解答】解：A、是分式方程，不符合题意；
B、x2﹣4＝4是一元二次方程，符合题意；
C、5x2+3x﹣2y＝0是二元二次方程，不符合题意；
D、x﹣5＝0是一元一次方程，不符合题意．
故选：B．
2．（3分）下列三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三条边长之比为
B．三条边长之比为
C．三条边长之比为5：12：13
D．三个角度数之比为1：3：4
【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；
B、12+22＝（）2，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
C、52+122＝132，能作为直角三角形的三边长，故本选项符不合题意；
D、180°×＝90°，是直角三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sinA的值是（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：根据题意，AB＝＝BC，sinA＝＝＝．
故选：C．
4．（3分）能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，CB＝CD
【解答】解：根据平行四边形的判定定理知，A、B、D均不符合是平行四边形的条件；
C满足两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
故选：C．
5．（3分）如图，身高1.6m的小亮站在某路灯下，发现自己的影长恰好是3m，经测量，此时小亮离路灯底部的距离是9m，则路灯离地面的高度AB是（　　）
A．4.8m B．6m C．6.4m D．9m
【解答】解：如图，AD＝9m，DE＝3m，CD＝1.8m，
∵CD∥AB，
∴△EDC∽△EAB，
∴＝，即，
∴AB＝6.4m．
故选：C．
6．（3分）如图，河岸AD、BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A、B，夹角∠BCA＝50°，测得BC＝60m，则桥长AB＝（　　）m．
A． B．60 cos50° C． D．60 tan50°
【解答】由题意可得：∠ABC＝90°，BC＝60m，∠BCA＝50°，
∴，
∴AB＝BC tan50°＝60 tan50°，
故选：D．
7．（3分）点A（3，y1）和点B（﹣2，y2）都在直线y＝﹣2x+3上，则y1和y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+3中，k＝﹣2＜0，
∴此函数中y随x的增大而减小，
∵3＞﹣2，
∴y1＜y2．
故选：B．
8．（3分）如图，AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设AF交BE于点G，
∵CD∥EF，
∴△GCD∽△GEF，
∴＝，
故A不正确，D不正确；
∵CD∥EF，
∴＝，
故B不正确；
∵CD∥EF，
∴＝，
故C正确，
故选：C．
9．（3分）某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20个，店里每星期衬衫的利润要达到2800元．若设每件衬衫售价降低x元，则可列方程为（　　）
A．（30+x）（100﹣20x）＝2800
B．（30+x）（100﹣4x）＝2800
C．（30﹣x）（100+20x）＝2800
D．（30﹣x）（100+4x）＝2800
【解答】解：设每件衬衫售价降低x元，
根据题意得，（30﹣x）（100+4x）＝2800，
故选：D．
10．（3分）周末小晨、小亮相约进行长跑比赛，两人同时起跑，刚跑出350米，小亮发现重要物品落在出发地，立刻原速返回，取回后以更快的速度投入比赛，若他们距离出发地y（m）与比赛时间x（min）的关系如图，下列说法正确的个数有（　　）
（1）小亮共跑了5200m；
（2）小晨全程的平均速度为250m/min；
（3）两人起跑以后第一次相遇时间为；
（4）小亮再次投入比赛后在距离终点750m时追上了小晨．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由图象可知，小亮共跑了350×2+4500＝5200（m），故（1）正确；
∵4500÷18＝250（m/min），
∴小晨全程的平均速度为250m/min，故（2）正确；
∵700÷2.5＝280（m/min），
∴小亮最初速度为280m/min，
设两人起跑以后第一次相遇用x min，
则280x+250x＝350×2，
解得x＝，
∴两人起跑以后第一次相遇用min，故（3）错误；
小亮再次投入比赛的速度为＝300（m/min），
设小亮再次投入比赛后在距离终点y m时追上了小晨，
则＝﹣2.5，
解得y＝750，
∴小亮再次投入比赛后在距离终点750m时追上了小晨．故（4）正确，
∴正确的有3个，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≠2　．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
12．（3分）函数y＝kx+2的图象经过点（1，3），则k＝　1　．
【解答】解：∵函数y＝kx+2的图象经过点（1，3），
∴3＝k×1+2，
解得k＝1．
故答案为：1．
13．（3分）如图，图中所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5cm，则正方形A、B、C、D的面积和是 　25　cm2．
【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和＝52＝25cm2．
故答案为：25．
14．（3分）关于x的一元二次方程：（a﹣1）x2+2x+a2﹣1＝0的一个解是0，则a的值为 　﹣1　．
【解答】解：∵一元二次方程：（a﹣1）x2+2x+a2﹣1＝0的一个解是0，
∴a﹣1≠0，a2﹣1＝0，
解得a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．（3分）若平行四边形中两个内角的度数比为2：3，则其中较小的内角是　72　°．
【解答】解：设∠A＝3x，∠B＝2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴2x+3x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠B＝2×36°＝72°，
故答案为：72．
16．（3分）如图，在平行四边形ADBC中，点E是边AD的中点，EC交对角线AB于点F，则的值为 　2　．
【解答】解：∵四边形ADBC是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD，
∵点E是边AD的中点，
∴AD＝2AE，
∴BC＝2AE，
∵BC∥AE，
∴△BCF∽△AEF，
∴＝＝2，
故答案为：2．
17．（3分）某种茶叶的价格两次下降，每次下降的百分率相同，原来每袋125元，现在每袋80元，则每次下降的百分率是 　20%　．
【解答】解：设每次下降的百分率为x，
根据题意得：125（1﹣x）2＝80，
解得x＝20%或x＝（舍去），
∴每次下降的百分率是20%；
故答案为：20%．
18．（3分）如图，正方形ABCD，∠EAF＝45°，∠EAF的两边分别交边BC，DC于点E、F，若BE＝2，DF＝3，则AF的长为 　3　．
【解答】解：如图，延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG，
正方形ABCD中，AB＝AD，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABG＝90°＝∠D，
又AB＝AD，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠EAG＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAG＝∠EAF，
又AG＝AF，AE＝AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE＝FE，
∵GE＝BG+BE＝DF+BE，
∴FE＝DF+BE＝2+3＝5，
设正方形ABCD的边长为a，
∴CE＝BC﹣CE＝a﹣2，CF＝CD﹣DF＝a﹣3，
∵FE2＝CE2+CF2，
∴52＝（a﹣2）2+（a﹣3）2，
∴a＝﹣1（舍去）或a＝6，
∴AF＝＝＝3，
故答案为：3．
19．（3分）已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F为直线BC上一点，EF＝BC，∠EFC＝50°，则∠EDF＝　65或25　度．
【解答】解：如图1，∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∵EF＝BC，∠EFC＝50°，
∴ED＝EF，∠DEF＝∠EFC＝50°，
∴∠EDF＝65°，
如图2，∠DEF+∠EFC＝180°，
∴∠DEF＝130°，
∴∠EDF＝25°，
故答案为：65或25．
20．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，点D为BC上一点，过点B作AD的垂线交AD的延长线于点E，若∠ABD+∠CDA＝90°，4AD＝5DE，，则线段BD的长为 　8　．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠CAD+∠CDA＝90°，
∵∠ABD+∠CDA＝90°，
∴∠CAD＝∠ABD，
∵∠ACD＝∠ACB，
∴△ACD∽△BCA，
∴AC：BC＝CD：CA，
∴AC2＝CD BC，
∵AC＝3，
∴CD （CD+BD）＝，
∴CD2+CD BD＝90，
∵∠C＝∠E＝90°，∠CDA＝∠EDB，
∴△ACD∽△BED，
∴CD：DE＝AD：BD，
∴CD BD＝DE AD，
∵4AD＝5DE，
∴令AD＝5x，DE＝4x，
∴CD BD＝20x2，
∴CD2+20x2＝90，
∵CD2＝AD2﹣AC2，
∴CD2＝（5x）2﹣，
∴CD2＝25x2﹣90，
∴25x2﹣90+20x2＝90，
∴x＝2（舍去负值），
∴AD＝5x＝10，DE＝4x＝8，
∴CD＝＝，
∵CD BD＝DE AD，
∴BD＝8×10，
∴BD＝8．
故答案为：8．
三、解答题：（21、22题每题7分；23、24题每题8分；25、26、27题每题10分）
21．（7分）先化简，再求的值，其中a＝4cos30°﹣2tan45°．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当a＝4cos30°﹣2tan45°＝4×﹣2×1＝2﹣2时，
原式＝＝＝．
22．（7分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在小正方形的顶点上，每个小正方形边长均为1．
（1）以原点O为位似中心，在第三象限画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为1：2；
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；连接A2B，B2B，并直接写出∠A2BB2的正切值．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；使△A1B1C1与△ABC的相似比为1：2；
（2）如图，△A2B2C2为所作，tan∠A2BB2＝＝．
23．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，点E为AB的中点，连接DE、CE，∠DEC＝90°．
（1）求证：BE2＝AD BC；
（2）若，AD＝2，求DC的长．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠EBC＝180°﹣∠A＝90°，
∴∠A＝∠EBC，
∵∠DEC＝90°，
∴∠ADE＝∠BEC＝90°﹣∠AED，
∴△ADE∽△BEC，
∴＝，
∴AE BE＝AD BC，
∵点E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∴BE2＝AD BC.
（2）解：∵△ADE∽△BEC，
∴＝＝，
∵tan∠DCE＝＝，AD＝2，
∴＝＝＝，
∴AE＝BE＝2AD＝2×2＝4，
∴BC＝2AE＝2×4＝8，
延长DE、CB交于点F，则∠EBF＝∠A，
在△BFE和△ADE中，
，
∴△BFE≌△ADE（ASA），
∴BF＝AD＝2，FE＝DE，
∴CE垂直平分DF，
∴DC＝FC＝BF+BC＝2+8＝10，
∴DC的长为10．
24．（8分）如图1，在矩形ABCD中，连接AC，作AC的垂直平分线分别交AD、BC于点F、E，EF与AC的交点为G，连接AE和CF．
（1）试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
（2）如图2，过点E作AD的垂线，分别交AC、AD于点K、H，直接写出与△FCG相似但不全等的三角形．
【解答】解：（1）四边形AECF是菱形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，EF垂直平分AC，
∴AG＝CG，∠AGF＝∠CGE，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
在△AGF和△CGE中，
，
∴△AGF≌△CGE（ASA），
∴EG＝GF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）△KAH∽△FCG，△KEG∽△FCG．
理由：∵四边形AECF是菱形，
∴FA＝FC，
∴∠KAH＝∠FCG，
∵EF⊥AC，EH⊥AD，
∴∠AHK＝∠CGF＝∠EGK＝90°，
∴△KAH∽△FCG，
∴∠AKH＝∠CFG，
∵∠AKH＝∠EKG，
∴∠CFG＝∠EKG，
∵∠CGF＝∠EGK，
∴△KEG∽△FCG．
25．（10分）2023年哈尔滨马拉松比赛召开期间，某体育用品商店迎合市场热度，计划购进A、B种两种品牌的跑步鞋，若购进4双A品牌跑步鞋和3双B品牌跑步鞋，需要3200元，若购进3双A品牌跑步鞋和2双B品牌跑步鞋，需要2300元．
（1）求该商店购进A、B两种品牌跑步鞋的单价分别是多少？
（2）若商店共购进两种跑步鞋60双，且A品牌跑鞋的数量不多于B品牌跑步鞋的，如果这两种跑步鞋每双均加价20%出售，当购进A品牌跑步鞋多少双时，商店获得的总利润W最大，总利润W最大是多少？
【解答】解：（1）设每个A品牌跑步鞋的单价m元、每个B品牌跑步鞋的单价n元，根据题意，得：，
解得：，
答：每个A品牌跑步鞋的单价为500元、每个B品牌跑步鞋的单价为400元；
（2）∵两种跑步鞋60双，且A品牌跑鞋的数量不多于B品牌跑步鞋的，
∴x≥（60﹣x），
解得：x≥36，
60﹣x≥0，
解得：x≤60，
∴36≤x≤60，
在W＝500×20%x+400×20%（60﹣x）＝20x+4800，
∵20＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，W取得最大值，最大值为20×60+4800＝6000，
即最大利润为6000元．
∴应购进A品牌跑步鞋60个，销售利润最大，为6000元．
26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D在线段CB的延长线上，连接AD，过点B作BE⊥BC交线段AD于点E，2∠BED+∠BAC＝120°．
（1）如图1，求∠CAD的度数；
（2）如图2，若，求的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接EC，EC交线段AB于点F，若BD＝3，求AF的长．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠CAH＝∠BAC，
∵2∠BED+∠BAC＝120°，
∴∠BED+∠BAC＝60°，
∵BE⊥BC，AH⊥BC，
∴AH∥BE，
∴∠BED＝∠DAH，
∴∠DAH+∠BAC＝60°＝∠DAH+∠CAH，
∴∠CAD＝60°；
（2）如图2，过点A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵AH∥BE，
∴＝，
∴＝＝；
（3）如图3，过点A作AH⊥BC于H，交EC于N，作△ACD的外接圆⊙O，连接AO，CO，DO，过点O作OM⊥CD于M，OP⊥AH于P，
∵，BD＝3，
∴BC＝4，
∴BH＝CH＝2，
∵BE∥AH，
∴△DEB∽△DHA，△HNC∽△BEC，
∴，，
∴NH＝BE，BE＝AH，
设BE＝3a，则AH＝5a，NH＝a，
∴AN＝a，
∵BE∥AH，
∴＝，
∴AF＝AB，
∵∠DOC＝2∠DAC＝120°，OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝30°，
∵OM⊥BC，CD＝DB+BC＝7，
∴DM＝MC＝，DM＝OM，DO＝2OM，
∴OM＝，DO＝7，
∵AH⊥BC，OM⊥CD，OP⊥AH，
∴四边形OMHP是矩形，
∴OM＝PH＝，OP＝MH＝MC﹣HC＝，
∴AN＝＝＝，
∴AH＝+＝10，
∴AB＝＝＝4，
∴AF＝AB＝．
27．（10分）在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，C，过点C作CD∥OA交AB于点D，连接OD．
（1）如图1，求∠ADO的度数；
（2）如图2，点P在射线AO上（点P不与点A重合），过点P作PQ⊥AB，垂足为点Q，若AP＝m，DQ＝n，求出n与m的函数关系式，并直接写出m的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，当DQ＝3时，连接OQ，在射线QA上是否存在点K，连接OK，使△OQK为等腰三角形，若存在，求出AK的长．
【解答】解：（1）当x＝0，y＝4，则B（0，4），
当y＝0，x＝4，则A（4，0），
∵CD∥OA，
∴当y＝，x＝3，则D（3，），
∴OA2＝16，OD2＝32+（）2＝12，AD2＝（3﹣4）2+（）2＝4，
∵AD2+OD2＝OA2，
∴△AOD是直角三角形，
∴∠ADO＝90°；
（2）当P在线段OA上时，0＜m≤4，如图：
由题意知，AO＝4，AD＝2，∠AQP＝90°＝∠ADO，
∵∠APQ＝∠OAD，
∴△APQ∽△AOD，
∴，即，
解得n＝2﹣，
当P在点O左侧，如图：
同理，△APQ∽△AOD，
∴，即，
解得n＝，
综上所述，n与m的关系式为n＝；
（3）由题意知，AQ＝5，
如图，由题意知△OQK为等腰三角形，分OQ＝OK3，OQ＝QK2，OK1＝OK1三种情况求解；
①当OQ＝OK3，则OD为△OQK3底边QK3的高，
∴DK3＝DQ＝3，
∴AK3＝DK3﹣AD＝1；
②当OQ＝QK2，
由勾股定理得，OQ＝＝，
∴QK2＝，
∴AK2＝AQ﹣AK2＝5﹣；
③当OK1＝OK1，设K1（m，﹣m+4），
如图，过点Q作QM⊥OA与M，设OM＝a，则AM＝4﹣a，
由勾股定理得，QM2＝OQ2﹣OM2＝AQ2﹣AM2，
即（）2﹣a2＝52﹣（4﹣a）2，解得a＝，
当a＝，y＝﹣×+4＝，则Q（，），
∴m2+（m+4）2＝（m﹣）2+（m+4﹣）2，
解得m＝，
∴K1（，），
∴AK1＝＝；
综上所述，AK的长为1或5﹣或．
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