黑龙江省哈尔滨市南岗区2022-2023学年八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共计24分）
1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）计算a2 a的正确结果是（　　）
A．2a B．a2 C．a3 D．2a2
3．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　）
A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2
4．（3分）代数式，，，中，属于分式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a6 B．3a﹣2a＝1
C．（ab2）2＝ab4 D．a6÷a2＝a3
6．（3分）化简的结果是（　　）
A．5 B．±5 C．﹣5 D．25
7．（3分）计算x2y﹣3（x﹣1y）3的正确结果是（　　）
A．x B． C． D．0
8．（3分）如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，点E，F分别在AB，AC上，且∠BDE＝∠CDF＝60°，则图中与BD相等的线段（不包含BD）一共有（　　）
A．4条 B．6条 C．7条 D．8条
二、填空题（每小题3分，共计30分）
9．（3分）随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.00000000034m，用科学记数法表示是　 　．
10．（3分）当x＝　 　时，分式的值为0．
11．（3分）计算的结果是 　 　．
12．（3分）把多项式x2y﹣4y分解因式的结果是　 　．
13．（3分）已知≈1.414，则的近似值为 　 　（结果保留小数点后两位）．
14．（3分）分式方程＝的解是　 　．
15．（3分）若等腰三角形的两边长分别是2cm和3cm，则这个等腰三角形的周长是 　 　cm．
16．（3分）已知，，则x2+2xy+y2的值为　 　．
17．（3分）某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，可求得提速前列车的平均速度为　 　km/h．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AC交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E、F，作直线EF，交AB于点G，连接DG，则△BDG的周长为 　 　．
三、解答题（其中19-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共计66分）
19．（8分）计算：
（1）（2a）3 b4÷12a3b2；
（2）（3x+1）（x+2）．
20．（8分）计算：
（1）×
（2）2﹣6+3．
21．（8分）先化简，再求代数式的值，其中m为满足0＜m＜4的整数．
22．（10分）解方程与不等式：
（1）（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）（x+5）＝1；
（2）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）≤21．
23．（10分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，2）．
（1）已知△ABC和△A1B1C1关于x轴对称，点A1，B1，C1分别是点A，B，C的对称点，请直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
24．（10分）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
（1）计划修建灌溉水渠550米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建30米，再施工2天完成任务．甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建450米后，通过技术更新，每天比原来多修建25%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
25．（12分）已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°．点D在AB上，且AD＝AC，连接CD．
（1）如图1，求证：BD＝CD；
（2）过点D作△DEF，使∠DEF＝90°，∠EDF＝60°．连接CE并延长CE至点G，使EG＝CE，连接BF，BG，FG．
①如图2，当点F在DB的延长线上时，求证：△BFG是等边三角形；
②如图3，AC＝2，DE＝1，若∠BFD+∠EFG＝180°，求△BDF的面积．
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计24分）
1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）计算a2 a的正确结果是（　　）
A．2a B．a2 C．a3 D．2a2
【解答】解：a2 a＝a3．
故选：C．
3．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　）
A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x﹣2≥0，解得x≥2．
故选：A．
4．（3分）代数式，，，中，属于分式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：，的分母中不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；，的分母中含有字母，因此它们是分式，
故选：B．
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a6 B．3a﹣2a＝1
C．（ab2）2＝ab4 D．a6÷a2＝a3
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A符合题意；
B、3a﹣2a＝a，故B不符合题意；
C、（ab2）2＝a2b4，故C不符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故D不符合题意；
故选：A．
6．（3分）化简的结果是（　　）
A．5 B．±5 C．﹣5 D．25
【解答】解：原式＝＝5；
故选：A．
7．（3分）计算x2y﹣3（x﹣1y）3的正确结果是（　　）
A．x B． C． D．0
【解答】解：x2y﹣3（x﹣1y）3
＝x2y﹣3（x﹣3y3）
＝x﹣1
＝．
故选：B．
8．（3分）如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，点E，F分别在AB，AC上，且∠BDE＝∠CDF＝60°，则图中与BD相等的线段（不包含BD）一共有（　　）
A．4条 B．6条 C．7条 D．8条
【解答】解：如图，连接EF．
∵等边△ABC中，AD是BC边上的高，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵∠BDE＝∠CDF＝60°，
∴∠ADE＝∠ADF＝30°，
∴∠EDF＝60°，
△AEF、△BDE、△CDF、△DEF都是全等的等边三角形，
∴BD＝DC＝DE＝BE＝AE＝AF＝FC＝FD，
即图中与BD相等的线段有7条．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
9．（3分）随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.00000000034m，用科学记数法表示是　3.4×10﹣10　．
【解答】解：0.00000000034＝3.4×10﹣10，
故答案为：3.4×10﹣10
10．（3分）当x＝　1　时，分式的值为0．
【解答】解：由题意得：x﹣1＝0，且x≠0，
∴x＝1，
∴当x＝1时，的值为0．
故答案为：1．
11．（3分）计算的结果是 　x　．
【解答】解：原式＝
＝．
故答案为：x．
12．（3分）把多项式x2y﹣4y分解因式的结果是　y（x+2）（x﹣2）　．
【解答】解：x2y﹣4y
＝y（x2﹣4）
＝y（x+2）（x﹣2）．
故答案为：y（x+2）（x﹣2）．
13．（3分）已知≈1.414，则的近似值为 　2.83　（结果保留小数点后两位）．
【解答】解：＝2≈2.83，
故答案为：2.83．
14．（3分）分式方程＝的解是　x＝5　．
【解答】解：去分母得：2x﹣2＝x+3，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解．
故答案为：x＝5
15．（3分）若等腰三角形的两边长分别是2cm和3cm，则这个等腰三角形的周长是 　8或7　cm．
【解答】解：当2cm为底时，则其它两边都为3cm，
3cm、3cm、2cm可以构成三角形，
所以周长为8cm；
当3cm为底时，
其它两边为2cm和2cm，能构成三角形，
所以周长为7cm．
故答案为：8或7．
16．（3分）已知，，则x2+2xy+y2的值为　12　．
【解答】解：∵，，
∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（+1+﹣1）2＝（2）2＝12；
故答案为：12．
17．（3分）某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，可求得提速前列车的平均速度为　　km/h．
【解答】解：设提速前列车的平均速度为xkm/h，根据题意可得：
＝，
解得：x＝．
故答案为：．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AC交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E、F，作直线EF，交AB于点G，连接DG，则△BDG的周长为 　8　．
【解答】解：由题意知，BD＝BC，直线EF为线段AD的垂直平分线，
∴AG＝DG，
∴△BDG的周长为BD+DG+BG＝BC+AG+BG＝BC+AB＝8．
故答案为：8．
三、解答题（其中19-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共计66分）
19．（8分）计算：
（1）（2a）3 b4÷12a3b2；
（2）（3x+1）（x+2）．
【解答】解：（1）原式＝8a3 b4÷12a3b2＝；
（2）原式＝3x2+6x+x+2＝3x2+7x+2．
20．（8分）计算：
（1）×
（2）2﹣6+3．
【解答】解：（1）原式＝3×5÷
＝15÷
＝15；
（2）原式＝4﹣2+12
＝14．
21．（8分）先化简，再求代数式的值，其中m为满足0＜m＜4的整数．
【解答】解：原式＝
＝
＝m+3，
∵m﹣2≠0，m﹣3≠0，
∴m≠2，m≠3，
又∵m为满足0＜m＜4的整数，
∴m＝1，
∴原式＝1+3＝4．
22．（10分）解方程与不等式：
（1）（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）（x+5）＝1；
（2）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）≤21．
【解答】解：x2﹣4﹣（x2+5x﹣x﹣5）＝1，
x2﹣4﹣x2﹣5x+x+5＝1，
﹣4x＝0，
x＝0；
（2）4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣25）≤21，
4x2+8x+4﹣4x2+25≤21，
8x≤﹣8，
x≤﹣1．
23．（10分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，2）．
（1）已知△ABC和△A1B1C1关于x轴对称，点A1，B1，C1分别是点A，B，C的对称点，请直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，2），
∴A1（﹣4，﹣1），B1（﹣1，1），C1（﹣3，﹣2）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
24．（10分）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
（1）计划修建灌溉水渠550米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建30米，再施工2天完成任务．甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建450米后，通过技术更新，每天比原来多修建25%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
【解答】解：（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，则原计划每天施工（x﹣30）米，
由题意可得：5（x﹣30）+2x＝550，
解得x＝100，
答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米；
（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠m米，则技术更新后每天修建水渠m（1+25%）＝1.2m米，
由题意可得：+＝，
解得m＝90，
经检验，m＝90是原分式方程的解，
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
25．（12分）已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°．点D在AB上，且AD＝AC，连接CD．
（1）如图1，求证：BD＝CD；
（2）过点D作△DEF，使∠DEF＝90°，∠EDF＝60°．连接CE并延长CE至点G，使EG＝CE，连接BF，BG，FG．
①如图2，当点F在DB的延长线上时，求证：△BFG是等边三角形；
②如图3，AC＝2，DE＝1，若∠BFD+∠EFG＝180°，求△BDF的面积．
【解答】（1）证明：∵DA＝CA，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC＝CD，∠ACD＝∠A＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴BD＝CD；
（2）①证明：如图2，延长FE，DC交于点K，
∵∠FED＝90°，
∴∠EFD＝90°﹣∠FDE＝30°，
∴∠K＝∠KDA﹣∠DFK＝60°﹣30°＝30°，
∴∠K＝∠DFK，
∴FD＝KD，
又∵DB＝DC，
∴CK＝BF，
∵∠DEF＝90°，
∴DE⊥FK
又∵DK＝DF，
∴EK＝EF，
又∵∠CEK＝∠GEF，CE＝EG，
∴△CEK≌△GEF（SAS），
∴FG＝CK，∠GFK＝∠K＝30°，
∴FG＝BF，∠GFB＝∠GFK+∠DFK＝30°+30°＝60°，
∴△BFG是等边三角形；
②解：如图3延长DE至H，使EH＝DE，连接FH，GH，过点B作BM⊥DF于点M，
∵CE＝EG，∠CED＝∠GEH，DE＝EH，
∴△CDE≌△GHE（SAS），
∴GH＝CD，∠CDE＝∠GHE，
∵BD＝CD，
∴GH＝BD，
∵∠DEF＝90°，
∴FE⊥DH，
又∵DE＝EH，
∴FH＝FD
又∵∠FDH＝60°，
∴△DFH是等边三角形
∴∠DFH＝∠DHF＝60°，
∴∠EFH＝90°﹣∠DHF＝90°﹣60°＝30°，
设∠FHC＝α，
∴∠CDE＝∠GHE＝α+60°，
∴∠BDE＝∠BDC﹣∠CDF＝120°﹣（α+60°）＝60°﹣α，
∴∠BDF＝∠FDF﹣∠BDF＝60°﹣（60°﹣α）＝α，
∴∠BDF＝∠FHG，
∴△BDF≌△GHF（SAS），
∴∠BFD＝∠GFH，
令∠BFD＝β，则∠GFH＝β，
∴∠FFG＝∠GFH+∠FFH＝β+30°，
∵∠BFD+∠FFG＝180°，
∴β+β+30°＝180°，
∴β＝75°，
∴∠BFD＝75°，
在Rt△DEF中，∠DFE＝30°，
∴DF＝2DE＝2，
又∵BD＝CD＝AD＝2，
∴BD＝DF，
∴∠DBF＝∠BFD＝75°，
∴∠BDF＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
在Rt△BDM中，，
∴．
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