黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学2023-2024学年九年级（上）开学数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学九年级（上）开学数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）（﹣3）2的计算结果是（　　）
A．﹣9 B．﹣6 C．9 D．6
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a10÷a2＝a5 B．a2 a3＝a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
3．（3分）观察下列银行标志，从图案看不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下列函数：①y＝2x ②y＝③y＝2x+1 ④y＝2x2+1，其中一次函数的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象过二、三、四象限，则下列结论正确的是（　　）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
6．（3分）如图，一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m、n是常数，且mm≠0）的图象的是（　　）
A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④
7．（3分）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（　　）
A．580（1+x）2＝1185 B．1185（1+x）2＝580
C．580（1﹣x）2＝1185 D．1185（1﹣x）2＝580
8．（3分）分式方程的解为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
9．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝4
10．（3分）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）将数0.312用科学记数法表示为 　 　．
12．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是　 　．
13．（3分）把多项式2mx2﹣2m分解因式的结果是　 　．
14．（3分）不等式组的整数解为 　 　．
15．（3分）已知y＝（m﹣1）x|m|+m+2，y是x的一次函数，则m＝　 　．
16．（3分）已知直线y＝﹣2x+1向下平移m（m＞0）个单位后经过点（1，﹣3），则m的值为 　 　．
17．（3分）已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2，则它的周长是　 　．
18．（3分）若x2﹣4x+m2是完全平方式，则m＝　 　．
19．（3分）已知△ABC中，AB＝AC，且有一个内角等于30°，点B关于直线AC的对称点为E，连接BE和CE，则∠BEC＝　 　．
20．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点C的对应点是点N，BN与AC交于点P，与AD交于点M，若PQ：QC＝5：11，AB＝4，则PQ＝　 　．
三、解答题（其中21题各5分，22～26题各10分，共计60分）
21．（10分）解下列方程：
（1）x2﹣1＝2（x+1）；
（2）5x2﹣3x＝x+1．
22．（10分）在小正方形边长均为1的方格纸上，有线段AB、EF，点A、B、E、F均在小正方形的顶点上；
（1）在图1中画一个面积为10的正方形ABCD；
（2）在图2中画一个以EF为对角线，面积为6的矩形，直接写出矩形EGFH的周长．
23．（10分）如图，直线AB：y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线OE与直线AB交于点E，点E的纵坐标是横坐标的3倍．
（1）求直线OE的解析式；
（2）点P为直线OE上一点，点P的横坐标为t，过点P作x轴的垂线，交直线AB于Q，设PQ＝d，求d关于t的函数解析式及t的取值范围．
24．（10分）已知在平行四边形ABCD中，E是边DA的延长线上一点，且AE＝AD，连结EC，分别交AB、BD于点F、G．
（1）如图1，求证：AF＝BF；
（2）如图2，当∠ADC＝90°时，在不添加辅助线、不添加字母的情况下，请找出图中等于△EAF面积的2倍所有直角三角形．
25．（10分）某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定每件商品的利润不得超过30%．
（1）根据物价局规定，此商品每件售价最高可定为多少？
（2）若每件商品售价定为x元，则每天可卖出（170﹣5x）件，商店预期每天要盈利280元，那么每件商品的售价应定为多少元？
26．（10分）已知：边长为4的正方形ABCD中，点E在AB上，连接ED，过A点作ED的垂线，交BC于点P，垂足为F．点J在AD上，连接BJ，过C作BJ的垂线，交AB于点G，垂足为H，BJ交ED于点K，AP交CG于点Q．
（1）如图1，求证：△BAJ≌△CBG；
（2）如图1，直接写出KD与AQ的关系 　 　
（3）如图2，当CG经过点F，且点E是AB中点时，求JK长．
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学九年级（上）开学数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）（﹣3）2的计算结果是（　　）
A．﹣9 B．﹣6 C．9 D．6
【解答】解：根据有理数的乘方，（﹣3）2＝9．
故选：C．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a10÷a2＝a5 B．a2 a3＝a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【解答】解：A、a10÷a2＝a8，故此选项错误；
B、a2 a3＝a5，故此选项错误；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
D、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，正确．
故选：D．
3．（3分）观察下列银行标志，从图案看不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
4．（3分）下列函数：①y＝2x ②y＝③y＝2x+1 ④y＝2x2+1，其中一次函数的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：①y＝2x是一次函数；
②y＝是一次函数；
③y＝2x+1是一次函数；
④y＝2x2+1，自变量次数不是1，故不是一次函数．
综上，是一次函数的有①②③，共3个．
故选：B．
5．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象过二、三、四象限，则下列结论正确的是（　　）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第二，三，四象限，
∴k＜0，b＜0，
故选：D．
6．（3分）如图，一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m、n是常数，且mm≠0）的图象的是（　　）
A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④
【解答】解：①当mn＞0，m，n同号，y＝mnx的图象经过一、三象限，
同正时y＝mx+n的图象经过一、二、三象限，同负时过二、三、四象限，只有④符合题意；
②当mn＜0时，m，n异号，y＝mnx的图象经过二，四象限，
则y＝mx+n过一、三、四象限或一，二、四象限，只有②符合题意；
故选：D．
7．（3分）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（　　）
A．580（1+x）2＝1185 B．1185（1+x）2＝580
C．580（1﹣x）2＝1185 D．1185（1﹣x）2＝580
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意得出方程为：1185（1﹣x）2＝580．
故选：D．
8．（3分）分式方程的解为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【解答】解：方程的两边同乘2x（x+3），得
x+3＝4x，
解得x＝1．
检验：把x＝1代入2x（x+3）＝8≠0．
∴原方程的解为：x＝1．
故选：B．
9．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝4
【解答】解：x2﹣6x﹣5＝0，
x2﹣6x＝5，
x2﹣6x+9＝14，
所以（x﹣3）2＝14．
故选：A．
10．（3分）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵AD∥BC
∴
∵CD∥BE
∴△CDF∽△EBC
∴，
∴
∵AD∥BC
∴△AEF∽△EBC
∴
∴D错误．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）将数0.312用科学记数法表示为 　3.12×10﹣1　．
【解答】解：将数0.312用科学记数法表示为3.12×10﹣1．
故答案为：3.12×10﹣1．
12．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是　x≠6　．
【解答】解：由题意，得
x﹣6≠0，
解得x≠6，
故答案为：x≠6．
13．（3分）把多项式2mx2﹣2m分解因式的结果是　2m（x+1）（x﹣1）　．
【解答】解：2mx2﹣2m＝2m（x2﹣1）
＝2m（x+1）（x﹣1）．
故答案为：2m（x+1）（x﹣1）．
14．（3分）不等式组的整数解为 　x＝2　．
【解答】解：
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x＜3，
∴整数解为：x＝2．
故答案为：x＝2．
15．（3分）已知y＝（m﹣1）x|m|+m+2，y是x的一次函数，则m＝　﹣1　．
【解答】解：由题意得：|m|＝1，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
16．（3分）已知直线y＝﹣2x+1向下平移m（m＞0）个单位后经过点（1，﹣3），则m的值为 　2　．
【解答】解：将直线y＝﹣2x+1向下平移m（m＞0）个单位后所得直线为：y＝﹣2x+1﹣m．
将点（1，﹣3）代入，得﹣2+1﹣m＝﹣3．
解得m＝2．
故答案为：2．
17．（3分）已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2，则它的周长是　6　．
【解答】解：作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，
∴AD＝AB＝，
由勾股定理得，BD＝＝3，
∴BC＝2BD＝6，
∴△ABC的周长为：6+2+2＝6+4，
故答案为：6+4．
18．（3分）若x2﹣4x+m2是完全平方式，则m＝　±2　．
【解答】解：∵x2﹣4x+m2＝x2﹣2x 2+m2，
∴m2＝22＝4，
∴m＝±2．
故答案为：±2．
19．（3分）已知△ABC中，AB＝AC，且有一个内角等于30°，点B关于直线AC的对称点为E，连接BE和CE，则∠BEC＝　15°或60°　．
【解答】解：当底角是30°时，
∵∠ACB＝30°，B与E关于AC对称，
∴∠CBO＝∠BEC，∠EOC＝∠BOC＝90°，
∴∠BEC＝∠EBC＝60°
当顶角是30°时，
∵∠A＝30°，B与E关于AC对称，AB＝AC，
∴∠ACB＝，
∴∠CBO＝∠BEC，∠EOC＝∠BOC＝90°，
∴∠BEC＝∠EBC＝90°﹣75°＝15°，
故答案为：15°或60°．
20．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点C的对应点是点N，BN与AC交于点P，与AD交于点M，若PQ：QC＝5：11，AB＝4，则PQ＝　　．
【解答】解：∵PQ：QC＝5：11，矩形ABCD中AQ＝QC，
∴PQ：AC＝5：22，
∴AP：PQ：QC＝6：5：11，
∵AM∥BC，
∴AM：BC＝AP：PC＝6：16＝3：8，
∴AM：MD＝3：5，
∵AB＝ND，∠BAM＝∠DNM，∠AMB＝∠NMD，
∴△BAM≌△DNM（AAS），
∴NM＝AM，MD＝NB，
∴AM：MB＝3：5，
设AM＝3x，MB＝5x，
∵AB＝4，
∴（3x）2+42＝（5x）2，
∴x＝1，AM＝3，MD＝MB＝5，
∴AD＝8，AC＝BD＝＝4，
∴PQ＝AC＝．
三、解答题（其中21题各5分，22～26题各10分，共计60分）
21．（10分）解下列方程：
（1）x2﹣1＝2（x+1）；
（2）5x2﹣3x＝x+1．
【解答】解：（1）x2﹣1＝2（x+1），
（x+1）（x﹣1）﹣2（x+1）＝0，
（x+1）（x﹣1﹣2）＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
x+1＝0或x﹣3＝0，
x1＝﹣1，x2＝3；
（2）5x2﹣3x＝x+1，
整理得：5x2﹣4x﹣1＝0，
（x﹣1）（5x+1）＝0，
x﹣1＝0或5x+1＝0，
x1＝1，x2＝﹣．
22．（10分）在小正方形边长均为1的方格纸上，有线段AB、EF，点A、B、E、F均在小正方形的顶点上；
（1）在图1中画一个面积为10的正方形ABCD；
（2）在图2中画一个以EF为对角线，面积为6的矩形，直接写出矩形EGFH的周长．
【解答】解：（1）如图1中，正方形ABCD即为所求；
（2）如图2中，矩形EGFH即为所求．
∵EG＝，GF＝3，
∴矩形EGFH的周长＝2（+3）＝．
23．（10分）如图，直线AB：y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线OE与直线AB交于点E，点E的纵坐标是横坐标的3倍．
（1）求直线OE的解析式；
（2）点P为直线OE上一点，点P的横坐标为t，过点P作x轴的垂线，交直线AB于Q，设PQ＝d，求d关于t的函数解析式及t的取值范围．
【解答】解：（1）∵点E的纵坐标是横坐标的3倍，
∴设点E的坐标为（m，3m），
又∵点E在直线y＝x+4上，
∴3m＝m+4，
解得：m＝2，
∴点E的坐标为（2，6），
设直线OE的解析式为y＝kx（k≠0），
将点E（2，6）代入y＝kx，得：6＝2k，解得：k＝3，
∴直线OE的解析式为y＝3x，
（2）∵PQ⊥x轴，
∴点P与点Q的横坐标相同，均为t，
∵点P在直线OE上，点Q在直线AB上，
∴点P的坐标为（t，3t），点Q的坐标为（t，t+4），①当点P在点E的下方时，即：t＜2，如图：
此时，PQ＝d＝t+4﹣3t＝﹣2t+4，
②当点P与点Q重合时，即：t＝2，
此时，PQ＝d＝0，
③当点P在点E的上方时，即：t＞2，如图：
PQ＝d＝3t﹣（t+4）＝2t﹣4，
综上所述：d关于t的函数解析式为：．
24．（10分）已知在平行四边形ABCD中，E是边DA的延长线上一点，且AE＝AD，连结EC，分别交AB、BD于点F、G．
（1）如图1，求证：AF＝BF；
（2）如图2，当∠ADC＝90°时，在不添加辅助线、不添加字母的情况下，请找出图中等于△EAF面积的2倍所有直角三角形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEF＝∠BCF，
∵AE＝AD，
∴AE＝BC，
∵∠AFE＝∠BFC，
∴△AEF≌△BCF（AAS），
∴AF＝BF；
（2）当∠ADC＝90°时，四边形ABCD是矩形，
和（1）同理可得△AEF≌△BCF，
∴AF＝BF，
∴2S△EAF＝S△ABE，
∵图中与△ABE面积相等的直角三角形有：△ADC，△ABC，△ADB，△BCD，
故图中等于△EAF面积的2倍的直角三角形有：△ADC，△ABC，△ADB，△BCD，△ABE．
25．（10分）某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定每件商品的利润不得超过30%．
（1）根据物价局规定，此商品每件售价最高可定为多少？
（2）若每件商品售价定为x元，则每天可卖出（170﹣5x）件，商店预期每天要盈利280元，那么每件商品的售价应定为多少元？
【解答】解：（1）16（1+30%）＝20.8，
答：此商品每件售价最高可定为20.8元．
（2）（x﹣16）（170﹣5x）＝280，
整理，得：x2﹣50x+600＝0，
解得：x1＝20，x2＝30，
因为售价最高不得高于20.8元，所以x2＝30不合题意应舍去．
答：每件商品的售价应定为20元．
26．（10分）已知：边长为4的正方形ABCD中，点E在AB上，连接ED，过A点作ED的垂线，交BC于点P，垂足为F．点J在AD上，连接BJ，过C作BJ的垂线，交AB于点G，垂足为H，BJ交ED于点K，AP交CG于点Q．
（1）如图1，求证：△BAJ≌△CBG；
（2）如图1，直接写出KD与AQ的关系 　KD＝AQ　
（3）如图2，当CG经过点F，且点E是AB中点时，求JK长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∵BJ⊥CG，
∴∠BHG＝90°，
∴∠ABJ+∠AJB＝90°，∠ABJ+∠BGH＝90°，
∴∠AJB＝∠BGC，
在Rt△BAJ和Rt△CBG中，
，
∴Rt△BAJ≌Rt△CBG（AAS），
即△BAJ≌△CBG；
（2）解：由（1）可知，△BAJ≌△CBG，
∴AJ＝BG，∠AJB＝∠BGC，
∵AB＝AD，∠AJB+∠BJD＝180°，∠BGC+∠AGC＝180°，
∴AD﹣AJ＝AB﹣BG，即JD＝GA，∠DJK＝∠AGQ，
∵∠BAD＝90°，AF⊥DE，
∴∠GAQ+∠QAD＝90°，∠QAD+∠ADK＝90°，
∴∠GAQ＝∠JDK，
在△DJK和△AGQ中，
，
∴△DJK≌△AGQ（ASA），
∴KD＝QA，
故答案为：KD＝AQ；
（3）解：∵点E是AB 的中点，
∴AE＝BE＝B＝x4＝2．
在Rt△ADE中，AD＝AB＝4，
∴DE＝＝＝2，
∵AF⊥DE，S△ADE＝＝，
∴＝，
在Rt△AEF中，EF＝＝＝，
∴＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠GEF＝∠CDF，∠EGF＝∠DCF，
∴△EFG∽△DFC，
∴，且CD＝AB＝4，
∴GE＝＝＝1，且AE＝2，
∴点G是AE的中点，
在Rt△AEF中，GF＝＝＝1，
∴BG＝BE+EG＝2+1＝3．
在Rt△BCG中，CG＝＝＝5，
∵BH⊥CG，S△BCG＝BG BC＝CG GH，
∴BH＝，
在Rt△BCH 中，CH＝＝＝，
∴FH＝CG﹣CH﹣FG＝5﹣1﹣＝，
∵点G是AE的中点，
则AG＝GF＝GE，
∴∠GFE＝∠GEF＝∠KFH，
在Rt△AEF和Rt△FHK中，∠GEF+∠EAF＝90°，∠KFH+∠FKH＝90°，
∠EAF＝∠FKH，且∠AFE＝∠KHF＝90°，
∴Rt△AEF∽Rt△KFH，
∴，EF＝，AF＝，FH＝，
∴KH＝＝，
在Rt△ABJ和Rt△BHG中，∠ABJ+∠AJB＝90°，∠ABJ+∠BGH＝90°，
∴∠BGH＝∠AJB，
在△ABJ和△CBG中，
，
∴△ABJ≌△CBG中（AAS），
∴BJ＝CG＝5，且BH＝，HK＝，
∴JK＝BJ﹣BH﹣HK＝5﹣＝1，
∴JK长为1．
第1页（共1页）