辽宁省葫芦岛市2014--2015学年高二下学期市五校协作体期中考试数学（理）试题

2014-2015学年度下学期市五校高二期中考试
数学（理科）试题
第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每个小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．复数=的虚部和模依次是( )
(A)3,2 (B)3i, (C)1, (D)-1,2
2.从3男2女五人中选出3人组成一个工作小组,则至少含有1男1女的不同选法为( )
(A)18 (B)9 (C)7 (D)6
3.设函数f(x)=x3-2f(0)ex+3x-1,则f(0)=( )
(A)-3 (B)3 (C)-1 (D)5
4.用数学归纳法证明++…+>f(n)(n>1,nN+)的过程中,n=k+1时的左边比n=k的左边增加了的项为( )
(A) (B)- (C)+ (D) -
5.已知z是纯虚数,是实数,则z=( )
(A)i (B)-2i (C)-i (D)2i
6.已知f(1,1)=1,f(m,n)N+(m,nN+),且对任意m,nN+,都有:(1)f(m,n+1)=f(m,n)+2;
(2)f(m+1,1)=2f(m,1)给出以下三个结论: ①f(1,5)=9; ②f(5,1)=16; ③f(5,6)=26．
其中正确的个数为( )
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0
7.给出下列命题:①直线y=0与曲线y=x3相切; ②若f(x0)=0,则x0是f(x)的极值点; ③若f(x)可导且减于(a,b),则f(x)<0恒成立于(a,b);④对任意a0,[ln(ax)]=
其中正确命题的个数是( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
8.用4种不同的颜色填涂右图所示的1,2,3,4,5五个区域,要求一区一色,
邻区异色,则不同的填涂方法种数是( )
(A)120 (B)96 (C)72 (D)48
9设点P在曲线y=ex-x上,为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则的取值范围是( )
(A)[0,)∪(,) (B)(,) (C)[0,)∪[,) (D)(,)
10.在三角形中有如下性质:①任意两边之和大于第三边;②中位线长等于底边长的一半;③若内切圆半径为r,周长为l,则面积S=lr; ④三角形都有外接圆.
将其类比到空间则有:四面体中,①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积;②过同一顶点的三条棱中点的截面面积是第四个面面积的;③若内切球半径为R,表面积为s,则体积V=sR.④四面体都有外接球.其中正确的类比结果是( )
(A)①② (B)①②③ (C)①②④ (D)①②③④
11.若函数y=x3-3x在区间(a,6-a2)上有最小值,则实数a的取值范围是( )
(A)(-,1) (B)[-,1) (C)[-2,1) (D)(-2,1)
12.对于函数f(x),若满足f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点.现有函数g(x)=ex+x2-t(tR),记h(x)=g(g(x)),若存在m[0,1]为h(x)的不动点,则t的取值范围是( )
(A)[0,1] (B) [1,e] (C)[1,1+e] (D)[e,e+1]
第Ⅱ卷
本卷为必考题,每个试题考生都必须做答
二.填空题: 本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填写在答题卡的相应位置上.
13.由函数y=-2的图象、直线y=0及直线x=1围成的封闭平面区域的面积是_____
14.鸟醉花香花醉鸟,潺潺碧水碧潺潺,这是两句回文诗.类似的,从左到右与从右到左读都一样的正整数叫回文数,容易知道,一位回文数有9个,两位回文数有9个,则三位回文数共有_____个;2n+2(nN+)位回文数共有________个.
15.设{an}为递增的正整数数列,an+2=an+an+1(nN+)若a5=24,则a6=________
16.以半径为R的半球的球心O为顶点的圆锥内接于半球,且圆锥底面平行于半球大圆面,则圆锥体积的最大值是_______
三.解答题:本大题共有6个小题,满分70分,第17小题满分10分,其余各题满分均为12分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.将答案写在答题卡上相应题目的方框内.写在方框外无效！
17.(本题满分10分)
已知虚数w满足:①w2=;②w的对应点在复平面的第二象限.
(1) 求w;
(2) 若复数z满足|z-2w|=1,求|z|的取值范围;
18.(本题满分12分)
已知函数f(x)=ex-ax-1.
(1)当a=e时,求f(x)的单调区间;
(2)若对任意x0,都有f(x)0,求实数a的取值范围;
19.(本题满分12分)
有标号为1,2,3,4,5,6的六个小球,从中选出四个放入标号为1,2,3,4的四个
盒中,每盒只放一个小球.
(1)求奇数号盒只放奇数号小球的不同放法数；
(2)求奇数号小球必须放在奇数号盒中的不同放法数.
(3)若不许空盒且将六个小球都放入盒中,求所有不同的放法数.
20.(本题满分12分)
有一块长为8米,宽为5米的长方形钢板.
(1)现对其进行切割,焊接成一个长方体形水箱(无盖),
①从四个角处切去全等的小正方形,边长为x,
求水箱容积关于x的函数关系式V=f(x)及最大容积值;
②由于上述切割存在浪费,如果将切割下的小钢片重新焊接能够做成
水箱上盖,请你求出水箱容积的最大值;（结果保留小数点后两位）
(2)若不许材料浪费,则所做成的长方体水箱(无盖)的表面积是40,你能猜测出理论上最理想的焊接设计模型是怎样的,才能使容积达到最大吗 (给出焊接模型即可)
21.(本小题满分12分）
设曲线y=xn+1(nN+)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn.
(Ⅰ)令an=lgxn,试求a1+a2+…+a9的值;
(Ⅱ)令nf(n)=xn,是否存在最大的正整数m,
使得f(n)+f(n+1)+f(n+2)+…+f(2n-1)>对一切nN+都成立
若存在,求出m值;若不存在,说明理由.
22.(本小题满分12分)
已知f(x)=x(1+alnx) (aR)
(1) 若f(x)在[1,+∞)上是单调递减函数,求a的取值范围;
(2) 设a=1,若kZ,且k(x-2)2恒成立,求k的最大值.
2014-2015学年度市五校高二期中考试
数学(理)参考答案
一.选择题
1、C；2、B；3、A；4、D；5、B；6、A；7、C；8、B；9、A；10、D；11、C；12、B.
二.填空题
13、1-ln2; 14、90;910n(nN); 15、39; 16. eq \f(2,27)R3
三.解答题
18.解:(1)a=e时,f(x)=ex-ex-1,f(x)=ex-e,
当x<1时,f(x)<0恒成立;当x>1时, f(x)>0恒成立………………4分
∴f(x)的减区间是(-∞,1);增区间是(1,+∞) …………………6分
(2)f(x)=ex-a,∵x0,∴ex1.
①若a1,则f(x)0(仅当a=1且x=0时取等号)
∴f(x)增于[0,+∞),∴f(x)f(0)=0,合乎题意 …………………10分
②若a>1,令f(x)=0得,x=lna,易得f(x)在(-∞,lna)上单调减
在(lna,+∞)上单调增,而f(0)=0,所以f(x)在(0,lna)上不恒负,不合题意.
综上所述知a的取值范围是(-∞,1] …………………12分
19.解:(1)∵奇数号盒只放奇数号小球,每盒只放一个小球
∴先从3个奇数号小球中任取2个放入奇数号盒,有6种放法
再将剩余的4个小球中的2个放入余下的两个盒中,有12种放法
∴不同放法数为N1=612=72种 …………………4分
(2)∵奇数号小球必须放在奇数号盒中,每盒只放一个小球,
∴需分两类
①取出1个奇数号小球和3个偶数号小球共4球放入,共有=36种;
②取出2个奇数号小球和2个偶数号小球共4球放入,=36种
∴所有不同放法数为N2=36+36=72种 …………………8分
(3)由于盒不空且6个小球都要放入,所以考虑先对6个小球进行先分组再放入盒中.
①将6个小球分成1,1,1,3四组的不同分组方法数为,再放入四个盒中有种
②将6个小球分成1,1,2,2四组的不同分组方法数为,再放入四个盒中有种
∴所有不同放法数为N3=+=1560种 …………………12分
20. 解:(1)由题意知,水箱的底边两边长分别为8-2x米、5-2x米，高为x米
∴容积V=(8-2x)(5-2x)x,依题应有8-2x>0,5-2x>0.x>0,∴0∴f(x)=(8-2x)(5-2x)x,定义域为(0,) …………………2分
f(x)=12x2-52x+40=4(x-1)(3x-10),令f(x)=0解得x=1 (x=舍去)
00;1∴当x=1时,f(x)max=f(1)=18(平方米) …………………6分
(2)由题知,4x2(8-2x)(5-2x),解得x,即f(x)=(8-2x)(5-2x)x,定义域为[,)
由(1)可知,f(x)在[,)上为减函数,
∴当x=时,f(x)max= (平方米)≈7.74(平方米) …………………10分
(3)设长方体的长宽高分别为a,b,c,由题知ab+2ac+2bc=40
由均值定理得,403V4=abc eq \f(40,9)≈24.343
当且仅当a=b=2c时取等号,这时底面为正方形
∴理论上最理想的焊接设计是正四棱柱,此时容积最大！ ………12分
21. 解:(Ⅰ)y=(n+1)xn-1(nN+),∵点(1,1)在曲线y=xn+1上,∴切线斜率为k=n+1
∴切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0得,xn= …………………2分
于是an=lg,∴a1+a2+…+a9=lg+lg+…+lg=lg=-1 …………………4分
(Ⅱ)由nf(n)=xn得f(n)=, ∴f(n)+f(n+1)+f(n+2)+…+f(2n-1)=++…+
假设存在最大的正整数m,使++…+>恒成立
当n=1时,由>得,m<12 ……① ;当n=2时,由+>得m<14 ……②;
当n=3时,由++>得m<14.8 ……③ …………………6分
由①②③可猜测,m的最大值是11. …………………8分
下面用数学归纳法证明:不等式++…+>对一切nN+都成立.
(1)当n=1时,由上述可知,不等式显然成立;
(2)假设n=k(k1,kN)时,命题成立,即++…+> ……………10分
那么当n=k+1时,
++…+++=++…++(+-)
>+(-),∵->0,∴++…+++>
即n=k+1时,不等式也成立. ……………11分
由(1)与(2)知,不等式++…+>对一切nN+都成立.
因此,存在最大正整数m,且m=11满足题设. ……………12分
22.解: (1)定义域为(0,+∞)
f(x)=1+a+alnx,∵f(x)在[1,+∞)上是单调递减函数
∴f (x)0在[1,+∞)上恒成立
1+a+alnx01+a(1+lnx)0,∴a-, ……………4分
令g(x)=-,∵x1,∴1+lnx1, 0<1,∴g(x)min=-1
于是a-1 ,即a的取值范围是(-∞,-1] ……………6分
(2)a=1时,f(x)=x(1+lnx)
x
4
3
2
1
5