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专项素养训练四 一元一次方程设“元”的技巧
直接设元法
1.某学校开学第一周给某班配备了一定数量的口罩.若每个学生发5个,则多 40个口罩,若每个学生发6个,则少12个口罩,请问该班有多少名学生 学校给该班准备了多少个口罩
2.小华输液前发现瓶中药液共250毫升,输液器包装袋上标有“15滴/毫升”.输液开始时,药液流速为75滴/分钟.小华感觉身体不适,输液10分钟时调整了药液流速,输液20分钟时,瓶中的药液余量为160毫升.
(1)求输液10分钟时瓶中的药液余量;
(2)求小华从输液开始到结束所需的时间.
3.用两台水泵从同一池塘中向外抽水,单开甲泵5 h可抽完,单开乙泵2.5 h可抽完.
(1)如果两台水泵同时抽水,多长时间能把水抽完
(2)如果甲泵先抽2 h,剩下的由乙泵来抽,乙泵用多少时间才能把水抽完
间接设元法
4.某大型超市元旦假期举行促销活动,规定一次购物不超过100元的不给优惠;超过100元而不超过300时,按该次购物全额9折优惠;超过300元的其中300元仍按9折优惠,超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元,现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品,则小丽应该付款多少元
5.李伟从家里骑摩托车到火车站,如果每小时行30 km,那么比火车开车时间早到15 min;若每小时行18 km,那么比火车开车时间迟到15 min.现在距火车开车时间还有1 h,李伟打算在火车开车前10 min到达火车站,李伟此时骑摩托车的速度应该是多少
整体设元法
6.一个六位数左端的数字是1,如果把左端的数字1移到右端,那么所得新的六位数等于原数的3倍,求原来的六位数.
7.如图所示,以下算式中,每个汉字代表1个数字,不同的汉字代表不同的数字,已知“神”=3,求被乘数.
辅助设元法
8.一人沿笔直的公路行走,每4 min迎面开过一辆公交车,每12 min身后开过一辆公交车.若公路的两端各有一个公交车发车点,每过一段时间同时发车,且公交车和人的速度都保持不变,则公交车每隔多少分钟发一趟车
9.一片草原上的青草,到处都长得一样密一样快,设所有的牛每天吃的草量相同.已知在草地上放牧70头牛,则24天把草吃完;若放牧30头牛,则 60天把草吃完,那么多少头牛96天能把草地上的草吃完
解:设一头牛一天吃草量为a,草每天长出的量为b.根据原有的草量不变可知
比值设元法
10.第一车坊工作间内第一小组与第二小组的工作人员的人数之比是5∶3,第二车坊工作间突然遇上紧急事件,需要增加人员,即刻从第一小组和第二小组各调离2名到第二车坊工作间,这时如果从第一小组再调出4人到第二小组之后,第一小组人数与第二小组人数之比是1∶2,问第一小组和第二小组原来各有多少人
11.学校组织植树活动,已知在甲处植树的有6人,在乙处植树的有10人,在丙处植树的有8人,现调来若干人去支援,使在甲、乙、丙三处植树的总人数之比为2∶3∶4.设支援后在甲处植树的总人数有2x人.
(1)根据信息填表:
甲处 乙处 丙处
支援后的总人数 2x
支援的人数 2x-6
(2)已知支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍,求支援甲、乙、丙三处各有多少人
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专项素养训练四 一元一次方程设“元”的技巧
直接设元法
1.某学校开学第一周给某班配备了一定数量的口罩.若每个学生发5个,则多 40个口罩,若每个学生发6个,则少12个口罩,请问该班有多少名学生 学校给该班准备了多少个口罩
解:设该班有x名学生.
依题意,得5x+40=6x-12.
解得x=52.
所以5x+40=5×52+40=300(个).
答:该班有52名学生,学校给该班准备了300个口罩.
2.小华输液前发现瓶中药液共250毫升,输液器包装袋上标有“15滴/毫升”.输液开始时,药液流速为75滴/分钟.小华感觉身体不适,输液10分钟时调整了药液流速,输液20分钟时,瓶中的药液余量为160毫升.
(1)求输液10分钟时瓶中的药液余量;
(2)求小华从输液开始到结束所需的时间.
解:(1)250-75÷15×10=250-50=200(毫升).
答:输液10分钟时瓶中的药液余量是200毫升.
(2)设小华从输液开始到结束所需的时间为t分钟.
依题意,有(t-20)=160.
解得t=60.
答:小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟.
3.用两台水泵从同一池塘中向外抽水,单开甲泵5 h可抽完,单开乙泵2.5 h可抽完.
(1)如果两台水泵同时抽水,多长时间能把水抽完
(2)如果甲泵先抽2 h,剩下的由乙泵来抽,乙泵用多少时间才能把水抽完
解:(1)设x h能把水抽完.
依题意,得（+）x=1.
解得x=.
答:如果两台水泵同时抽水,需要 h能把水抽完.
(2)设乙泵用y h才能把水抽完.
根据题意,得×2+·y=1.
解得y=1.5.
答:乙泵用1.5 h才能把水抽完.
间接设元法
4.某大型超市元旦假期举行促销活动,规定一次购物不超过100元的不给优惠;超过100元而不超过300时,按该次购物全额9折优惠;超过300元的其中300元仍按9折优惠,超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元,现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品,则小丽应该付款多少元
解:因为100×0.9=90<94.5<100,
300×0.9=270<282.8,
所以设小美第二次购物的原价为x元,则(x-300)×0.8+300×0.9=282.8,解得x=316.
所以有两种情况:
情况1:小美第一次购物没有优惠,第二次购物原价超过300元,
则小丽应付(316+94.5-300)×0.8+300×0.9=358.4(元).
情况2:小美第一次购物原价超过100元,第二次购物原价超过
300元,
则第一次购物原价为94.5÷0.9=105(元),
所以小丽应付(316+105-300)×0.8+300×0.9=366.8(元).
答:小丽应该付款358.4元或366.8元.
5.李伟从家里骑摩托车到火车站,如果每小时行30 km,那么比火车开车时间早到15 min;若每小时行18 km,那么比火车开车时间迟到15 min.现在距火车开车时间还有1 h,李伟打算在火车开车前10 min到达火车站,李伟此时骑摩托车的速度应该是多少
解:设李伟从家到火车站的路程为y km.
根据题意,得+=-.
解得y=.
李伟骑摩托车的速度应该为=27(km/h).
答:李伟此时骑摩托车的速度应该是27 km/h.
整体设元法
6.一个六位数左端的数字是1,如果把左端的数字1移到右端,那么所得新的六位数等于原数的3倍,求原来的六位数.
解:设原数的1后面的五位数是x.
由题意,得10x+1=(100 000+x)×3.
7x=299 999,
x=42 857.
所以原数是142 857.
答:原来的六位数是142 857.
7.如图所示,以下算式中,每个汉字代表1个数字,不同的汉字代表不同的数字,已知“神”=3,求被乘数.
解:设“神舟五号”=A,“飞天”=B.根据题意,得
3×(100A+B)=10 000B+A,
∴23A=769B,而23和769互质,
故B=23n,A=769n(n是自然数),2≤n≤4.
但A的首位数字为3,只可能n=4,从而A=3 076,B=92.
所以被乘数是307 692.
辅助设元法
8.一人沿笔直的公路行走,每4 min迎面开过一辆公交车,每12 min身后开过一辆公交车.若公路的两端各有一个公交车发车点,每过一段时间同时发车,且公交车和人的速度都保持不变,则公交车每隔多少分钟发一趟车
解:设公交车的速度为x m/min,人步行的速度为y m/min.
依题意,得4(x+y)=12(x-y),即x=2y.
所以==6(min).
答:公交车每隔6 min发一趟车.
9.一片草原上的青草,到处都长得一样密一样快,设所有的牛每天吃的草量相同.已知在草地上放牧70头牛,则24天把草吃完;若放牧30头牛,则 60天把草吃完,那么多少头牛96天能把草地上的草吃完
解:设一头牛一天吃草量为a,草每天长出的量为b.根据原有的草量不变可知
70×24a-24b=30×60a-60b,即b=a.
设x头牛96天能把草地上的草吃完.由题意,得
96ax-96b=30×60a-60b.
将b=a代入,得x=20.
答:20头牛96天能把草地上的草吃完.
比值设元法
10.第一车坊工作间内第一小组与第二小组的工作人员的人数之比是5∶3,第二车坊工作间突然遇上紧急事件,需要增加人员,即刻从第一小组和第二小组各调离2名到第二车坊工作间,这时如果从第一小组再调出4人到第二小组之后,第一小组人数与第二小组人数之比是1∶2,问第一小组和第二小组原来各有多少人
解:设第一小组原来有5x人,则第二小组原来有3x人.
由题意,得(5x-2-4)∶(3x-2+4)=1∶2.
解得x=2.
所以5x=10,3x=6.
答:第一小组原来有10人,第二小组原来有6人.
11.学校组织植树活动,已知在甲处植树的有6人,在乙处植树的有10人,在丙处植树的有8人,现调来若干人去支援,使在甲、乙、丙三处植树的总人数之比为2∶3∶4.设支援后在甲处植树的总人数有2x人.
(1)根据信息填表:
甲处 乙处 丙处
支援后的总人数 2x
支援的人数 2x-6
(2)已知支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍,求支援甲、乙、丙三处各有多少人
解:(1)填表如下:
甲处 乙处 丙处
支援后的总人数 2x 3x 4x
支援的人数 2x-6 3x-10 4x-8
(2)依题意,得4x-8=2(3x-10).
解得x=6.
所以2x-6=6,3x-10=8,4x-8=16.
答:支援甲、乙、丙处各有6人,8人,16人.
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