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嘉陵区高 2022 级高二上期第三次月考
数学试题
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题(每小题 5分，共 40 分)
1．在四面体 中， + 等于（ ）
A． B． C． D．
2．若经过 , 3 ， 1,4 两点的直线的倾斜角为 45°，则 等于（ ）
A．2 B．1 C． 1 D． 2
3．设 ∈ R，则“ = 1”是“直线( + 1) + + 3 = 0与直线
2 + 5 = 0平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知向量 = 2, , 2 , = 2,4, ，若| | = 3，且 ⊥ ，则 的值为（ ）
A．0 B．4 C．0或 4 D．1或 4
5．已知 1, 2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠ 1 2 = 60°, 1 =
3 2 ，则 C的离心率为（ ）
A 7． B 13． C． 7 D． 13
2 2
6．若直线 = 1 + 2与曲线 = 4 2有且仅有两个不同的交点，
则实数 的取值范围是 （ ）
A． ∞，0 ∪ 4， +∞ B 4． ∞， ∪ 0， +∞
3 3
C 2 0 ∪ 4 2 D 2 4 ∪ 0 2． ， ， ． ， ，
3 3 3 3
7．已知四棱锥 中，底面四边形 为正方形，侧面 为正三角
形，且侧面 垂直底面 ，若 = 则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A 7 7．π 2 B． π 2 C． π 2 D．5π 2
3 4
8．已知 F为抛物线 C：y2=4x的焦点，过 F作两条互相垂直的直线 l1，l2，
直线 l1与 C交于 A、B两点，直线 l2与 C交于 D、E两点，则|AB|+|DE|的最
小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
试卷第 1页，共 4页
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二、多选题(每题 5分，共 20 分，全对得 5分，部分选对得 2分，多选或错
选得 0 分)
9．已知方程 2 + 2 + 2 = 0，下列叙述正确的是（ ）
A．方程表示的是圆
B．当 = 0时，方程表示过原点的圆
C．方程表示的圆关于直线 + + 1 = 0对称
D．方程表示的圆的圆心在 x轴上
10．下列结论中正确的是（ ）
A．若 = ( 1,1,2)， = (2,2, 1)分别为直线 l，m的方向向量，则 ⊥
B．若 = ( 1,1,2)为直线 的方向向量， = (3,1,1)为平面 的法向量，
则 // 或
C．若 1 = (4, 2,1)， 2 = ( 2,1,2)分别为两个不同平面 ， 的法向量，
则 //
D．若向量 = ( , 1, )是平面 的法向量，向量 = ( 1,2,0)， =
( 1,1,1)，则 = 1
2 2
11．已知椭圆 : 2 +
2 = 1( > > 0)的左 右焦点分别为 1, 2，长轴长为 4，
点 ( 2, 1)在椭圆 外，点 在椭圆 上，则（ ）
A．椭圆 2的离心率的取值范围是 0,
2
B 3．当椭圆 的离心率为 时， 1 的取值范围是[2 3, 2 + 3]2
C．存在点 使得 1 2 = 0
D 1． + 1 的最小值为 1
1 2
12．在棱长为 2的正方体 1 1 1 1中，动点 满足 = + 1 ，
其中 ∈ 0,1 ， ∈ 0,1 ，则（ ）
A．当 = 1时，有且仅有一个点 ，使得 ⊥ 1
B．当 = 1时，有且仅有一个点 ，使得 1 ⊥平面 1
C．当 + = 1时，三棱锥 1 1的体积为定值
D．有且仅有两个点 ，使得 = 3
试卷第 2页，共 4页
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三、填空题(每题 5分，共 20分)
13．已知抛物线 2 = 8 ，过焦点的直线与抛物线交于 、 两点，若 = 9，
则此直线的斜率= .
14．在三棱锥 中， ⊥底面 ， 是 的中点，已知∠ =
π , = 2, = 2 3, = 2，则异面直线 BC与 AD所成角的余弦值
2
为 ．
15．若圆 2 + 2 = 2( > 0)上恰有四个点到直线 2 = 0的距离为 1，
则实数 的取值范围是 .
2 2
16 ．双曲线 E： = 1，过 4, > 0 作直线 l交双曲线于 A，B两点，
4 12
若不存在直线 l使得P是线段 的中点，则 t的取值范围是 .
四、解答题(17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分)
17．已知空间三点 2,0,2 ， 1,1,2 ， 3,0,4 ，设 = ， = ．
(1)求 cos , ；
(2) + 与 2 互相垂直，求实数 的值.
18．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所
示，四面体 中， ⊥平面 ， = ， 是棱 的中点．
(1)判断四面体 是否为鳖臑，并说明理由；
(2)若四面体 是鳖臑，且 = = 2，求直线 与平面
所成的角的大小．
19．已知点 0,2 , 3,2 ，动点 , 满足到 , 两点的距离
1
之比为 .设动点 的轨迹为曲线 .
2
(1)求 的方程；
(2)已知直线 过点 2,1 ，且与曲线 交于 , 两点，若 = 2 3,求 的方程.
试卷第 3页，共 4页
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20．如图，已知正方体 1 1 1 1的棱长为 1， 是 1的中点.
(1)求证： ⊥平面 1 ；
(2)求平面 1 和底面 1 1 1 1夹角的正弦值.
21．已知抛物线 : 2 = 2 过点 1,2 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）求过点 3, 2 的直线与抛物线 交于 、 两个不同的点(均与点 不
重合)．设直线 、 的斜率分别为 1、 2，求证： 1 2为定值．
2 2
22 ．已知 ， 分别是椭圆 : 2 + 2 = 1 > > 0 的左顶点与左焦点， ，
是 上关于原点 对称的两点， + = 4， = 1．
(1)求 的方程；
(2)已知过点 3,0 的直线 交 于 ， 两点， ， 是直线 = 3上关于 轴
对称的两点，证明：直线 ， 的交点在一条定直线上．
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABTYIEoggIABAAABgCAQVICAEQkAEACAoGhAAAMAABAANABAA=}#}数学试题参考答案：
一、单选题(每小题5分，共40分)
1．C 2．D 3．A 4．C 5．A 6．D 7．B 8．A
二、多选题(每题5分，共20分，全对得5分，部分选对得2分，多选或错选得0分)
9．BCD 10．BD 11．BCD12．BC
【详解】对于A，当时，由，得，因为，所以点在线段上，
设 ，则，，，，
若，则，
则，则或，
当时，与重合；当时，与重合，
故当时，有两个点，使得，故A不正确；
对于B，当时，由，得，又，则点在线段上，
因为，，，平面，
所以平面，
若平面，则平面与平面重合，
此时必与重合，即当时，有且仅有一个点，使得平面，故B正确；
对于C，当时，由以及，，得点在线段上，
因为，平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离等于到平面的距离，
所以为定值，故C正确；
对于D，由，以及，得点在侧面内，
易知，，由，，得，
所以点的轨迹是侧面内以为圆心，为半径的弧，
即有无数个点满足题意，故D不正确.
三、填空题(每题5分，共20分)
13．. 14．/ 15．
16．
【详解】因为双曲线方程为，设，若点P为线段的中点，
则，又，两式相减并化简可得，
又直线的斜率，即，
设直线l的方程为，联立 ,
化简可得
因为直线与双曲线有两个不同的交点，
所以，又，
化简得，即或，
所以不存在直线l使得P是线段中点的t的取值范围为，
故答案为：.
四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)
17．(1) (2)或
【详解】（1）由题设，，
所以．
（2）由，，而，
所以，
可得或．
18．【详解】（1）证明：平面，平面，
，
，是棱的中点，，
又，且平面，平面，
平面，
平面，；
因此,
故，，，为直角，所以四面体是鳖臑，
（2）四面体是鳖臑，，，
又，
，
由（1）知平面，所以为直线与平面所成的角，
由于是中点，所以故.
19．(1)
(2)或
【详解】（1）由题可得，
化简得，
即的方程为.
（2）由题可知的斜率存在，设，
即.
由（1）可知曲线是以为圆心，2为半径的圆，
因为，
所以圆心到直线的距离为，
所以，解得或.
所以的方程为或.
20．【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，故，
所以，所以，
又，平面，因此平面.
（2）平面的法向量为，
，则
取，可得，
设平面和底面夹角为，
因为平面的一个法向量为，
所以，
故，
所以平面和底面夹角的正弦值为.
21．【详解】（1）因为抛物线过点，
所以，，抛物线方程为.
（2）设，，直线的方程为，
联立，整理得，
，，，
则
，
故为定值.
22．【详解】（1）设椭圆的半焦距为，其右焦点为，
由椭圆的对称性可知，即，
又，所以，，
则椭圆方程为：；
（2）由已知可得直线的斜率一定存在，
则设直线的方程为，设，，
联立直线与椭圆，
得，，即，
则，，
设，，，
则直线的方程为，
直线的方程为，
两式相减可得
又 ，
所以，即，
解得，
所以直线与的交点在直线上.
