九年级数学下册试题 7.5解直角三角形同步练习-苏科版（含答案）

7.5解直角三角形
一．选择题
1． 在直角坐标平面内有一点P（2，3），OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
2． 如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO，则点F的坐标是（　　）
A．（8，） B．（8，12） C．（6，） D．（6，10）
3． 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠A，O是AC边上一点，以OA为半径的⊙O交AB于点D，若BD＝2，AD＝AC，则线段OB的长为（　　）
A．2 B．3 C．2 D．
4． 如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（3，1），则tanα的值是（　　）
A． B． C． D．3
5． 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA，则BD的长度为（　　）
A． B． C． D．4
6． 如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB于D，若tanC，AD＝8，则AB的长为（　　）
A． B．10 C． D．12
7． 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，AC＝3，则BC的长为（　　）
A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°
8． 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA，则CD的值为（　　）
A． B． C． D．2
9． 如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos∠ACB值为（　　）
A． B． C． D．
10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°2．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）
A．1 B．1 C． D．
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为（　　）
A． B． C． D．
12．已知α，β均为锐角，若tanα，tanβ，则α+β＝（　　）
A．45° B．30° C．60° D．90°
二．填空题
13．在平面直角坐标系xOy中有一点A（3，4），如果OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα＝　 　．
14．在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC，则BC的长为　 　．
15．在△ABC中，AB＝AC，若BD⊥直线AC于点D，若cos∠BAD，BD＝2，则CD为　 　．
16．已知：如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝6，AC＝6，AD是BC边上的高，则BC的长为　 　．
17．在△ABC中，AB＝AC，若cosA，则　 　．
18．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB，则AD长度是　 　．
19．在△ABC中，cosB，BC＝4，AC＝4，则AB＝　 　．
20．如图，在△ABC中，tan∠DFC＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，若AC＝2，则线段EF的长为　 　．
21．如图，已知△ABC中，∠BAC＝60°，D是线段BC上一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E、F．
（1）若AD＝4，则EF的长为　 　．
（2）若∠ABC＝45°，AB，则EF的最小值为　 　．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线分别交边BC，AB于点D，E．如果BC＝18，tanA，那么CD＝　 　．
23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD，cos∠E，则的值是　 　．
24．如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，在AH上取一点K，连接CK，使得∠HKC+∠HAC＝90°，在CK上取一点N，使得CNAC，连接BN，交AH于点M，若tan∠ABC＝2，BN＝15，则CH的长为　 　．
三．解答题
25．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，tanB＝2，点D为边BC延长线上一点，CD＝BC，联结AD．求∠D的余切值．
26．如图，在Rt△ABC中，设a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD，求∠B，a，c的值．
27．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，D是AC上一点，若tan∠DBA．
（1）求AD的长；
（2）求sin∠DBC的值．
28．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．
（1）如图1，若AE＝DE，
①求证：CD平分∠ACB；
②求的值；
（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．
29．如图，AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD为⊙O的切线，切点为D，AE⊥CD于点E，且AE与⊙O交于点F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）如果BC＝5，sinC，求AF的长．
30．已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．
（1）求∠EAD的余切值；
（2）求的值．
答案
一．选择题
D．B．B．C．C．B．C．C．C．B．D．A．
二．填空题
13．．
14．3或．
15．2或10．
16．12．
17．．
18．10．
19．4或8．
20．1．
21．（1）；（2）
22．5．
23．．
24．6．
三．解答题
25．过点A作AH⊥BC于H，
∵
∴在Rt△ABH中
AB2＝AH2+BH2
解得BH＝2，
则AH＝4，
∵AB＝AC，AH⊥BC
∴HC＝BH＝2
∴CD＝BC＝2BH＝4
∴HD＝HC+CD＝6
26．∵∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD，
∴cos∠CAD，
∴∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∴c＝2b＝16，a8，
即∠B＝30°，a＝8，c＝16．
27．（1）过点D作DH⊥AB于点H，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，
∴∠A＝45°，AC＝BC＝8，
∴AH＝DH，
设AH＝x，则DH＝x
∵tan∠DBA，
∴BH＝3x，
∴AB＝4x，
由勾股定理可知：AB8，
∴x＝2，
由勾股定理可得，AD4；
（2）∵AD＝4，
∴DC＝AC﹣AD＝4，
由勾股定理得，DB4，
∴sin∠DBC．
28．（1）①证明：∵AE＝DE，
∴∠ADE＝∠DAE，
∵∠CAD＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ACD，
∴EA＝EC，
∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，
∴∠ACD＝22.5°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，
∴CD平分∠ACB．
②如图1中，过点D作DT⊥BC于T．
∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，
∴DA＝DT，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，
∴BDDTAD，
∴．
（2）如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．
∵AE⊥BE，CT⊥AT，
∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAT，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAT（AAS），
∴AE＝CT，BE＝AT，
∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，
∴ET＝CT＝AE，
∴BE＝2AE，
∴tan∠ABE.
29．（1）证明：如图，连接OD，AD．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥EC，
∵AE⊥EC，
∴OD∥AE，
∴∠ADO＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠EAD，
∴，
即点D是的中点．
（2）过点O作OH⊥AE于H，则AH＝HF．设OA＝OB＝OD＝r，
∵∠ODC＝90°，
∴sin∠C，
∴，
解得r，
∵OH⊥AE，EC⊥AE，
∴OH∥EC，
∴∠AOH＝∠C，
∴sin∠AOH＝sin∠C，
∴，
∴AH，
∴AF＝2AH＝9．
30．（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
Rt△ADB中，AB＝13，cos∠BAC，
∴AD＝5，
由勾股定理得：BD＝12，
∵E是BD的中点，
∴ED＝6，
∴∠EAD的余切；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，
∵AC＝8，AD＝5，
∴CD＝3，
∵DG∥AF，
∴，
设CG＝3x，FG＝5x，
∵EF∥DG，BE＝ED，
∴BF＝FG＝5x，
∴．