因式分解复习课件

课件53张PPT。 因 式 分 解 北京大学附属中学 鲍敬宜
(一)【教学目标】
1、认知目标：
（1）理解因式分解的意义和概念（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反方向的恒等变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法，培养学生创编因式分解题目的能力??(3) 掌握因式分解的基本方法:提公因式法、公式法.明确用公式法分解因式就是逆用乘法公式,进一步提高代数式的恒等变形能力。
2、能力目标：在因式分解的教学中，注意揭示数学中的可逆关系，培养学生的辨证思维以及创造性思维能力, 提高学生的综合运用能力。
3、情感目标：培养学生独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。激发学习兴趣，使学生满腔热忱，科学积极地投入到这部分内容的学习,让学生体验到成功的喜悦.(二)教学重点、难点：
教学重点：
熟练运用提取公因式和公式法这两种方法解题以及灵活掌握因式分解的综合应用。
教学难点：
1.正确寻找公因式
2. 灵活运用公式法分解因式，正确理解公式中a、b
公式中a、b，既可以表示单项式(数、字母）又可以表示多项式（三）教学过程一：因式分解的的概念练习、比一比，看谁算得快（抢答）：
(1) 已知：a =2007，则a2+a能被2008整除吗？
a2+a=a(a+1)=2007（2007+1）=2007 2008
(2)已知：a=101,b=99,求a2-b2的值。
a2-b2=(a+b)(a-b)= (101+99)(101-99)=400
(3)若a=89,b=-11, 求a2-2ab+b2值
a2-2ab+b2=(a-b) 2=(89+11)2 =10000；
(4) 已知a-b=2，ab=7，求a2b-ab2的值。
a2b-ab2=ab(a-b)=14
(5)绿湖公园有两块长方形的草地，这两个长方形的长分别是13.2m、16.8m,宽都是9.7 m,求这两块草地的总面积 。
(5)依题意列式

如果长方形的长分别是a、b,宽都是 m, 则这两块草地的总面积为：
ma＋mb =m(a＋b)a2+a=a(a+1)
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2-2ab+b2=(a-b) 2
a2b-ab2=ab(a-b)
ma＋mb =m(a＋b)
我们把上面这种从左式到右式的恒等变形叫做多项式的因式分解. 观察上面这五道题的解题过程，你有什么发现 ？ 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．多项式的因式分解的概念下面请同学们回忆一下我们曾经学过整式乘法及乘法公式：
①ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ)＝ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ
②(ｘ＋ｍ)(ｘ＋ｎ)＝ｘ2+(ｍ＋n)ｘ＋ｍn.
③ (ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)＝ａ2-b2
④ (ａ＋ｂ)2＝ａ2＋2ａｂ＋ｂ2，
⑤(ａ－ｂ)2＝ａ2－2ａｂ＋ｂ2.　整式乘法因式分解因式分解ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ)，
ｘ2＋(ｍ＋ｎ)ｘ＋ｍｎ＝(ｘ＋ｍ)(ｘ＋ｎ)，
ａ2-ｂ2＝(ａ＋ｂ)(ａ-ｂ)，　　
ａ2＋2ａｂ＋ｂ2＝(ａ＋ｂ)2，
ａ2－2ａｂ＋ｂ2＝(ａ－ｂ)2，例1请你利用整式乘法与因式分解之间的这种关系编出一道因式分解的题目由于(x+2)(x-1)=x2+x-2
可编题目：将多项式x2+x-2分解因式x2+x-2 =(x+2)(x-1) 例2 根据因式分解的概念，判断下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
(1) a(2ｘ－ｙ)＝2aｘ-aｙ
(2) 9ａ2－ｂ2+1＝(3ａ＋ｂ)(3ａ－ｂ)+1；
(3)ｘ2－ｘ－6＝(ｘ＋2)(ｘ－3)；
(4)(ａ＋ｂ)(ｍ＋ｎ)＝ａｍ＋ａｎ＋ｂｍ＋ｂｎ；
(5) 3ａ2(ａ－ｂ)-6ａ3＝3ａ2(a－ｂ－2ａ)=-3a2（a+b）.
(6)
(7) x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(N)(N)(Y)(N)(Y)(N)(N)提公因式法分解因式?整式乘法：
m(a+b+c)=ma+mb+mc? 逆变形得到
因式分解的第一种方法：ma+mb+mc=m(a+b+c) ma+mb+mc=m(a+b+c)把多项式ma+mb+mc中的公因式提出来，则这个多项式就可分解成两个因式m和a+b+c的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例如多项式-4x2y3z+12x3y4中各项的公因式是
- 4x2y3．
公因式中系数的“+”、“-”号，一般由首项来决定。
确定公因式一般可以从以下二个方面来考虑：　　(1)先提取数字因数。若多项式的各项系数都是整数，那么公因式的系数是这些系数绝对值的最大公约数；若有分数因数，则最好先提取分数因数，使多项式系数转化为整数，使解题过程简化．　　(2)再提取相同的字母。若多项式的各项含有相同的字母，就应把它作为公因式提取，相同字母的指数取该字母在各项中最低的指数。例1 把下列各式分解因式（如何检验分解的正确性呢？）（1）-
（2）4x3y2+14x2y-2xy
（3）-4a3b2+16ab3c-12a2b2c2
（4）2am-1bn-4ambn+1=-3x2(2-xy)解（2） 4x3y2+14x2y-2xy
　　 =2xy·2x2y+2xy·7x-2xy·1
　　 =2xy(2x2y+7x-1)
（3） -4a3b2+16ab3c-12a2b2c2
=-4ab2(a2-4bc+3ac2）
（4）2am-1bn-4ambn+1+6am+1bn
=2am-1bn（1-2ab+3a2）例1 把下列各式分解因式1)
2)
3)
4) 5x3y(x-y)3-15x4y3(y-x)2
5) (7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=（b+c)(2a-1)=6(a-b)2[3b-2(a-b)]
=6(a-b)2(5b-2a) 解（3）　　4) 5x3y(x-y)3-15x4y3(y-x)2
解法一： 5x3y(x-y)3-15x4y3(y-x)2　　 =5x3y(x-y)3-15x4y3(x-y)2　　 =5x3y(x-y)2(x-y-3xy2)
解法二： 5x3y(x-y)3-15x4y3(y-x)2　　 =-5x3y(y-x)3-15x4y3(y-x)2　　 =-5x3y(y-x)2(y-x+3xy2)因为y-x=-(x-y)，所以(y-x)2=[-(x-y)]2=(x-y)2，(y-x)3=[-(x-y)]3=-(x-y)3……(y-x)2n+1=-(x-y)2n+1,
(y-x)2n=(x-y)2n(n为正整数)．5) (7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b) (7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)
=(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)]
=(a-2b)(8a-16b)
=8(a-2b)(a-2b)
=8(a-2b)2 练习:把下列各式分解因式（1）2x(x-2y)+4y(2y-x) (2) (2a+b)(3b-2a)-a(2a+b)解（1） 2x(x-2y)+4y(2y-x)
= 2x(x-2y)-4y(x-2y)
=2(x-2y)(x-2y)
=2(x-2y)2
(2) (2a+b)(3b-2a)-a(2a+b)
=(2a+b)(3b-2a-a)
=(2a+b)(3b-3a)
=3(2a+b)(b-a)三．运用公式法分解因式平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。 这种分解因式的方法叫做运用公式法。（1）利用平方差公式进行因式分解：公式特点 a2-b2=(a+b)(a-b) 左边：
①多项式为二项式；②两项的符号相反；③每项都可化为某数（或某式）的平方形式。即形如（ ）2－（ ）2右边：
这两个数（或式）的和与这两个数（或式）的差的积。
练习 对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式
1) m2 - 16 2) 4x2 - 9y2m2 - 16= m2 - 42 =( m + 4)( m - 4) a2 - b2 = ( a + b)( a - b )4x2 - 9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)(2x-3y)例1 下列多项式能否用平方差公式分解因式？说说你的理由。（1）4x2+y2 (2) 4x2-(-y)2
(3) -4x2-y2 (4) -4x2+y2
√√xx例2 运用a2-b2=(a+ b)(a- b)把下列各式分解因式：(1)-m2n2+4p2
(2)
3）1-25b2
4）
解:（1） -m2n2+4p2=(2p)2-(mn)2= (2p+mn)(2p-mn)
(2)
(3) 1-25b2
=(1+5b)(1-5b)
(4)
例3 把下列各多项式分解因式：1） ( x + z )2- ( y + z )2
2） 4( a + b)2 - 25(a - b)2
3） (x + y + z)2 - (x – y – z )2
4) (4a+5b)2–(2a-b)2
5) 9x2-(x-2y)21) ( x + z )2- ( y + z )2
=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)] =(x+y+2z)(x-y)
2) 4( a + b)2 - 25(a - b)2
=[2(a+b)]2-[5(a-b)]2
=[2(a+b)+ 5(a-b)][2(a+b)- 5(a-b)]
=(7a-3b)(7b-3a)解:
公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式.分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项。
3)(x + y + z)2 - (x – y – z )2=[(x+y+z)+(x-y-z)]×[(x+y+z)- (x-y-z)]
=2 x ( 2 y + 2 z)
=4 x ( y + z )4) (4a+5b)2–(2a-b)2
=(4a+5b+2a-b) [4a+5b-(2a-b)]
=(6a+4b)(2a+6b)
=4 (3a+2b)(a+3b)5) 9x2-(x-2y)29x2-(x-2y)2
=(3x) 2-(x-2y)2
=［3x+(x-2y)］［3x-(x-2y)］
=(3x+x-2y)(3x-x+2y)
=(4x-2y)(2x+2y) 注意：式子中还有公因式。
=2(2x-y)·2(x+y)
=4(2x-y)(x+y) 例4：把下列各式分解因式(1) (2) (3) 解：
（1）
（2）
（3）
（2）利用完全平方公式进行因式分解：a2+2ab+b2= (a+b)2
a2-2ab+b2 = (a-b)2 a2+2ab+b2= (a+b)2 ;a2-2ab+b2= (a-b)2 　　公式特点：
（左边）1、多项式为三项式；2、其中有两项同号，且能写成两数（或式）的平方形式；3、另一项是这两数（或式）的积的二倍，符号可正可负。即：（ ）2±2（ ）（ ）+（ ）2
（右边）这两数（或式）的和或差的平方形式。例1下列各式是否为完全平方式：①
②
③
④
⑤ 16a2+1.
⑥ 4x2-6xy+9y2N(N)(Y)(N)(N)(N)(N)例2：把下列各式因式分解：（1）
（2）??
（3） (x+y)2-6(x+y)+9
（4）
（1）(3) (x+y)2-6(x+y)+9
=(x+y-3)2
（2）
(4)
例3：把下列各式因式分解：1) x3-4x2+4x
2)
3) （1） x3-4x2+4x
=x(x2-4x+4)
=x(x-2)2
3)
四 因式分解的应用选讲1．计算
（1）
（2）9.982-4×4.492
（3）76×19.99+4.3×199.9-1.9×199.9
(4)解（1）

=9.98 2-（2×4.49)2
=9.982 –8.982
=(9.98 +8.98)(9.98 –8.98)
=18.96
(2) 9.982-4×4.492
3）76×19.99+4.3×199.9-1.9×199.9=199.9× (7.6+4.3-1.9)
1999

4)解:原式=
=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2003-2004)
=(-1)×(2004÷2)
=-1002.
2.△abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，请你判断这个三角形的形状 ?由于－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，
则（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，于是（a－c）（a＋2b＋c）＝0．
????又由于a、b、c是△abc的三条边，
可知a＋2b＋c＞0，只能a－c＝0，
????即a＝c，△abc为等腰三角形。3．解方程组4.已知多项式2x3-x2+m有一个因式(2x+1),求m的值.5.求满足4x2-9y2=31的正整数解。 6．将4x2+1再加上一项，使它成为完全平方式，你有几种方法？7．一个非零的自然数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个自然数为“好数”
如 5=32-22 16=52-32 ， 5、16 都是“好数”1
在自然数列中从1开始数起，（1）2007是“好数”吗？
（2）第2007个“好数”是哪个数？说明理由。