2015（秋）北师大版九年级数学上册课时集训：13　正方形的性质与判定试卷（共3份附答案）

1.3　正方形的性质与判定
第1课时　正方形的性质
1．有一组邻边__相等__，并且有一个角是__直角__的平行四边形叫做正方形．
2．正方形的四个角都是__直角__，四条边__相等__，对角线__相等__且__互相垂直平分__．
知识点一：正方形的定义
1．在四边形ABCD中，若AD∥BC，AD＝BC，AB＝BC，∠B＝90°，则四边形ABCD的形状是(　D　)
A．平行四边形　　　　　　B．矩形
C．菱形 D．正方形
2．如图，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，那么四边形DECF是__正方形__．
知识点二：正方形的性质
3．(2014·泉州)正方形的对称轴的条数为(　D　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
4．正方形具有而菱形不一定具有的性质是(　B　)
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
5．(2014·福州)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为(　C　)
A．45° B．55° C．60° D．75°
,第5题图)　　,第6题图)
6．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝(　B　)
A. B．2 C．2 D．1
7．(2014·苏州)已知正方形ABCD的对角线AC＝，则正方形ABCD的周长是__4__．
8．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则图中共有__8__个等腰直角三角形．
,第8题图)　　　,第9题图)
9．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是__22.5°__．
10．(易错题)如图，已知正方形纸片AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD，点M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ＝__30°__．
11．(2014·济宁)如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF.
(1)求证：BF＝DF；
(2)连接CF，请直接写出BE∶CF＝____．
　解：(1)∵四边形ABCD和AEFG都是 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形，∴AB＝AD，AE＝AG＝EF＝FG，∠BEF＝∠DGF＝90°，∵BE＝AB－AE，DG＝AD－AG，∴BE＝DG，∴△BEF≌△DGF，∴BF＝DF　
12．(2014·安徽)如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满足：
①点D到直线l的距离为；
②A，C两点到直线l的距离相等．
则符合题意的直线l的条数为(　B　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
,第12题图)　　　　,第13题图)
13．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为__8__cm2.
14．(2014·资阳)如图，在边长为4的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．
15．(2014·鄂州)在平面内正方形ABCD和正方形CEFH如图放置，连接DE，BH两线交于点M.
求证：(1)BH＝DE；(2)BH⊥DE.
　解：证明：(1)在正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD与正方形CEFH中，BC＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°，∴∠BCD＋∠DCH＝∠ECH＋∠DCH，即∠BCH＝∠DCE，∴△BCH≌△DCE，∴BH＝DE
(2)由(1)得，∠CBH＝∠CDE，∴∠DMB＝∠BCD＝90°，∴BH⊥DE　
16．(教材例4改编)已知：如图，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.
(1)四边形ADCE为__矩形__；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
　解：(2)当△ABC满足∠BAC ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°时，四边形ADCE是一个正方形，.理由：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴DC＝AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形，∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形　
17．将正方形(图①)作如下操作： ( http: / / www.21cnjy.com )第1次：分别连接各边中点(如图②)，得到5个正方形；第2次：将图②左上角正方形按上述方法再分割(如图③)，得到9个正方形……，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是(　B　)
A．502 B．503 C．504 D．505
18．如图所示，在正方形ABCD中，点E，F ( http: / / www.21cnjy.com )分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E，F移动过程中：
(1)∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由；
(2)△ECF的周长是否发生变化？请说明理由．
　解：(1)∠EAF的大小 ( http: / / www.21cnjy.com )不变，理由如下：在正方形ABCD中，∵AH⊥EF，∴∠AHF＝∠D＝90°.∵AF＝AF，AH＝AD，∴Rt△AHF≌Rt△ADF(HL)．∴∠HAF＝∠DAF.同理 ∠HAE＝∠BAE.∵∠HAF＋∠DAF＋∠HAE＋∠BAE＝90°，∴∠EAF＝∠HAF＋∠HAE＝45°.∴∠EAF的大小不会发生变化　(2)△ECF的周长不会发生变化，理由如下：由(1)知：Rt△AHF≌Rt△ADF，Rt△AHE≌Rt△ABE，∴FH＝FD，EH＝EB.∴EF＝EH＋FH＝EB＋FD.∴CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋EB＋FD＝BC＋CD.∴△ECF的周长总等于正方形ABCD边长的2倍，不会发生变化　
第2课时　正方形的判定
1．对角线__相等__的菱形是正方形．
2．对角线__垂直__的矩形是正方形．
3．有一个角是__直角__的菱形是正方形．
知识点：正方形的判定
1．下列说法不正确的是(　C　)
A．对角线互相垂直的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．有一个角是直角的平行四边形是正方形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
2．对角线相等且互相垂直平分的四边形是(　D　)
A．平行四边形 　B．矩形　 C．菱形　 D．正方形
3．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(　C　)
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
4．在△ABC中，∠AC ( http: / / www.21cnjy.com )B＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(　D　)
A．BC＝AC B．CF⊥BF
C．BD＝DF D．AC＝BF
,第4题图)　　,第5题图)
5．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是(　A　)
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
6．如果一个四边形既是菱形又是矩形，那么它一定是__正方形__．
7．(易错题)当四边形的两条对角线满足条件__垂直且相等__时，顺次连接它的各边中点可以得到一个正方形．
8．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为__45°__．
9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D是BC边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，且BF＝CE，求证：四边形AFDE是正方形．
　解：证明：∵DF⊥AB，DE⊥AC， ( http: / / www.21cnjy.com )∴∠BFD＝∠CED＝90°，又点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵BF＝CE，∴△BFD≌△CED(HL)．∴DF＝DE，∵∠A＝∠AFD＝∠AED＝90°，∴四边形AFDE为矩形，∵DF＝DE，∴矩形AFDE是正方形　
10．(2014·株州)已知四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD.四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是(　B　)
A．选①②　B．选②③　C．选①③　D．选②④
11．如图，在Rt△ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB＝90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF，EF，要使四边形DECF是正方形，只需增加一个条件为__AC＝BC__．
12．小明想检查一个四边形的框架是不是正方形，但手头仅有一把卷尺．你能帮他设计一个检查方案吗？说说你的做法和理由．
　解：方法：测量四边形的框架的四边长及四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形的框架的对角线长；理由：若四边形的框架满足四边长相等，则是菱形，若再满足对角线相等，则是正方形，否则不是　
13．如图，在平面直角坐标系中，四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD的顶点坐标分别是A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2)，求证：四边形ABCD是正方形．
　解：证明：由四边形ABCD的顶点坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )分别是A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2)，可知OA＝OB＝OC＝OD＝2，∴四边形ABCD为矩形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形　
14．如图，在Rt△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC交DE于点G，连接AF，CG.
(1)求证：AF＝BF；
(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．
　解：(1)证明：∵AD＝CD，点E是 ( http: / / www.21cnjy.com )边AC的中点， ∴DE⊥AC，即DE垂直平分线段AC，∴∠FAC＝∠ACB.在Rt△ACB中，由∠BAC＝90°，得∠B＋∠ACB＝90°，∠FAC＋∠BAF＝90°，∴∠B＝∠BAF，∴AF＝BF　(2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.又∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE.又∠AEG＝∠CEF，∴△AEG≌△CEF(AAS)，∴AG＝CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF，又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，即∠AFC＝90°，∴四边形AFCG是正方形　
15．(2014·随州)已知：如图，在矩形ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点E，F分别是线段BM，CM的中点．
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)填空：当AB∶AD＝__1∶2__时，四边形MENF是正方形，并说明理由．
　解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ( http: / / www.21cnjy.com )∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，又∵点M为AD的中点，∴AM＝DM，在△ABM和△DCM中，∴△ABM≌△DCM(SAS)　(2)当AB∶AD＝1∶2时，四边形MENF是正方形，理由是：∵AB∶AD＝1∶2，AM＝DM，AB＝CD，∴AB＝AM＝DM＝DC，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，∴∠MBC＝∠MCB＝45°，∴BM＝CM，∠BMC＝90°，∵点N，E，F分别是BC，BM，CM的中点，∴BE＝CF＝ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，∴四边形MENF是平行四边形，∵ME＝MF，∠BMC＝90°，∴四边形MENF是正方形，即当AB∶AD＝1∶2时，四边形MENF是正方形　
专题(一)　特殊平行四边形的性质与判定
一、特殊平行四边形与折叠
1．如图，矩形纸片ABCD， ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝2，∠ADB＝30°，沿对角线BD折叠(使△ABD和△EBD落在同一平面内)，则A，E两点间的距离为__2__．
,第1题图)　　,第2题图)
2．(2014·龙东)如图，菱形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，对角线AC＝6，BD＝8，点M，N分别是BC，CD的中点，点P是线段BD上的一个动点，则PM＋PN的最小值是__5__．
3．(2014·绥化)矩形纸片ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，已知AD＝8，AB＝6，点E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为__3或6__．
二、特殊平行四边形的判定与性质
4．(2014·厦门)如图，在四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为点M，AN⊥DC，垂足为点N，若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形．
　解：证明：∵AD∥BC，∴∠B＋∠BAD＝ ( http: / / www.21cnjy.com )180°，∠D＋∠C＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AM⊥BC，AN⊥DC，∴∠AMB＝∠AND＝90°，又AM＝AN，可证得△ABM≌△ADN，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形　
5．(2014·枣庄)如图，四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，已知点O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
　解：(1)证明：∵DF∥BE，∴∠ ( http: / / www.21cnjy.com )FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，∵点O为AC的中点，即OA＝OC，AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF(AAS)　(2)若OD＝AC，则四边形ABCD是矩形，理由：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD.∴四边形ABCD为平行四边形．∵OD＝AC，∴OA＝OB＝OC＝OD，即BD＝AC，∴四边形ABCD为矩形　
6．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上的任意一点，DE⊥AG，BF∥DE交AG于点F.
(1)求证：AF－BF＝EF；
(2)将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′.若正方形边长为3，求点F′与旋转前的图中点E之间的距离．
　解：(1)易证△AED≌△BFA，∴BF＝AE，∵AF－AE＝EF，∴AF－BF＝EF　
(2)如图，根据题意知，∠FAF′＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，DE＝AF＝AF′，∴∠F′AE＝∠AED＝90°，∴∠F′AE＋∠AED＝180°，∴A′F∥ED，∴四边形AEDF′为平行四边形．又∠AED＝90°，∴四边形AEDF′是矩形，∴EF′＝AD＝3　
三、特殊平行四边形与探究
7．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.
(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；
(2)填空：
①当AM的值为__1__时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为__2__时，四边形AMDN是菱形．
　解：(1)证明：∵四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME.又∵点E是AD边的中点，∴DE＝AE，∴△NDE≌△MAE，∴ND＝MA.又∵ND∥MA，∴四边形AMDN是平行四边形　
8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点P，Q分别是AB，AC上的动点，且满足BP＝AQ，点D是BC的中点．
(1)求证：△PDQ是等腰直角三角形；
(2)当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．
　解：(1)证明：连接AD.∵△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C是等腰直角三角形，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠DAQ＝∠B.又∵BP＝AQ，∴△BPD≌△AQD.∴PD＝QD，∠ADQ＝∠BDP.∵∠BDP＋∠ADP＝90°，∴∠ADQ＋∠ADP＝∠PDQ＝90°.∴△PDQ为等腰直角三角形　(2)当点P运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形．理由：由(1)知△ABD为等腰直角三角形．当点P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD＝90°.又∵∠A＝90°，∠PDQ＝90°，∴四边形APDQ为矩形．又∵DP＝AP＝AB，∴四边形APDQ为正方形　
9．(2014·日照)
(1)如图①，在正方形ABCD中，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且DF＝BE.
求证：CE＝CF；
(2)如图②，在正方形ABCD中，点E是AB上一点，点G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用(1)的启示证明：GE＝BE＋GD；
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC ( http: / / www.21cnjy.com )(BC>AD)，∠B＝90°，AB＝BC，点E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，AE＝8，DE＝10，求四边形ABCD的面积．
　解：(1)略　
(2)证明：如图②，延长AD ( http: / / www.21cnjy.com )至点F，使DF＝BE.连接CF.由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF.∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG.∴GE＝GF，∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD　(3)如图③，过点C作CG⊥AD，交AD延长线于点G.∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，又∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCG为正方形．∴AG＝BC.已知∠DCE＝45°，根据(1)(2)可知，ED＝BE＋DG.所以10＝4＋DG，即DG＝6，AD＝12－6＝6，所以四边形ABCD的面积为S＝(AD＋BC)·AB＝×(6＋12)×12＝108.答：四边形ABCD的面积为108